精品解析：江西上饶市鄱阳县第二中学2026-2027学年九年级上学期第一次质量数学试题

2026-2027学年第一学期第一次质量检测 九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 8. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 10. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 12. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为， 第一步 所以，即， 第二步 所以方程没有实数根． 第三步 琪琪的解法是：原方程可化为， 第一步 两边都除以，得． 第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 17. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． （1）判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． （1）求平移后抛物线的解析式； （2）求的面积． 22. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 给出几张学习卡片： 【卡片】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数． 【卡片】根与系数的关系（韦达定理）：设关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则，． 【卡片】“消元”与“降次”是解决方程（组）问题的基本思想方法． 完成下列任务： （1）任意写出一组勾股数：________； （2）已知，都是方程的根，则的值是________；的值是________； （3）在关于的一元二次方程中，，，均为正整数． 有理数满足：是该方程的两根之和，是该方程的两根之积． 求证：，，一定是一组勾股数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次质量检测 九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 4. 福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确三月到五月共2次月增长，以三月游客量为基数，结合五月游客量列方程． 【详解】解：三月份接待游客25万人次，每月平均增长率为，则四月份接待游客万人次，五月份接待游客万人次． ∵五月份接待游客64万人次， ∴可列方程． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 6. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 8. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得且， ． 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合新增120人得到等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， ∵经过两轮传染后共有人患病， ∴列方程得 ， ∵人数为正整数， ， ∴， 解得， 答：每轮传染中平均一个人传染10人． 10. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 12. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 开平方，得， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 14. 习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为， 第一步 所以，即， 第二步 所以方程没有实数根． 第三步 琪琪的解法是：原方程可化为， 第一步 两边都除以，得． 第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 【答案】（1）嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． （2）解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【解析】 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． 【小问2详解】 略． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【答案】（1） 顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入函数，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ，  解得， ∴二次函数的解析式为， 对解析式配方得  ， ∴该函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：将函数图象向右平移3个单位长度， ∴平移后解析式为  ， 将点代入上式，得． 17. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为米 （2） 不能围成面积为平方米的花圃． 理由如下： 根据题意，得，整理，得． ∵， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 【解析】 【分析】（1）根据题目设 AD的长为x 米，则 AB=27-3x，得x（27-3x）=54，解一元二次方程，按照条件，解得AD的长； （2）根据题意得：x（27-3x）=90，通过判别式确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃． 【详解】（1）设的长为米，则，根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为米， ∴， ∴， ∴，即的长为米； （2）略 【点睛】本题考查用一元二次方程解实际问题，按照题意列出方程，是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【答案】（1）《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）单价应降低4元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； 【小问2详解】 解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 20. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． （1）判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2）m的值为0或2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：是． 【小问2详解】 解：， ， ∴，， 由题意得：，即或， 解得，， ∴m的值为0或2． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． （1）求平移后抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）二次函数图象平移口诀：左加右减，上加下减； （2）先根据抛物线解析式写出点A坐标，再求出直线的解析式，求出点B，点C的坐标，根据图象和三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：将抛物线沿轴向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移2个单位长度，得到平移后抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵平移后抛物线的解析式为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入得：， 点的坐标为， 图象大致如下： ， ． 【点睛】二次函数图象平移口诀：左加右减，上加下减；正比例函数的解析式为，函数几何结合采用数形结合的思想． 22. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】（1）方程是有爱方程，理由如下： ，，， ， 方程是“有爱方程”； （2） 证明：方程是“有爱方程”， ， 原方程为， ， ， ， 是原方程的解； （3），． 【解析】 【分析】（）通过“有爱方程”定义即可求解； （）由“有爱方程”定义可得，则原方程为，然后解方程即可； （）由是关于的“有爱方程”，则，又是该“有爱方程”的一个根，所以，从而得，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是关于的“有爱方程”， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， 由得， 把代入得， 化简得， 解得，． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 给出几张学习卡片： 【卡片】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数． 【卡片】根与系数的关系（韦达定理）：设关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则，． 【卡片】“消元”与“降次”是解决方程（组）问题的基本思想方法． 完成下列任务： （1）任意写出一组勾股数：________； （2）已知，都是方程的根，则的值是________；的值是________； （3）在关于的一元二次方程中，，，均为正整数． 有理数满足：是该方程的两根之和，是该方程的两根之积． 求证：，，一定是一组勾股数． 【答案】（1），，（答案不唯一） （2）， （3）证明：根据韦达定理，方程的两根之和为，两根之积为， 则，， 即①，②， ①②，得③，②①，得④， ③×④，得， 化简，整理，得， ∵，，均为正整数， ∴，，是一组勾股数． 【解析】 【分析】（1）由勾股数的含义求解即可． （2）由方程的解及根与系数的关系可得，，，再进一步整体代入计算即可． （3）由根与系数的关系可得，，再消去即可得到结论． 【小问1详解】 解：一组勾股数可以为：，，（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：∵，都是方程的根， ∴，，， ∴， ∴ ； ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $