21.6 综合与实践 获取最大利润 同步练习 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.6 综合与实践 获取最大利润 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知二次函数若时，函数取最大值，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为(    ) A. B. C. D. 3.一小球被抛出后，距离地面的高度和飞行时间满足函数关系式，则小球距离地面的最大高度是(    ) A. B. C. D. 4.已知二次函数，当时，该函数(    ) A. 最小值是，最大值是 B. 最大值是，无最小值 C. 最小值是，最大值是 D. 最小值是，最大值是 5.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第个月的需求量万件近似地满足、、、，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是  (    ) A. 月、月 B. 月、月 C. 月、月 D. 月、月 6.小明在探究二次函数的图象和性质时，运用列表、描点、连线的步骤画出图象发现图象的最低点为，从而得出函数的最小值为，他又根据平方的意义，得出的最小值为，则的最小值为，即得出函数的最小值为这个过程中蕴含的数学思想是(    ) A. 类比 B. 数形结合 C. 从特殊到一般 D. 转化 7.河北省赵县的赵州桥是近似的拋物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为当水面离桥拱顶的高度是时，这时水面宽度为(    ) A. B. C. D. 8.如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度与飞行时间之间满足函数关系则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.物体自由下落的高度单位：与下落时间单位：的关系是在一次实验中，一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为______ 10.如图所示的是某种型号的飞机，飞机着陆后滑行的距离关于滑行时间的函数解析式是，则此型号飞机着陆后滑行          停下来． 11.有一个拋物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为，跨度为，现把它的图形放在平面直角坐标系中如图若在离跨度中心处的点垂直竖立一铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为           12.某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离单位：关于行驶时间单位：的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了          ． 13.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的关系式是，那么小球到达最大高度的时间是______ 14.已知一个直角三角形两直角边的和为，则这个直角三角形的最大面积为          ． 15.坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一，按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为______ 16.如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为______ 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 某旅馆有客房间，每间房的日租金为元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加元，那么客房每天出租数会减少间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高元， 求每天租出的房间数与间的关系式； 旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 18.本小题分 某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件，如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元，设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 若十月份的销售利润是元，且让消费者获得最大实惠，求这个月的销售单价是多少元？ 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 19.本小题分 冻雨是一种极端天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害华中地区某城市在今年二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对该城市一无冰树枝置于二月份某次冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量千克和时间小时近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重千克；当时，该含冰树枝增重到千克． 求二次函数的解析式． 由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由． 20.本小题分 中华绒螯蟹又称大闸蟹，为中国久负盛名的美食某代理商以每千克元的价格购进一批大闸蟹，根据销售经验可知，这种大闸蟹的日销售量千克与销售价格元千克存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格元千克 日销售量千克 试求出关于的函数表达式． 设该代理商销售这种大闸蟹的日销售利润为元，如果不考虑其他因素，求当每千克销售价格为多少元时，日销售利润最大？最大的日销售利润是多少元？ 21.本小题分 如图，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道如图是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中为的中点，隧道的净高度米参考数据： 求该抛物线的解析式． 如果一货运汽车装载货物后的高度为米，宽度为米隧道内两个行车道用实线隔开实线的宽度忽略不计，不允许车辆随意变道试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 22.本小题分 跳水过程中的抛物线问题 素材 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，运动员甲从点起跳，从起跳到入水的过程中，其竖直高度与水平距离满足二次函数． 素材 记运动员甲起跳后达到的最高点到水面的高度为，从到达最高点开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 素材 运动员甲每次在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作． 问题解决 任务 求的值； 任务 请通过计算说明，运动员甲能否成功完成动作？ 任务 运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若达到最高点后能顺利完成动作，直接写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意，二次函数为，又当时，函数取最大值， 对称轴是直线，且． ，． ． 故选：． 依据题意，由二次函数为，又当时，函数取最大值，可得对称轴是直线，且，可得，，进而代入计算即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 2.【答案】  【解析】解：由条件可知， 解得：， 抛物线解析式为：， 设点坐标为，由抛物线的对称性得点坐标为， 点坐标为， 四边形周长， 最大值为， 故选：． 代入求得抛物线解析式为，设点坐标为，进而表示出、点坐标，从而表示出四边形的周长，求最大值即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及正方形的性质是解题的关键． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】解：根据题意，这个过程中蕴含的数学思想是“数形结合”， 故选：． 根据“数形结合”的思想解答即可． 本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：根据题意的纵坐标为， 把代入， 得， ，， ． 即水面宽度为． 故选C． 根据题意，把直接代入解析式即可解答． 本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】解：把代入中， ， ， ， ． 故答案是：． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：， ， 小球到达最大高度的时间是． 故答案为：． 已知高度与时间的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处，求出顶点的横坐标即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键掌握二次函数的最值问题． 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】  【解析】解：正常水位时水面宽为，即米， 当时，， 正常水位时水面宽为，当水位上升时， ， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故答案为：． 根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升米时，代入解析式求出即可解答． 本题主要考查了二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 16.【答案】  【解析】解：将代入， ， 解得：，舍去． 该运动员投掷标枪的水平距离为米． 故答案为：． 将代入，得出，结合题意，即可求解． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】；   旅馆将每间客房的日租金提高到元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入是元．  【解析】设每间客房日租金提高元，则每天租出的房间数为： ； 设客房日租金的总收入为元，则： ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时客房日租金为元， 答：旅馆将每间客房的日租金提高到元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入是元． 根据题意可直接写出每天租出的房间数与间的关系式； 设客房日租金的总收入为元，根据题意得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用．理解题意是关键． 18.【答案】与的函数关系式为；的取值范围为，且为正整数；   元；   每件商品的售价定为元或元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是元．  【解析】设每件商品的售价上涨元，则商品的售价为元，月销量为件， 由题意得：， 整理得：， 由每件售价不能高于元得：，即， 又因为正整数， 则的取值范围为：，且为正整数， 综上，与的函数关系式为；的取值范围为，且为正整数； 由题意可得，， 解得，， 则商品的售价为：元或元， 让消费者获得最大实惠， 这个月的销售单价是元； 的对称轴为直线：， 则当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小， 因为正整数，则当时，，取得最大值； 当时，，取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润， 将代入得：，此时售价为， 将代入得：，此时售价为， 答：每件商品的售价定为元或元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是元． 先求出每件商品的售价上涨元后的月销量，再根据“月利润每件利润月销量”列出等式即可；根据为正整数，和每件售价不能高于元写成的取值范围； 根据题意列方程解方程，再根据让消费者获得最大实惠即可得到答案； 根据题的结论，利用二次函数图象的性质求解即可． 本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，正确列出式子是解题的关键． 19.【答案】；   树枝不会折断，理由见解析．  【解析】重量千克和时间小时近似满足二次函数关系：， 当时，该含冰树枝重千克； 当时，该含冰树枝增重到千克， ， 解得：， ． 不会，理由如下： ， 当时，， 当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的倍时， ， 解得：或， ， 树枝不会折断． 待定系数法求出函数解析式即可； 先求出时的函数值，再求出当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的倍时的值进行判断即可． 本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解是解题的关键． 20.【答案】；   每千克元时，日销售利润最大，最大日销售利润是元．  【解析】设． 由题意可得： 得， ， ． ． 当时， 在的范围内，， 取到最大值，最大值是． 答：销售价格为每千克元时，日销售利润最大，最大日销售利润是元． 设关于的函数表达式为，待定系数法解二元一次方程组即可求出； 根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 本题主要考查一次函数，二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 21.【答案】；   能安全通过，走左侧车道能通过．  【解析】， ， ， 设， 则， ， ； ，，，，， ， ， 当时，， 左侧车道能通过， 当时，， 右侧车道不能通过． 根据待定系数法求解即可； 分别求出，时，对应的函数值，即可判断． 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． 22.【答案】任务：；任务：运动员甲不能成功完成动作，理由见解析；任务：  【解析】解：任务：把代入， 解得：， 则， ， 最高点到水面的高度为， 即； 任务：把代入， 得， 解得，不合题意，舍去， ， 运动员甲不能成功完成动作； 任务：由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 任务：先利用待定系数法得出，然后化成顶点式，即可得出的值． 任务：把代入，把代入，计算的值，再与比较即可得到结果； 任务：求得的顶点为，得，把代入，得到与的关系式，由，列不等式即可求出的取值范围． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． 第8页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$