导数中的隐零点问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

导数中隐零点问题的研究 一、知识点讲解 1函数的单调性与极值 （1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点. （2）求可导函数极值的步骤: ①求导数，求方程的根；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 （1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： ①求在内的极值。 ②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。 二、已知函数的定义域D，它的导函数，若函数在定义域内是单调函数，若和，一种情况是（），，使得，则是函数的隐零点。这样的试题是高考导数中很常见的题型。 例1:已知函数，对函数的隐零点的模型分析 分析：函数的定义域为，，函数在定义域内单调递增，，则存在，使得，，则是函数的极小值点，且。 例2:已知函数，对函数的隐零点的模型分析 分析：函数的定义域为，，函数在定义域内单调递减，，则存在，使得，，则是函数的极大值点，且。 三、例题精析 【例题1】已知函数．若当时，，求实数的最大整数值． 解析：若当时，， 可得， 设，函数定义域为， 可得， 设，函数定义域为， 可得，单调递增， 又（4），（5）， 所以，使得， 即， 当时，，，单调递减； 当时，，，在单调递增， 所以． 故实数的最大整数值为4． 【例题2】已知．若的图像在，处的切线为，求与的值，并证明时，． 解：，， 在，处切线为， 根据题意，该切线为，所以，解得，， 所以，因为，所以， 下面证明：． 设，则， 显然在上单调递增， 因为，（1）， 所以使，所以，， 当时，，，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以在上成立． 【例题3】已知函数的极大值点为，证明：． 证明：由，定义域，， 令，则在上单调递减； 由（1），知存在，使得， 当时，，单调递增； 当，时，，单调递减； 故即为的极大值点； 由，知， 故， 故，结论成立． 四、加强练习 巩固类型 1设函数f（x）＝ex﹣x﹣2．若k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值． 解：所以（x﹣k） f′（x）+x+1＝（x﹣k） （ex﹣1）+x+1 故当x＞0时，（x﹣k） f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）① 令g（x）＝，则g′（x）＝ 由（I）知，当a＝1时，函数h（x）＝ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增， 而h（1）＜0，h（2）＞0， 所以h（x）＝ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点， 故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0； 所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）． 又由g′（α）＝0，可得eα＝α+2所以g（α）＝α+1∈（2，3） 由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2． 2 已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．当m≤2时，证明：f（x）＞0． 证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0． 当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0． 故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）． 当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0， 从而当x＝x0时，f（x）取得最小值． 由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0． 故f（x）≥＝＞0． 综上，当m≤2时，f（x）＞0． 3已知函数．当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 解：当时，恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令函数， 那么导函数， 令函数，，那么导函数， 因此函数在区间上单调递增， 由于（3），（4）， 因此函数在区间内存在唯一零点， 即，因此， 当，时，，即； 当时，，即， 可知在区间上单调递减，在区间，上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是4． 3设函数f（x）＝e2x﹣alnx．证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 证明：f（x）＝e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）＝2e2x﹣． 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点， 当a＞0时，∵y＝e2x为单调递增，y＝﹣单调递增， ∴f′（x）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a）＞0， 假设存在b满足0＜b＜时，且b＜，f′（b）＜0， 故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0， 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0， 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0， 故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增， 所以当x＝x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0）， 由于﹣＝0， 所以f（x0）＝+2ax0+aln≥2a+aln． 故当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 4已知函数，．当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且． 解：当时，，，令，则． 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又因为，且， 所以存在唯一的，使得，即． 当时，，即，单调递减，当，时，， 即，单调递增，所以是在上唯一的极小值点． 则，由①可知． 5已知函数有两个极值点，记两个极值点分别为，，证明：． 证明：知函数有两个极值点， 由题意得，，有两个不等式正根， 因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根， 所以，解得， 检验：当时，由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数有两个极值点，满足题意． 所以实数的取值范围为．知，， 所以， 所以． 令，则， 令，则在时恒成立， 所以在上单调递增． 因为，（1） 所以函数存在唯一零点，即， 当时，，单调递减；当，时，，单调递增， 当时，存在最小值，即． 因为，所以，所以， 所以． 6已知函数f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 证明：可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx， 令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2﹣， 令t′（x）＝0，解得x＝， 所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，又t（）＝＞0，所以t（x）在（0，）上存在唯一零点， 所以t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2， 且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正， 所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0， 所以f（x0）＝﹣x0﹣x0lnx0＝﹣x0+2x0﹣2＝x0﹣， 由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max＝﹣+＝； 由f′（）＜0可知x0＜＜， 所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减， 所以f（x0）＞f（）＝； 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 总结：对于这种题型，导数中的隐零点问题，需要理解关键的三步： （1） 第一步要明确函数的单调性； （2） 第二步要通过零点存在定理，找出零点所在区间； （3） 第三步，通过等量代换，转化表达式。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数中隐零点问题的研究 一、知识点讲解 1函数的单调性与极值 （1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点. （2）求可导函数极值的步骤: ①求导数，求方程的根；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 （1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： ①求在内的极值。 ②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。 二、已知函数的定义域D，它的导函数，若函数在定义域内是单调函数，若和，一种情况是（），，使得，则是函数的隐零点。这样的试题是高考导数中很常见的题型。 例1:已知函数，对函数的隐零点的模型分析 分析：函数的定义域为，，函数在定义域内单调递增，，则存在，使得，，则是函数的极小值点，且。 例2:已知函数，对函数的隐零点的模型分析 分析：函数的定义域为，，函数在定义域内单调递减，，则存在，使得，，则是函数的极大值点，且。 三、例题精析 【例题1】已知函数．若当时，，求实数的最大整数值． 解析： 【例题2】已知．若的图像在，处的切线为，求与的值，并证明时，． 解： 【例题3】已知函数的极大值点为，证明：． 证明： 四、加强练习 巩固类型 1设函数f（x）＝ex﹣x﹣2．若k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值． 2 已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．当m≤2时，证明：f（x）＞0． 3已知函数．当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 3设函数f（x）＝e2x﹣alnx．证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 4已知函数，．当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且． 5已知函数有两个极值点，记两个极值点分别为，，证明：． 6已知函数f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $$