第一章 特殊平行四边形 章末测试-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 章末测试-2025-2026学年北师大版九年级上册数学 考试时间：60分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 2．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 3．如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，，E为的中点，与相交于点F，，则的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．72° 6．如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 7．如图，小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，则直线即所求．根据他的作图方法，可知四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意四边形 8．如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(　　) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 二、填空题（共6小题，共24分） 9．如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则　 　． 10．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则　 　． 11．如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离　 　． 12．如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则　 　． 13．如图，从边长为2的正方形ABCD内部取一点G，使它与正方形两个相邻的顶点C，D及点G到边AB的距离都相等，则CG等于　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，E是边上一点．连接，将沿折叠，点刚好与边上点重合，则的长为　 　． 三、解答题（共5小题，共44分） 15．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由． 16．如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证：OE＝OF； （2）若BC＝2，求AB的长． 17．如图，的对角线、相交于点O，，与交于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形是矩形，并说明理由； （2）若，求的面积． 18．如图，在四边形中，，分别是边上的点，连接交于点，．添加下列条件之一使四边形成为菱形：①；②． （1）你添加的条件是______（填序号），并证明． （2）在（1）的条件下，连接，若，求菱形的面积． 19．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为，，求的长． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴ 故答案为：D． 【分析】根据菱形的性质求得，∠ACB=60°，于是可判定△ABC为等边三角形，即可求解． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故答案为：D． 【分析】连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，在Rt△ABC中利用勾股定理算出AC=2，由矩形对角线互相平分可求出OA=OC=1，用SAS判断出△AOE≌△COF，得∠AOE=∠COF，从而结合对顶角定义可判断出E、O、F三点共线，根据直角三角形斜边中线性质可推出点G的轨迹为以H为圆心，为半径即AO为直径的圆弧，根据圆中最大的弦是直径可得AG的最大值. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵矩形，∴， 过点作， ∵，∴，∴， ∴， ∵，∴； 故选：C． 【分析】过点作，得到，推出，进行求解即可． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：∵是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】根据矩形性质即可求出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，再根据等边对等角解题即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：由作图可知：， 在和中， ， ∴， 在平行四边形中，当时，有， ∴四边形不一定是矩形，故A错误； 在平行四边形中，当时，有，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故B正确； 在平行四边形中，当时，有平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C错误； 在平行四边形中，当时，有平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形不一定是菱形，故D错误； 故答案为：B． 【分析】根据作图步骤得到，从而证明，当时，有，根据矩形的判定可知A错误；当时，有，进而得，根据菱形的判定可知B正确；当时，有平行四边形是矩形，得，结合B选项可知C错误；当时，有平行四边形是菱形，得，结合A选项可知D错误. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由作法可知， 根据四条边都相等的四边形是菱形， 可知四边形一定是菱形． 故答案为：B． 【分析】 根据作法与菱形的判定可得四边都相等的四边形是菱形，由此解答即可． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是D， 故答案为：D． 【分析】 根据点，，，分别为四边形的边，，，的中点得到、、分别为、、的中位线；再由中位线的性质定理可判定得到四边形为平行四边形，再分别讨论各个选项，根据判定逐一分析即可解答． 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵菱形的面积为60， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∵，， ∴， 故答案为：． 【分析】根据菱形的性质以及面积得，，，然后结合完全平方公式求出，从而在中利用勾股定理即可求出的长度，进而再根据直角三角形斜边上的中线性质得到. 10．【答案】 【解析】【解答】解：如图所示： 连接，延长交的延长线于H， 因为矩形中，为边的中点， 所以，， 因为将沿翻折，点的对应点为， 所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以为直角三角形， 设，则， 所以， 所以， 所以为等腰三角形，所以， 所以，∴． 故答案为：． 【分析】 如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，利用ASA，证得，结合勾股定理的逆定理，得到为直角三角形，设，得到，证得为等腰三角形，求出，即可求解． 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵菱形两对边的距离为， ∴ ∴； 故答案为：． 【分析】根据菱形性质可得，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积即可求出答案. 12．【答案】30 【解析】【解答】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 【分析】根据正方形的性质，可得AD=AB，，再根据是等边三角形，可得AE=AB，，然后再根据等腰三角形和三角形内角和公式，可求出，最后再根据，代入数据即可求解。 13．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得：GF⊥CD ∵GC=GD ∴DF=CF=1 ∵四边形ABCD是正方形 ∴EF=AD=2 设GC=GD=GE=x，则GF=2-x ∴ 解得： 故答案为： 【分析】由题意可得：GF⊥CD，根据垂直平分线性质可得DF=CF=1，再根据正方形性质可得EF=AD=2，设GC=GD=GE=x，则GF=2-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵矩形的顶点B坐标为， ∴，，， 由折叠可知，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得； 的长为． 故答案为． 【分析】利用勾股定理得到长，然后设，根据勾股定理解出x值即可． 15．【答案】解：BE=CF．理由如下： 在矩形ABCD中，OB=OC， ∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F， ∴∠BEO=∠CFO=90°， 在△OBE和△OCF中， ∴△OBE≌△OCF（AAS）， ∴BE=CF． 【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，由此解答即可． 16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠FCO． 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF （2）解：如图，连接OB． ∵BE＝BF，OE＝OF， ∴BO⊥EF， 在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°． ∵△AOE≌△COF， ∴OA＝OC． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90° ∴OA＝OB＝OC， ∴∠BAC＝∠ABO． ∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝30°． ∵BC＝， ∴AC＝2BC＝， ∴AB＝＝＝6 【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE＝OF； （2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，接下来运用勾股定理即可求出AB的长． 17．【答案】（1）解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形。 （2）解：由（1）可得当时，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴在中，， ∴在中，， ∵， ∴是菱形， ∴。 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，只需添加条件使得，根据矩形的判定定理，即可证明； （2）根据（1）中，可得，当时，四边形是矩形，得到，根据平行四边形的性质，，代入数据，求出AO的值，在中，根据勾股定理：，代入数据求出BD的值，根据，易证是菱形，根据菱形的性质：，代入数据即可求解。 （1）解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：由（1）可得当时，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴在中，， ∴在中，， ∵， ∴是菱形， ∴． 18．【答案】（1）解：添加条件②，证明如下； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由菱形的性质可知，，如图， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【解析】【分析】（1）添加条件②，由，证明四边形是平行四边形，证明，则，进而可证四边形是菱形，解答即可； （2）由菱形的性质可知，，再由勾股定理得，，计算解得，进而可求的值，根据，计算求解即可． （1）解：添加条件②，证明如下； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由菱形的性质可知，，如图， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 19．【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，且边长为4， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 由（1）得四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得，，从而得，进而得，，即可得证结论； （2）根据菱形的性质、 证出是等边三角形，从而得，进而得，然后利用勾股定理求出OC的长，得AC=2OC的长，由（1）中四边形为矩形，得CE=OD的值，∠OCE=90°，最后利用勾股定理求出AE的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形 章末测试-2025-2026学年北师大版九年级上册数学 考试时间：60分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 2．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 3．如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，，E为的中点，与相交于点F，，则的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．72° 6．如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 7．如图，小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，则直线即所求．根据他的作图方法，可知四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意四边形 8．如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(　　) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 二、填空题（共6小题，共24分） 9．如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则　 　． 10．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则　 　． 11．如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离　 　． 12．如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则　 　． 13．如图，从边长为2的正方形ABCD内部取一点G，使它与正方形两个相邻的顶点C，D及点G到边AB的距离都相等，则CG等于　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，E是边上一点．连接，将沿折叠，点刚好与边上点重合，则的长为　 　． 三、解答题（共5小题，共44分） 15．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由． 16．如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证：OE＝OF； （2）若BC＝2，求AB的长． 17．如图，的对角线、相交于点O，，与交于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形是矩形，并说明理由； （2）若，求的面积． 18．如图，在四边形中，，分别是边上的点，连接交于点，．添加下列条件之一使四边形成为菱形：①；②． （1）你添加的条件是______（填序号），并证明． （2）在（1）的条件下，连接，若，求菱形的面积． 19．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$