精品解析：山东省淄博市张店区科技苑中学2024—2025学年下学期6月学情调研八年级数学试卷（五四学制）

科中6月学情调研初三数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：∵函数， ∴，， 解得：，， ∴自变量的取值范围是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了求自变量得取值范围，二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解本题的关键． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，化为最简二次根式后，如果被开方数相同，即可判断． 【详解】解：A. =与不是同类二次根式，不符合题意； B. 与不是同类二次根式，不符合题意； C. =与不是同类二次根式，不符合题意； D. =与是同类二次根式，符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查同类二次根式的识别，解题的关键是熟知二次根式的性质进行化简． 3. 如图，已知点D为ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由在△ABC中，DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长，然后AC-AE即可求得答案． 【详解】解：∵在△ABC中，DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD：AB=2：3，AE=6， ∴AC=AE=9, ∴EC=AC-AE=9-6=3． 故选C． 【点睛】本题考查平行截三角形相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似三角形的判定与性质是解题关键． 4. 若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为（ 　 ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把x=1代入方程，即可得到关于m的方程，然后再求解即可． 【详解】解：把x=1代入方程得：1-m+2=0，解得：m =3． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，理解方程的解的定义是解答本题的关键． 5. 一种药品原价每盒元，经过两次降价后每盒元．设两次降价的百分率都为，则满足方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等量关系为：原价×(1﹣降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可． 【详解】解：根据题意，第一次降价后的价格为：64(1﹣x)； 第二次降价后的价格为：64(1﹣x)2； ∵两次降价后的价格为49元， ∴64(1﹣x)2=49． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b． 6. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得和，进而代入数值求解即可． 【详解】解：∵∥， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∵∥， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出AE的长是解题关键． 7. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【详解】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 9. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似变换的性质得：，则PO=OA=2，然后写出P点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（-1，2）， ∴AB=4，OA=2，OD=2， ∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心， ∴ ， ∴PO=OA=2， ∴P点坐标为（-2，0）． 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 10. 如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，设正方形的边长为，则，据此得到，再由，可证明，得到，，进而证明，则可证明得到，，由勾股定理得到，则，可得，，可得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 由正方形的性质可得， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 若（，，均不为0），则的值为__________ 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出，，然后将化为：+-，再代入求值． 【详解】解：已知（，，均不为0），由比例的性质得： ； ； 则=+= 故答案为：1． 【点睛】此题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算． 12. 如图，在中，、分别是、上的点，且，若，则______. 【答案】1:20 【解析】 【分析】根据△BDE和△CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明△BDE∽△BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题. 【详解】∵△BDE和△CDE高相同,且, ∴BE:EC=1:4, ∵ ∴△BDE∽△BAC,即BE:BC=1：5 ∴1:25 ∴1：（25-1-4）=1:20 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键. 13. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，再根据一元二次方程的定义，可得，即可解答． 【详解】解：由题意得， 即， 解得， 根据一元二次方程的定义，可得， 解得， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次根的判别式，熟知根的判别式的符号对应的根的情况是解题的关键． 14. 若实数，满足，则的值是______________． 【答案】3 【解析】 【分析】求出()()=3，再分解因式，根据二次根式的性质得出，求出即可求解． 【详解】解：∵实数a，b满足()()=3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质和解一元二次方程等知识点，能求出是解此题的关键． 15. 如图，菱形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，连接DE，过点C作EF的平行线交DE于点G．若，，则CG的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设BF与DE相交于点O，根据平行线分线段成比例，先求得OC，OB的长度．再运用等边三角形的性质，求得OF的长．最后根据，得，求得结果． 【详解】解：如图，设BF与DE相交于点O， ∵菱形ABCD，点E在AB的延长线上， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∵等边△BEF，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，结合菱形、等边三角形的性质，求得相关线段长度是解题关键． 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案； （2）运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解：，，，． ，． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及公式法解一元二次方程，熟练运用二次根式运算法则以及公式法解一元二次方程是解本题的关键． 17. 在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上（MN），PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的长度． 【答案】木杆PQ的长度为3m． 【解析】 【分析】过N点作ND⊥PQ于D，先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可． 【详解】解：过N点作ND⊥PQ于D，如图所示： ∴， 又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1， ∴QD===2（m）， ∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）． 答：木杆PQ的长度为3m． 【点睛】本题考查了平行投影；在运用投影的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键． 18. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍.该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？ 【答案】每件文化衫应定价元. 【解析】 【分析】设每件文化衫的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（）件，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的2倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】设每件文化衫的定价为元， 根据题意，得， 解得，. ∵售价不能超过进价的倍， ∴. ∴. 答：每件文化衫应定价元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 如图：在中，，，P是AB上一点，且，若Q在AC上，试确定Q点的位置，使以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【解析】 【分析】由∠A是公共角，可得当AP：AB=AQ：AC时，△APQ∽△ABC，当AP：AC=AQ：AB时，△APQ∽△ACB，继而求得答案． 【详解】是公共角， 当AP：：AC时，∽， 即3：：4， 解得：； 当AP：：AB时，∽， 即3：：5， 解得：； 当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 20. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】（1） 位似中心如图所示；，； （2） 如图，如图所示；； （3）点 【解析】 【分析】本题主要考查了利用位似变换作图等知识，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心，再根据平面直角坐标系写出点和的坐标； （2）延长到，使，延长到，使，连接，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据位似比是2写出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，的内部一点的坐标为，与的位似比为， 所以，点． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的两实数根之积等于，求的值． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【详解】（1）由于方程有两个相等的实数根，所以可据根的判别式来确定m的值；（2）根据根与系数的关系来确定m的值，最后要根据判别式来取舍m的值． 解：（1）由题意得：， ∴ 解得：， ∴ 的值为或 （2）由题意得： ∴ 即： 解得：， 当时， ∴舍去 当时， ∴的值为10. 22. 问题呈现：（1）如下图，和都是等边三角形，连接，，求证：； 类比探究：（2）如下图，和都是等腰直角三角形，，连接，，求的值； 拓展提升：（3）如下图，和都是直角三角形，，且，连接，，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即． ， ； （2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的综合题； （1）证明，即可得； （2）证明，可推导出，再证明，可得，设，则，在中，求出，则； （3）由已知可证，则，再证，即可得． 熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：（1）略 （2）解：和都是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ； （3），， ， ，， ， ， ． 23. （1）模型探究：如图，点、分别是的边、上的点，且，点在上，连接，交于点，求证：． （2）模型运用：如图，在Rt中，，于点，点是中点，延长．交于点，于点，求证：． （3）观察思考：如图，在（2）的条件下，连接，是否存在？若存在，请求出此时与的数量关系；若不存在，请给出证明． 【答案】 证明：（1）∵ ∴∠AND=∠B，∠AND=∠AMB，∠ANE=∠AMC，∠AEN=∠C， ∴△AND∽△ABM，△ANE∽△AMC， ∴，， ∴， ∴； （2）延长NM交BA延长线于点E， ∵，， ∴AD∥EN， ∴∠BAP=∠E，∠BPA=∠BME，∠BPD=∠BMN，∠PDB=∠MNB， ∴△BPA∽△BME，△BDP∽△BNM， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴AP=DP， ∴EM=NM， ∵， ∴∠EAM=∠MNC=90°，∠AME=∠NMC， ∴△AEM∽△NCM， ∴， ∴ ∴ （3）不存在． 证明：假设 ， 即 这与“垂线段最短”矛盾 故原假设不成立，不存在． 【解析】 【分析】（1），可证△AND∽△ABM，△ANE∽△AMC，可得，，推出即可； （2）延长NM交BA延长线于点E，由，，可得AD∥EN，可证△BPA∽△BME，△BDP∽△BNM，可得，，由点是中点，AP=DP，可得EM=NM，再证△AEM∽△NCM即可； （3）不存在．用反证法假设，可得， 可证，可得，由可得，进而这与“垂线段最短”矛盾即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行线截三角形相似，比例中项，反证法，线段中点，掌握平行线截三角形相似，比例中项，反证法，线段中点等知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科中6月学情调研初三数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知点D为ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为（ 　 ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. 一种药品原价每盒元，经过两次降价后每盒元．设两次降价的百分率都为，则满足方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 9. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 若（，，均不为0），则的值为__________ 12. 如图，在中，、分别是、上的点，且，若，则______. 13. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 14. 若实数，满足，则的值是______________． 15. 如图，菱形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，连接DE，过点C作EF的平行线交DE于点G．若，，则CG的长度是__________． 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上（MN），PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的长度． 18. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍.该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？ 19. 如图：在中，，，P是AB上一点，且，若Q在AC上，试确定Q点的位置，使以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 20. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的两实数根之积等于，求的值． 22. 问题呈现：（1）如下图，和都是等边三角形，连接，，求证：； 类比探究：（2）如下图，和都是等腰直角三角形，，连接，，求的值； 拓展提升：（3）如下图，和都是直角三角形，，且，连接，，直接写出的值． 23. （1）模型探究：如图，点、分别是的边、上的点，且，点在上，连接，交于点，求证：． （2）模型运用：如图，在Rt中，，于点，点是中点，延长．交于点，于点，求证：． （3）观察思考：如图，在（2）的条件下，连接，是否存在？若存在，请求出此时与的数量关系；若不存在，请给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $