精品解析：2025年甘肃省金昌市永昌县第六中学中考三模数学试卷

2025年甘肃省金昌市永昌六中三模考试导航试卷数学 注意事项：本试卷共12页，共27个小题，考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 64的平方根是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解决此题的关键，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴64的平方根是， 故选：C． 2. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线． 故选：B． 3. 化简的结果为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，利用分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得，从而得出，所以，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵边长为6的正方形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理，得． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求出是解题的关键． 5. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 6. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 7. 《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有人，辆车，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设有人，辆车， ∵3人坐一辆车时，有2辆车是空的， ∴被使用的车辆数为，总人数满足； ∵2人坐一辆车时，有9人需要步行， ∴坐上车的人数为，这部分人刚好坐满辆车，可得． 因此符合题意的方程组为． 8. 近年来，甘肃在接待国内游客人数和旅游收入方面得到了发展，如图所示的统计图反映了2020—2024年甘肃省国内旅游收入情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2024年甘肃省国内旅游收入最多 B. 2022年甘肃省国内旅游收入最少 C. 2020-2024年，甘肃省国内旅游收入持续增加 D. 从2023年开始，甘肃省国内旅游收入突破2500亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图提供信息解答即可． 本题考查了统计图的应用，从统计图中得到解题所需要的信息是解题的关键． 【详解】解：A. 根据统计图信息，得到， 故2024年甘肃省国内旅游收入最多，正确，不符合题意； B. 根据题意，得， 故2022年甘肃省国内旅游收入最少，正确，不符合题意； C. 根据题意，得， 故2020-2024年，甘肃省国内旅游收入不是持续增加，而是先增加后又下降，再增加，原说法错误，符合题意； D. 从2023年开始，甘肃省国内旅游收入突破2500亿元，原说法正确，不符合题意； 故选C． 9. 如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 故选：A． 10. 如图1，动点P从矩形（）的点A 出发，沿边→匀速运动，运动到点 C 时停止．设点P的运动路程为x，的周长为y，y与x的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．当点P运动到点C处时，，即，此时，求出，利用勾股定理求出a值即可解答． 【详解】解∶ 由图可知，当点P运动到点C处时，， 即． ∵四边形为矩形， ，． ． 当点P运动到点C处时，此时． 此时的周长为12，即， ． 设， ， 在中， ， 即， 解得：，． ， ． ， ． ∵四边形为矩形， ． 故选∶D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得，解方程即可．解题的关键是掌握：根的判别式是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴实数的值是． 故答案为：． 13. 对于实数a，b定义新运算：，如，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题．根据，即可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：4． 14. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 【答案】12°##12度 【解析】 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键． 15. 一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为．通过计算判断球______（能或不能）射进球门．（忽略其他因素） 【答案】不能 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，由时，求出y的值可以判断得解 【详解】解：当时，， 所以，球不能射进球门． 故答案为：不能． 16. 如图是武威“天马之眼”摩天轮，位于凉州植物园东侧天马湖畔，是中国第五大摩天轮．图2是其示意图，点O是圆心，半径为米，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（座舱视为圆周上的点），若摩天轮匀速转动一周需要30分钟，小智进入座舱A，摩天轮顺时针转动8分钟后，那么座舱A走过的路程是______米．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了弧长公式的应用．求出摩天轮8分钟转过的角度，根据弧长公式进行解答即可． 【详解】解：∵摩天轮匀速转动一周需要30分钟， ∴摩天轮每分钟转过的角度为， 则摩天轮8分钟转过的角度为， ∵摩天轮的半径为米， ∴座舱A走过的路程是米， 故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算除法和乘法，再化为最简二次根式，然后算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：   由①得  ， 由②得 ， 不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图，是甘肃省造光绪元宝古币的正面和反面，光绪元宝是大清光绪年间流通大面值货币之首，具有非常特殊的历史意义．小智同学对此货币非常感兴趣，他想根据所学知识找到此货币所在圆的圆心，他的作法如下： ①如图3，在圆上依次取三点A，B，C； ②分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线； ③分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于P，Q，作直线，直线与相交于点O； 即点O为所作圆的圆心， （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图3中作出圆心O；（保留作图痕迹） （2）根据（1）中画出的图形，连接，若为等边三角形，的半径为，则的面积为______． 【答案】（1） 如图，点O为所作圆的圆心， （2） 【解析】 【分析】此题考查了确定圆心的位置、解直角三角形、等边三角形的性质等知识，正确作图和熟练掌握等边三角形的性质是关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）设直线交于点D，连接，求出，，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线交于点D，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为： 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 22. 如图是甘肃省兰州市北滨河路西延段的“生命之源”水景雕塑，由水池、金字塔形基座和巨型彩陶三部分构成．其中，巨型彩陶的设计灵感源自甘肃彩陶中的瑰宝——马家窑文化彩陶．志学小组开展了“测量生命之源水景雕塑的高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图2，在点C处用测角仪测得雕塑顶端点A的仰角为，再由点C向雕塑走到达E处，测得雕塑顶端点A的仰角为，已知点B，E，C在同一条直线上． 数据收集：测角仪高度，． 问题解决：求“生命之源”水景雕塑AB的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】“生命之源”水景雕塑AB的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点G，根据题意可得：，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点G， 由题意得：，，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴“生命之源”水景雕塑AB的高度约为． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 每年的6月26日是国际禁毒日，为了进一步加强校园禁毒宣传力度，普及学生对毒品危害的认识，增强未成年人的法治意识、禁毒意识和自我保护意识，某学校开展“远离毒品、关爱未来”禁毒知识测试活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：七年级20名学生的成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6； 信息二：八年级20名学生的测试成绩条形统计图如下： 信息三：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比，数据如下： 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 7.5 7 7.5 8 7.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：______，______； （2）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握禁毒知识较好，请说明理由． 【答案】（1）7，； （2）估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1080人 （3）八年级学生掌握禁毒知识较好， 理由：由于七、八年级学生的测试成绩的平均数相同，但八年级学生测试成绩的众数、中位数均比七年级高，因此八年级学生测试成绩较好（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体、条形统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和百分比的意义求解即可； （2）用1200乘七年级、八年级总合格率即可； （3）比较七年级、八年级学生测试成绩的中位数、众数的大小得出结论． 【小问1详解】 解：七年级20名学生测试成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7，即， 八年级8分及以上人数所占百分比； 故答案为：7，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1080人； 【小问3详解】 略 24. 如图，点B和是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】此题考查反比例函数和一次函数的交点问题，正确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，求出点，将代入即可求出，得到一次函数解析式； （2）求出点，点，点E的坐标为，根据三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6，则， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得： ，则； ∴直线解析式为； 【小问2详解】 ∵，轴， ∴点， 在中， 当时，， 则点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 25. 如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径及的值； 【答案】（1）证明： ， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）半径为3， 【解析】 【分析】（1）证明是的半径，即证明，结合直径所对圆周角是、等腰△OAC和已知即可求解； （2）由（1）中结论和可知，，再由CD、CE和平行线分线段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的关系，最后利用三边的勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，即， ∴设，则， ，解得，， ．即的半径为3， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想． 26. 【模型建立】 （1）如图1，是的中线，求的取值范围； 【模型应用】 （2）如图2，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且．求证：； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：延长到点使，连接， 由（1）知， ∴， ， ， ， ， ， ， ， （3）， 延长到，使，连接， ， ， ， ， ， 点在一条直线上， ， ∴， ∴在和中， ，，， ∴ ， ∵， ． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围； （2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到； （3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明，即可得到，进而通过线段的和差关系得到． 【详解】（1）延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键． 27. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，，结合点为第四象限内抛物线上一动点， ，可得，再解方程并检验即可； （3）过点C作且，连接、， 证明， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知， ，则，， ∴点，则， 设点，， ∵点为第四象限内抛物线上一动点， ， 则， 整理得， 解得：， （不符合题意舍去） ∴， 则点； 【小问3详解】 解：过点C作且，连接、， 则，点， ∵， 则， 则， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 即的最小值． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算、求函数表达式等，确定三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年甘肃省金昌市永昌六中三模考试导航试卷数学 注意事项：本试卷共12页，共27个小题，考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 64的平方根是（ ） A. 8 B. C. D. 2. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2.5 5. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 7. 《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有人，辆车，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，甘肃在接待国内游客人数和旅游收入方面得到了发展，如图所示的统计图反映了2020—2024年甘肃省国内旅游收入情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2024年甘肃省国内旅游收入最多 B. 2022年甘肃省国内旅游收入最少 C. 2020-2024年，甘肃省国内旅游收入持续增加 D. 从2023年开始，甘肃省国内旅游收入突破2500亿元 9. 如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从矩形（）的点A 出发，沿边→匀速运动，运动到点 C 时停止．设点P的运动路程为x，的周长为y，y与x的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是______． 13. 对于实数a，b定义新运算：，如，则的值为______． 14. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 15. 一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为．通过计算判断球______（能或不能）射进球门．（忽略其他因素） 16. 如图是武威“天马之眼”摩天轮，位于凉州植物园东侧天马湖畔，是中国第五大摩天轮．图2是其示意图，点O是圆心，半径为米，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（座舱视为圆周上的点），若摩天轮匀速转动一周需要30分钟，小智进入座舱A，摩天轮顺时针转动8分钟后，那么座舱A走过的路程是______米．（结果保留π） 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，是甘肃省造光绪元宝古币的正面和反面，光绪元宝是大清光绪年间流通大面值货币之首，具有非常特殊的历史意义．小智同学对此货币非常感兴趣，他想根据所学知识找到此货币所在圆的圆心，他的作法如下： ①如图3，在圆上依次取三点A，B，C； ②分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线； ③分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于P，Q，作直线，直线与相交于点O； 即点O为所作圆的圆心， （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图3中作出圆心O；（保留作图痕迹） （2）根据（1）中画出的图形，连接，若为等边三角形，的半径为，则的面积为______． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 22. 如图是甘肃省兰州市北滨河路西延段的“生命之源”水景雕塑，由水池、金字塔形基座和巨型彩陶三部分构成．其中，巨型彩陶的设计灵感源自甘肃彩陶中的瑰宝——马家窑文化彩陶．志学小组开展了“测量生命之源水景雕塑的高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图2，在点C处用测角仪测得雕塑顶端点A的仰角为，再由点C向雕塑走到达E处，测得雕塑顶端点A的仰角为，已知点B，E，C在同一条直线上． 数据收集：测角仪高度，． 问题解决：求“生命之源”水景雕塑AB的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 每年的6月26日是国际禁毒日，为了进一步加强校园禁毒宣传力度，普及学生对毒品危害的认识，增强未成年人的法治意识、禁毒意识和自我保护意识，某学校开展“远离毒品、关爱未来”禁毒知识测试活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：七年级20名学生的成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6； 信息二：八年级20名学生的测试成绩条形统计图如下： 信息三：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比，数据如下： 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 7.5 7 7.5 8 7.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：______，______； （2）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握禁毒知识较好，请说明理由． 24. 如图，点B和是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 25. 如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径及的值； 26. 【模型建立】 （1）如图1，是的中线，求的取值范围； 【模型应用】 （2）如图2，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且．求证：； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 27. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $