精品解析：广东省鹤山市鹤山市城镇学校2024-2025学年下学期九年级数学综合训练二

鹤山市城镇学校2024-2025学年度第二学期综合训练二 九年级数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3分；共30分） 1. 能与相加得0的是（ ） A. B. C. D. 2. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 新闻媒体报道，某科技创新企业2024年度销售额已破140亿，成为行业内首家销售额超百亿的企业，有力带动了上下游产业链发展．其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 8. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 分式方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 10. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分；共 15 分） 11. 一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是______． 12. 化简：的结果为______． 13. 关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的取值范围是_____． 14. 某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是______同学． 15. 如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分；共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，点在边上，以为半径作，交于点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，交于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接与相切吗？请说明理由． 18. 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？ （2）身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，） 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 9 分；共 27 分） 19. 在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务： （1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）： 甲型机器人：38，39，41，43，39 乙型机器人：50，48，32，33，34 请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人． （2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好） 功能性 交互性 安全性 采购价格 甲型机器人 10 8 9 8 乙型机器人 8 8 8 10 如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格） 20. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． （1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 五、解答题（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分；共 27 分） 22. 【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义． （1）【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________ （2）【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值： （3）【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 23. 某数学活动小组对一个数学问题作如下探究： （1）【初步感知】如图①，正方形的四个顶点在上，点在弧上，连接、，若在上取一点，使得，连接，发现与全等，请说明理由； （2）【变式探究】如图②，正方形的四个顶点在上，若点在弧上，过点作，探究线段问的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延申】如图③，在中，，，．点为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．当点从的四等分点（靠近点）出发，向终点运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，则点所经过的路径长为___________．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山市城镇学校2024-2025学年度第二学期综合训练二 九年级数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3分；共30分） 1. 能与相加得0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据互为相反数的两个数相加得0即可求出这个数． 【详解】解：∵的相反数是， ∴能与相加得0的是， 故选：A． 2. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，找出对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；根据定义，结合图形找出对称轴和对称中心即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 3. 新闻媒体报道，某科技创新企业2024年度销售额已破140亿，成为行业内首家销售额超百亿的企业，有力带动了上下游产业链发展．其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：140 亿， 故选：B． 4. 将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：A，，原计算错误，故本项不符合题意； B，，原计算错误，故本项不符合题意； C，，原计算错误，故本项不符合题意； D，，故本项符合题意； 故选：D． 6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故选：B． 7. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算．先利用二次根式运算法则计算得到化简结果，再估算化简结果范围即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值应在5到6之间， 故选：D 8. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 9. 分式方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． 故选：D． 10. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组，图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分；共 15 分） 11. 一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是______． 【答案】4.5 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：把这些数从小大排列为3，4，4，5，6，6，最中间两个数是4和5， 则中位数是． 故答案为：． 12. 化简：的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同分母分数的减法，根据分母不变，把分子相减再约分即可． 【详解】解：， 故答案为： 13. 关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当判别式为正时，方程有两个不相等的实数根，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；据此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不同的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 14. 某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是______同学． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方差和平均数的应用，先根据方差一定比较平均数，再根据平均数一定比较方差可得答案． 【详解】根据题意可知A，B两名同学的方差相同，B同学的平均数高，可知B同学的成绩好，由C，D两名同学的方差一定，D同学的平均数高，可知D同学的成绩高． 又因为B，D两名同学的平均数一定，D同学的方差小，所以D同学的成绩好且最稳定． 故答案为：D． 15. 如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点由菱形的性质求出，，以及，由旋转的性质求出，再根据可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， 是菱形的对角线， 连接交于点，则 由勾股定理得， 由旋转得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分；共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，，点在边上，以为半径作，交于点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，交于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接与相切吗？请说明理由． 【答案】（1） 如图所示，垂直平分线l为所求． （2）与相切， 理由如下： 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查基本作图-作垂线，切线的判定，等边对等角．掌握作垂线的方法，以及切线的判定的方法，是解题的关键． （1）根据作垂线的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，等边对等角，得到，，再根据等量代换，得到，进而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？ （2）身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，） 【答案】（1）184.3厘米 （2）小军能被摄像头识别 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小张的身高； （2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，同上， 在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小军头部以下的高度． 【小问1详解】 解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点， 由题意知， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴小张的身高约是184.3厘米； 【小问2详解】 过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点， 同上，可知四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，同理， ∴，， 小军头部以下的高度为，且小军身高， ∴小军能被摄像头识别． 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 9 分；共 27 分） 19. 在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务： （1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）： 甲型机器人：38，39，41，43，39 乙型机器人：50，48，32，33，34 请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人． （2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好） 功能性 交互性 安全性 采购价格 甲型机器人 10 8 9 8 乙型机器人 8 8 8 10 如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格） 【答案】（1） ， ， 甲型机器人完成搬运任务时间的极差为， 乙型机器人完成搬运任务时间的极差为， 乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）； （2） 我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4， 则， ， ， 按照以上标准采购乙型机器人较合适（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了极差和算术平均数，掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别求出甲型机器人和乙型机器人的方差和平均数比较即可； （2）分出功能性、交互性、安全性及采购价格的比重，分别求出方差即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． （1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元 （2）当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【小问1详解】 解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元． 【小问2详解】 解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元． 21. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 ①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 五、解答题（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分；共 27 分） 22. 【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义． （1）【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________ （2）【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值： （3）【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1，； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，即二次函数的解析式为； 当时，求x的值，当时求出y的值，进而确定点B、C的坐标；则求得 （2）先运用待定系数法求出直线的解析式，设，从而表示出N的坐标，进而表示出的关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答； （3）①如图1：在上截取，作，连接，先说明与抛物线的交点符合条件，再求出直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，由解得，进而确定点E的坐标；如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，易得直线的解析式为：；进而得到，即，设，则，解得：，即；由待定系数法可得直线BG的解析式为，则解得，进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵在实数范围内与都有意义， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 令，即，解得：或， ∴， 令，即，即． 故答案为：1，． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 代入，，得，解得： 直线的解析式为：， 设， 轴， ∴轴， ， ∵， ∴ ， ， ， 当时，． 【小问3详解】 解：①如图1：在上截取，作，连接， ， ， ， ， ， ， ， 与抛物线的交点符合条件， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 将点代入可得，解得：， 直线的解析式为：， 由，解得：（舍去）或， 当时，， ； ②如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于， ， ， ，即， 设，即，解得：． 运用待定系数法可得：直线的解析式为， ∴，解得：（舍去）或， 当时，， ． 综上所述：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质、二次根式有意义的条件、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的解法、求一次函数的解析式等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． 23. 某数学活动小组对一个数学问题作如下探究： （1）【初步感知】如图①，正方形的四个顶点在上，点在弧上，连接、，若在上取一点，使得，连接，发现与全等，请说明理由； （2）【变式探究】如图②，正方形的四个顶点在上，若点在弧上，过点作，探究线段问的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延申】如图③，在中，，，．点为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．当点从的四等分点（靠近点）出发，向终点运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，则点所经过的路径长为___________．（直接写出结果） 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， 弧弧 又 ； （2） ，理由如下： 连接，过点作，交的延长线为，如图所示： 四边形是正方形， ， 是直径，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可根据“”证明三角形全等即可； （2）连接，过点A作，交的延长线为H，由题意易得是直径，，则有，然后可得四边形是正方形，进而可知，最后问题可求证； （3）以为边作等边三角形，连接，证明，通过得到点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，连接，交圆弧于点，求出的最小值，通过证明，利用弧长公式得到点所经过的路径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以为边作等边，连接， 是等边三角形， ， ， ， ， 当点和点运动过程中，始终保持， 则点在以为直径的圆弧上运动． ∵ 当点位于靠近点四等分点时， 则 ，又 此时，点与点重合，点与中点处重合； 当点D运动到点A时，显然点E与点C重合，此时点F与M重合； 综上，点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点． ， 是等边三角形， ， ， 则点所经过的路径长 【点睛】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，圆周角的性质，弧长公式，相似三角形的判定和性质，本题的关键在于构造全等三角形，利用定点定长的特点发现隐圆从而解决路径长问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $