第二章 对称图形 圆 单元练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

第二章 对称图形 - 圆 单元练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.下列说法正确的是(    ) A. 经过三点可以作一个圆 B. 直径不是弦 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 2.如图，已知，均为上一点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的直径，点，在同一半圆弧上，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，学校的花坛是由一个正六边形和圆心分别在正六边形的顶点、半径为米的六个等圆组成现要在正六边形以外的区域图中阴影部分种植草皮，则草皮种植面积为平方米． A. B. C. D. 5.如图，为的直径，为上一点，，交于点，连接，，设，，则下列结论成立的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，是的直径，是上一点，连接，，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，弦，的半径长为，则圆心到的距离为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，在扇形中，圆心角，半径，将扇形绕半径的中点顺时针旋转，得到扇形，连接，则图中阴影部分的周长为______． 10.如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，，若，平分，则的度数为______． 11.如图，是的内接四边形，，则的大小是          ． 12.如图，是的直径，是的弦，，则            13.如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为，则           ． 14.如图，是的直径，，，是上的点，，则弧的长为______． 15.如图，在中，，以斜边为直径作外接圆，圆心为点，点在直径的右侧上运动，连接，，，得到当为等腰三角形时，的度数为______． 16.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积弦失失弧田图中阴影部分由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为          米 三、解答题：本题共6小题，共52分 17.本小题分 小明不小心把妈妈的圆形玻璃镜面打碎了，他拿着如图所示的残缺镜面请工人师傅配同样大小的镜面聪明的工人师傅在图纸上用尺规作图的方法确定了残缺镜面所在圆的圆心和半径，并还原了整个圆形镜面请你完成这个尺规作图保留作图痕迹，不写作法． 18.本小题分 如图，在等腰三角形中，，平分，以为直径的与相切于点． 求的度数； 若，求的长． 19.本小题分 如图，是一个木制的圆形锅盖，上面用两根横木进行加固，中间有一个木把手，这种木制锅盖物美价廉，使用者不容易被烫伤，极大地方便人们的生活如图是木制圆形锅盖的示意图，横木，木把手在的直径上，，都与垂直且将三等分，求这个圆形锅盖的半径大约是多少？ 结果保留整数，参考数据： 20.本小题分 如图，内接于，，连接，，延长交于点，交的切线于点． 求证：； 若，，求的长． 21.本小题 如图，在中，是直径，是圆上的一点，点在的延长线上，直线是的切线． 求证：． 若，，求图中阴影部分的面积． 22.本小题 如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点，垂足为点． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：经过不共线的三点可以作一个圆，所以选项说法错误； B.直径是弦，故B选项说法错误； C.等弧所对的圆心角相等，故C选项正确； D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D选项说法错误． 故选：． 根据确定圆的条件，弦的定义，圆心角、弧、弦的关系逐项判断即可． 本题主要考查确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系，难度不大． 2.【答案】  【解析】解：， ． 故选：． 由圆周角定理即可计算． 本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 3.【答案】  【解析】解：连接， 是的直径， ， ， ． 故选：． 连接，由圆周角定理得到，，求出，即可得到的度数． 本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出，． 4.【答案】  【解析】解：正六边形的每个内角为， 各扇形的圆心角为， 草皮种植面积扇形的面积的和． 故选：． 各个扇形的半径相等，阴影部分六个扇形的面积之和，根据扇形的面积公式，各个扇形的面积为，即可求解． 本题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解决本题的关键． 5.【答案】  【解析】连接，如图．是的直径，四边形是圆的内接四边形，，，，． 6.【答案】  【解析】解：如下图，连接， 是劣弧的中点， 即弧弧， ， ， ， ， ， 即． 故选：． 首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：， ， ， 的长为 故选：． 根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理得，根据弧长公式计算即可． 本题主要考查了弧长的计算以及圆周角定理，熟练掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图，过点作交于点，连接． ，， ， 在中利用勾股定理，得， 圆心到的距离为． 故选：． 过点作交于点，连接根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长即可． 本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：连接， 由题意知，， 为的中点，， ， 根据旋转的性质，得， 是等边三角形， ，， ， ， 点、、共线． 设与交于点， 则， 过点作，交于点． ， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 连接，根据题意和旋转的性质证明是等边三角形，从而证明点、、共线；设与交于点，根据扇形面积公式求出扇形的面积；过点作，交于点，由三角形函数求出，根据三角形面积公式求出的面积，再根据“阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：和都是所对的圆周角， ， 平分， ， 是的直径， ， ． 故答案为：． 根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 本题考查圆周角定理，关键是圆周角定理的熟练掌握． 11.【答案】度  【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质．首先根据圆内接四边形的对角互补，得再根据圆周角定理，得，由，推出计算即可解答． 【详解】解：是的内接四边形，， ， ， ， ． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】连接，则由圆周角定理可以得到，再根据直径所对的圆周角是，得到，再根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 是直径 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 13.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为列方程求解即可． 【详解】解：如图， 的外切四边形， ， ， ， 设、、，则，即， 四边形的周长为， ，解得：， ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：连接， ， ， ． 又， 的半径为， 弧的长为：． 故答案为：． 先根据的度数得出的度数，再连接，根据圆周角定理得出的度数，最后根据弧长公式进行计算即可． 本题主要考查了圆周角定理及弧长的计算，熟知弧长的计算公式及圆周角定理是解题的关键． 15.【答案】或或  【解析】解：当时， 则， 是的直径， ， ， ， ； 当时，连接， ，，， ≌， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ； 当时，连接， 同理可得≌， ， ， ，， ， ，即， ； 综上，当为等腰三角形时，的度数为或或． 故答案为：或或． 分，，，利用等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理即可解答． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】【分析】由题意可知于，交圆弧于，由题意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意可知， ，，米， ， 米 米 米 米 弧田面积 平方米 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 17.【答案】见解析．  【解析】解：如图，圆心为点，半径为． 作弦，，作线段，的垂直平分线，交于点，连接即可． 本题考查作图复杂作图，垂径定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18.【答案】证明见解答过程；  ．  【解析】在等腰中，，平分， ，， 是的直径， ， 是的中位线， ， ， 与相切于点， ， ， ； 连接，，如图所示： ， ，， ， ，， 是线段的垂直平分线， ， 是的直径， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 根据平行线分线段成比例定理得：， ． 根据等腰三角形性质得，，进而得是的中位线，则，再根据切线性质得，则，然后根据平行线的性质即可得出的度数； 连接，，依题意得，，则，证明是线段的垂直平分线得，再由勾股定理求出，，再证明，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出的长． 此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 19.【答案】大约是．  【解析】解：连接，， 直径，， ，， ， ， ， ≌， ， ，将三等分， ， 设这个圆形锅盖的半径是， ， ， ， ， ． 答：这个圆形锅盖的半径大约是． 连接，，由垂径定理推出，判定≌，推出，设这个圆形锅盖的半径是，得到，由勾股定理得到，求出，于是得到答案． 本题考查垂径定理的应用，勾股定理，全等三角形的判定，关键是由勾股定理列出关于的方程． 20.【答案】见解答；  ．  【解析】证明：延长交于点，如图， ，， 垂直平分， 为切线， ， ； 解：垂直平分， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ∽， ，即， 解得， ， ∽， ， ， ． 延长交于点，如图，先判断垂直平分，再根据切线的性质得到，然后根据平行线的判定方法得到结论； 先利用勾股定理计算出，再计算出，接着证明∽，则利用相似比可求出的长；然后证明∽，利用相似三角形的性质得到， 然后利用比例的性质可求出的长． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质． 21.【答案】见解析；  ．  【解析】证明：如图，连接． 由题意可得：． ， ， ． 由题意可得：， ， ． 解：， ， ． ，， ， ． 连接，得到，然后可得结论； 推出，通过求解三角形，推出，然后求解面积． 本题考查直线与圆的位置关系的应用，面积的求法，三角形的解法，正确进行计算是解题关键． 22.【答案】连接，，如图所示 ，，， ≌． ． ． ， ． ， ． ， ． ． ． ， ． 是的切线．  ．  【解析】证明：连接，，如图所示 ，，， ≌． ． ． ， ． ， ． ， ． ． ． ， ． 是的切线． 解：，，， ． 是直径， ． ， ． ， ∽． ． ． ． ． 的半径为． 先证明≌，得到，，然后利用外角的性质，得到，推出，得到，结合，得到，得证； 先通过勾股定理求得，再证明∽，通过相似三角形对应边成比例，可得出的长度，从而推出半径． 本题考查了切线的证明，三角形相似的判定与性质，圆周角定理及其推论，三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第8页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$