精品解析：2025年江苏省常州市田家炳初级中学九年级中考模拟数学试卷

数学学科九年级学业水平调研 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考 生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 5. 为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A. B. C. D. 8. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．如图描述了、两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（ ） A. 消耗1升汽油，车最多可行驶5千米 B. 车以40千米小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油 C. 对于车而言，行驶速度越快越省油 D. 某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车更省油 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 计算：=___． 10. 分解因式：________． 11. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为__________ 12. 计算： =______________． 13. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 14. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 15. 扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为______． 16. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____． 17. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则=___________． 18. 对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位；小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析． （1）下列抽取方法具有代表性的是__________． A. 随机抽取一个班的学生 B. 从12个班中，随机抽取50名学生 C. 随机抽取50名男生 D. 随机抽取50名女生 （2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时间（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2 ①这组数据的众数是__________，中位数是__________； ②估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数大约为多少． 22. 随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付． （1）小张选择微信支付的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 23. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 40 60 80 … 每天销售数量y/件 … 80 60 40 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式___________； （2）设该公司销售这种商品每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 24. 如图所示，一次函数：的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点，若的面积为3． （1）分别求出m和n的值； （2）求点B的坐标； （3）结合图像直接写出关于x的不等式的解集． 25. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 26. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0）， ①若点B的坐标为（4，1），求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x＝4上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式． （2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，4），若在⊙O上存在一点N，使得点MN的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 27. 有两张全等的等腰直角三角形纸片和，，． （1）如图1，若点F在边的中点M处，，将沿射线方向平移，则当___________时，四边形是菱形； （2）若将图1中的以点F为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度，交于点G，交于点H，如图2，发现，请你证明这个结论； （3）若将图1中的沿射线方向平移，接着以点F为旋转中心，按顺时针方向旋转至经过点C时，交于点G，如图3，求出此时两张等腰直角三角形纸片重叠部分的面积． 28. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． （1）填空： ___________， ___________； （2）当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； （3）点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科九年级学业水平调研 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考 生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数解题即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故选：C． 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，选出结果为的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不是，A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，，结果不是，B错误； 选项C：根据同底数幂乘法法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不是，D错误； 故选：C． 4. 方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵x2﹣2x＝0， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 6. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意； B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意； C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意； 故选：D． 7. 如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定的实际运用，根据题意证明，结合相似三角形性质推出求解，即可解题． 【详解】解：当夹子完全张开时（即A，B两点重合），如图所示： ，． ， ， ， ， 即， 解得； 故选：A． 8. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．如图描述了、两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（ ） A. 消耗1升汽油，车最多可行驶5千米 B. 车以40千米小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油 C. 对于车而言，行驶速度越快越省油 D. 某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车更省油 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、由图象可知，当车速度超过时，燃油效率大于，所以当速度超过时，消耗1升汽油，车行驶距离大于5千米，故此项不合理，不符合题意； B、车以40千米小时的速度行驶1小时，路程为，，最少消耗4升汽油，此项合理，符合题意； C、对于车而言，行驶速度在时，越快越省油，故此项不合理，不符合题意； D、某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车燃油效率更高，所以更省油，故此项不合理，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 计算：=___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 11. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为__________ 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时小数点移动的位数． 【详解】解：将21500000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 计算： =______________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是关键， 根据同分母分式加减法法则计算，并把结果化成最简形式即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：1． 13. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 14. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 15. 扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的坐标为 ． 故答案为：． 16. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的直径为， 故答案为：13． 17. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则=___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在△中，， 设，则， ，， 在△中， 根据勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积为m可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【详解】解：∵的面积为m ∴边BC上的高为 如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或MN上一重合重合， 如图：过A作AD⊥BC，垂足为D ∵等边三角形ABC,BC=4 ∴∠ABC=60°,BC=4，∠BAD=30° ∴BD=2, ∴AD==2 ∴，即m=4； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在中点， ∴，即m=8 ∴． 故填：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】； 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可； （2）利用完全平方公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可． 本题考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式，单项式乘多项式，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为 ， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 21. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位；小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析． （1）下列抽取方法具有代表性的是__________． A. 随机抽取一个班的学生 B. 从12个班中，随机抽取50名学生 C. 随机抽取50名男生 D. 随机抽取50名女生 （2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时间（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2 ①这组数据的众数是__________，中位数是__________； ②估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数大约为多少． 【答案】（1）B （2）①7小时，7小时②估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数为144人． 【解析】 【分析】（1）根据抽样的广泛性和代表性逐项进行判断即可； （2）①根据中位数，众数的定义即可求解； ② 根据九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：应12个班中，随机抽取50名学生调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间, 故选B. 【小问2详解】 解：①众数是7，中位数是7. 故答案为：7小时，7小时； ②12×50×=144（人） 故该校九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为144人． 【点睛】本题考查抽样调查，统计表的有关知识，中位数、众数，解题的关键是仔细地审题，从图中找到解题的信息． 22. 随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付． （1）小张选择微信支付的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）；（2）两人恰好选择同一种支付方式的概率为 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解； （2）利用列树状图可直接进行求解概率． 【详解】解：（1）由题意得： 小张选择微信支付的概率是； 故答案为； （2）解：根据题意画树状图如下： ∵由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式（记做事件A）有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 23. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 40 60 80 … 每天销售数量y/件 … 80 60 40 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式___________； （2）设该公司销售这种商品每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价是75元时，最大日利润是2025元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润单个利润总销量列出函数解析式，然后由二次函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设， 把，代入中得： ， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵,抛物线开口向下， ∴当时，最大元， ∴当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元． 24. 如图所示，一次函数：的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点，若的面积为3． （1）分别求出m和n的值； （2）求点B的坐标； （3）结合图像直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据点C坐标及的面积，求出点A的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题； （2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想，得到一次函数图像位于反比例函数图像上方部分的点的横坐标的取值范围即可解决问题． 【小问1详解】 解：点的坐标为， ， 轴，且的面积为3， ， ， 点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 令， 解得，， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：由函数图像可知， 关于的不等式的解集为或． 25. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； 【小问2详解】 解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0）， ①若点B的坐标为（4，1），求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x＝4上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式． （2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，4），若在⊙O上存在一点N，使得点MN的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 【答案】（1）①3；②y=-x+1或y=x-1；（2）2≤m≤6或-6≤m≤-2 【解析】 【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45°，设直线AC的解析式为；y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围． 【详解】解：（1）①∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，1），如图， 由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为3和1， ∴点A，B的“相关矩形”的面积为3×1=3； ②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线， 又∵点A，C的“相关矩形”为正方形， ∴直线AC与x轴的夹角为45°， ∴C（4，3）或（4，-3）， 当点C在x轴上方时，设直线AC的解析为：y=kx+b， 把A，C坐标分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析为：y=x-1， 当点C在x轴下方时，直线AC的解析为：y=kx+b， 把A，C坐标分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析为：y=-x+1，， 综上所述，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=-x+1或y=x-1； （2）设直线MN的解析式为y=kx+b， ∵点M，N的“相关矩形”为正方形， ∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°， ∴k=±1， ∵点N在⊙O上， ∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“衍生矩形”为正方形， 当k=1时， 作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行， 其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B， 连接OA，OC， 把M（m，4）代入y=x+b， ∴b=4-m， ∴直线MN的解析式为：y=x+4-m ∵∠ADO=45°，∠OAD=90°， ∴OD=OA=2， ∴D（0，2）， 同理可得：B（0，-2）， ∴令x=0代入y=x+4-m， ∴y=4-m， ∴-2≤4-m≤2， ∴2≤m≤6， 当k=-1时，把M（m，4）代入y=-x+b， ∴b=4+m， ∴直线MN的解析式为：y=-x+4+m， 同理可得：-2≤4+m≤2， ∴-6≤m≤-2； 综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：2≤m≤6或-6≤m≤-2 【点睛】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来． 27. 有两张全等的等腰直角三角形纸片和，，． （1）如图1，若点F在边的中点M处，，将沿射线方向平移，则当___________时，四边形是菱形； （2）若将图1中的以点F为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度，交于点G，交于点H，如图2，发现，请你证明这个结论； （3）若将图1中的沿射线方向平移，接着以点F为旋转中心，按顺时针方向旋转至经过点C时，交于点G，如图3，求出此时两张等腰直角三角形纸片重叠部分的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，连接， ∵，，点F是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，进而得出，再利用菱形的性质得出，即可得出结论； （2）先判断出，进而得出即可得出结论； （3）先求出，再判断出得出，即可求出 ，再用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1，在和中，， ∴， ∵点M是中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，过点G作于点K， 在中，， 由平移知，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，解（1）的关键是求出 ，解（2）的关键是判断出 ，解（3）的关键是得出 ． 28. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． （1）填空： ___________， ___________； （2）当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； （3）点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出时的自变量的值，根据二次函数的对称轴分两种情况进行解答即可； （3）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、点， ∴， 解得 故答案为：，； 【小问2详解】 由（1）可知，二次函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值是5， ∴当时，时取得最大值，即，解得， 当时，时取得最大值，即， ∴或， 故答案为：或； 【小问3详解】 当时，， 即点C的坐标为， ∵点C关于抛物线对称轴对称的点为E，对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 如图，设交轴于点，交于点， ∵轴， ∴， 根据轴对称性可得，， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点E的坐标为，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由， 解得，或 ∴， 设直线交轴于点，点关于直线对称的点为，连接交于点，连接交抛物线于点，此时也满足条件， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 设，则，把代入得到① 由轴对称可得，，则， 即② 由①②得到，或（不合题意，舍去） ∴ 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 由由， 解得，或 ∴ 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了二次函数和一次函数的图象和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，难度较大，准确画图是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $