精品解析：广东省韶关市乳源瑶族自治县民族实验学校2024-2025学年八年级下学期质量监测数学试题

2025年广外教育集团学业质量监测 八年级数学 本卷共5页，三大题，25小题，试卷满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名，再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．同时填写考场试室号、座位号． 2．所有答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卷各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；选择题必须用2B铅笔将对应序号按规定涂黑；不准使用圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生必须保持答题卷的整洁，不能折叠．考试结束后，只需将答题卷上交，试题卷自己保存． 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别是边，的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 5 5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：，，，，，（单位：分），则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的众数是分 B. 这组数据的方差是 C. 这组数据的平均数是分 D. 这组数据的中位数是分 8. 如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A. B. C. D. 9. 已知点关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在 10. 如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于 的长为径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A， C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_________． 12. 分解因式：______． 13. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为26，则的长是______． 14. 如图，在中，，是边上的高，．若，则的长为_______． 15. 已知，则代数式的值为________． 16. 如图，在中，，D为的中点，，则的长为________． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 解分式方程： 19. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 20. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 21. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率．特别是“DeepSeek”的问世将人工智能技术运用推向高潮．某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 9 10 乙软件测试得分 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）将甲软件测试得分统计图补充完整； （2）_________，_________，_________； （3）本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数． 22. 如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连结. （1）求证：. （2）若，求的长. 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元 （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 24. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 25. 在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，，其中，满足． （1）直接写出点的坐标； （2）如图，在线段上有一动点（点不与、重合），连接，在下方以为直角顶点作等腰直角． ①若点恰好落在直线上，求点的坐标； ②连结、，当线段取最小值时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广外教育集团学业质量监测 八年级数学 本卷共5页，三大题，25小题，试卷满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名，再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．同时填写考场试室号、座位号． 2．所有答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卷各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；选择题必须用2B铅笔将对应序号按规定涂黑；不准使用圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生必须保持答题卷的整洁，不能折叠．考试结束后，只需将答题卷上交，试题卷自己保存． 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 即不可以是． 故选：A． 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断三边能否组成直角三角形，利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】A. ，左边是单项式，因式分解的对象应为多项式，不符合定义． B. ，右边仍包含加法运算，未完全转化为乘积形式，不符合定义． C. ，左边为二次多项式，右边是与的乘积，符合因式分解的定义． D. ，左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法，与因式分解过程相反． 故选：C． 4. 如图，在中，，分别是边，的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，本题的关键是理解中位线的性质，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有，从而求出． 【详解】解：、分别是、的中点． 是的中位线， ， ， ． 故选：C． 5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形， 故选：C． 6. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 7. 某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：，，，，，（单位：分），则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的众数是分 B. 这组数据的方差是 C. 这组数据的平均数是分 D. 这组数据的中位数是分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算即可． 【详解】解：这组数据从大到小排列为，，，，，， 分出现次数最多，则这组数据的众数是分，故A选项正确，不符合题意； 处于中间的两个数是，，则这组数据的中位数是分，故D选项错误，符合题意； 这组数据的平均数为，故C选项正确，不符合题意； 方差为 ，故B选项正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义． 8. 如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了平行四边形的性质、中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【详解】解：根据平行四边形的性质得：， ∵， ∴为的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：， ∴的周长． 故选：D． 9. 已知点关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，各象限的符号特征，解不等式组，先求出点关于轴的对称点，再由第三象限的点的坐标特征列出不等式组，再解不等式组即可，根据象限的符号特征列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由点关于轴的对称点为， ∵对称点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 10. 如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于 的长为径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A， C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理．连接、，如图，利用基本作图得到垂直平分，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：连接、，如图， 由作法得垂直平分，垂直平分， ，， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在中，，， ． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，分式有意义的条件，掌握分母不为0是解题的关键． 根据分式有意义得到，即可求解自变量x的取值范围． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式时先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】 ． 13. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为26，则的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故答案为：4． 14. 如图，在中，，是边上的高，．若，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据同角的余角相等得到，再根据含30度角的直角三角形的性质计算，再根据含30度角的直角三角形的性质计算，最后再计算即可． 【详解】解：，是边上的高， ， 在中，， ， ， 故答案为：3． 15. 已知，则代数式的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，D为的中点，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键．延长至E，使，连接，先求出，然后证明得到，，则根据即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘方、化简二次根式、计算二次根式的除法，再进行加减法计算即可． 【详解】解： 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：两边同乘去分母， 得， 则 检验：把代入中，， 是分式方程的解． 19. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，为的平分线． （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，三角形面积的计算，掌握分割法求三角形面积是解题关键． （1）通过尺规作图作出的平分线； （2）过点作的垂线，交于点，利用角平分线的性质得，将的面积拆分为与的面积和，然后将、和代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，交于点， 平分，，， ， ． 答：的面积为． 20. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 21. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率．特别是“DeepSeek”的问世将人工智能技术运用推向高潮．某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 9 10 乙软件测试得分 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）将甲软件测试得分统计图补充完整； （2）_________，_________，_________； （3）本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数． 【答案】（1）甲软件测试得分统计图如下图为所求： （2），， （3）甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数800人 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． （1）根据题意，先求得等级人数，然后画统计图即可； （2）把甲软件分数从小到大排列一遍，即可求得中位数，由乙软件测试得分统计图，可求得等级占比，从扇形统计图比例，可知等级占比最多，从而得到乙软件的众数； （3）依次求得对甲款、乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比，然后再求得A等级人数，最后求得答案． 【小问1详解】 解：相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据， 等级人数有：， 【小问2详解】 解：甲软件测试分数如下：7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，那么中位数为：9， ， 由乙软件测试得分统计图，等级占比：， ， 等级占比最多， 乙软件众数为：9， ． 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比为：， 对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人）， 对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级的人占比为， 对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人）， 评分为A等级的总人数为：（人）． 答：甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数800人． 22. 如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连结. （1）求证：. （2）若，求的长. 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴且，           ∴，                               ∵， ∴，         ∴，                ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等. （1）由平行四边形对边平行且相等可得且，进而可证明，可得； （2）由 可得，，设，则，由勾股定理解求出，再用勾股定理解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ， ∴，， 设，则， ∴ ， 在中，由勾股定理，得 ， 即， 解得 ， ∴， ∴. 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元 （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】（1）篮球的单价为元，足球的单价为元 （2）共有三种购买方案，方案一：采购篮球30个，则采购足球为20个；方案二：采购篮球31个，则采购足球为19个；方案三：采购篮球32个，则采购足球为18个；方案一花费最少． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设采购篮球个，则采购足球为个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 由题意得：， 解得：， ∴篮球的单价为元，足球的单价为元； 【小问2详解】 解：设采购篮球个，则采购足球为个， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的值可为30、31、32， ∴共有三种购买方案， 方案一：采购篮球30个，则采购足球为20个，费用为元； 方案二：采购篮球31个，则采购足球为19个，费用为元； 方案三：采购篮球32个，则采购足球为18个，费用为元； ． 方案一花费最少． 24. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2） ①解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 25. 在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，，其中，满足． （1）直接写出点的坐标； （2）如图，在线段上有一动点（点不与、重合），连接，在下方以为直角顶点作等腰直角． ①若点恰好落在直线上，求点的坐标； ②连结、，当线段取最小值时，求证：． 【答案】（1） （2）① ②证明：连接， 由①得， ∴， 即点F在过点O，与x轴夹角为的射线上， 当垂直时，最小， 又∵， ∴， 同理， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据算术平方根和完全平方的非负性求出，的值，得到点的坐标即可； （2）①作轴于，即可得到，进而得到，然后得到点的坐标，代入解析式即可； ②连接，则点F在过点O，与x轴夹角为的射线上，当垂直时，最小，证明即可得到结论． 【小问1详解】 解：，满足，即 则， 即点； 【小问2详解】 ①解：作轴于， ∵四边形是正方形，三角形是等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 设， 则， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $