精品解析：广东省广州市2024-2025学年天河外国语中学九年级二模数学试卷

2024学年下学期九年级考前综合练习（二） 数 学 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2. 学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求简单组合体的俯视图，根据从上往下看得到的图形为俯视图，即可得解，也考查空间想象能力． 【详解】解：从上向下看，可得俯视图为： ， 故选：A． 3. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键． 4. 人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：140 亿， 故选：B． 5. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查余角定义，角度计算，平行线性质．根据题意即可算出度数，再利用平行性质即可算出本题答案． 【详解】解：如下图所示： ∵，一块含有角的三角板， ∴， ∵两个顶点放在直尺的一组对边上， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式以及积的乘方进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 8. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ） 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它 人数（人） 30 5 15 8 2 A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用学校总人数乘样本中乘坐公交车上学的人数的比例，即可得出答案． 【详解】解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为： （人）， 故选：D． 9. 若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴，即， ∴，故A选项错误，不符合题意； B． ∵，， ∴，故B选项错误，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故D正确，符合题意． 故选D． 10. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，则矩形ABCD的面积等于 （ ） A. B. C. D. 16＋12 【答案】C 【解析】 【分析】依据△A′EP∽△D′PH，△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，即可得出△A′EP与△D′PH的相似比为2：1，设AB=A'P=x，则CD=D'P=x，D'H=x，A'E=x，再根据△D′PH的面积为2，即可得到x=2，进而得出A'E=AE=4，A'P=2=D'P，D'H=DH=，依据勾股定理可得Rt△A'EP中，EP=2，Rt△D'PH中，PH=，最后根据矩形ABCD的面积等于AD×AB进行计算即可． 【详解】由折叠可得，∠A'PF=∠B=90°，∠D'PH=∠C=90°，而∠FPG=90°， ∴∠A'PD'=90°， ∴∠A'PE+∠D'PH=∠A'PE+∠A'EP=90°， ∴∠A'EP=∠D'PH， 又∵∠A'=∠D'=90°， ∴△A′EP∽△D′PH， ∵四边形ABC是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x， 由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x， ∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2， 又∵△A′EP∽△D′PH， ∴A′P：D′H=2，∵PA′=x， ∴D′H＝x， ∵•x•x=2， ∴x=2（负根已经舍弃）， ∴AB=CD=2，PE=，PH=， ∴AD=， ∴矩形ABCD的面积=AB×AD=． 故选：C 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 二、填空题：（共6小题，每小题3分，共18分.请把答案直接填写在答题卡对应位置横线上.） 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括提公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用，解题的关键是先提取公因式，再对剩余部分运用平方差公式继续分解． 先观察多项式，发现各项都含有公因式提取公因式后得到再观察括号内的式子它符合平方差公式的形式，其中进而分解得到最终结果． 【详解】解： 故答案为： ． 12. 若用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为____. 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据弧长公式求出圆锥的底面周长，根据圆的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r， 由题意得，圆锥的底面周长， ， 解得，， 故答案为． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用角角定理证明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性质得到，求得BC的长，从而使问题得解． 【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B ∴△BAD∽△BCA ∴ ∵AB=6，BD=4 ∴ ∴BC=9 ∴CD=BC-BD=9-4=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键． 14. 《孙子算经》中有这样一个问题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问绳长多少尺？答：绳长______尺． 【答案】11 【解析】 【分析】设木头长尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设木头长尺，则绳子长尺，由题意，得： ，解得：， ∴绳子长（尺）； 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． 15. 已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则_____0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，由反比例函数的性质可知若，则，若，则，即可得出答案，明确双曲线位于一、三象限，点在同一象限是解题的关键． 【详解】解： ∴双曲线位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数，且， ∴点在同一象限， ， 当在第一象限时， 若，则， ； 若，则， ； 当在第三象限时， 若，则， ； 若，则， ； 综上，， 故答案为：． 16. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是______cm． （2）若，则的值是______． 【答案】 ①. 4 ②. 3 【解析】 【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长； （2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）设， ∵， ∴可设，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∵四边形对角互补， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为． 18. 如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线即可； （2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，，，即为所求； 【小问2详解】 解：证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）． 19. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 （1）求组同学得分的中位数和众数； （2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 【答案】（1）组同学得分的中位数为分，众数为分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，每组学生人数为10人， 中位数为第5、6名同学得分的平均数， 组同学得分的中位数为分， 分出现了两次，次数最多， 众数为分； 【小问2详解】 解：由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名， 令组的2名同学为、，组的2名同学为、， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种， 这2名同学恰好来自同一组的概率． 20. 已知直线与直线． （1）如果，当x取何值时，？ （2）如果两条直线相交于点A，A点的横坐标x满足，求整数n的值． 【答案】（1）当时， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交问题，关键是根据两直线相交联立方程解答． （1）把代入直线解析式，列出不等式即可求解； （2）根据两直线相交联立方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴直线，直线． 依题意有， 解得， 故当时，； 【小问2详解】 解：由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 又∵n是整数， ∴整数或． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 （1）由题意可知：、；、；、；则 、 ； （2） ； （3）的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 【答案】（1）15；8 （2） （3）的值不能等于．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键． (1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答； (2)根据变化规律计算出和的值，再进行解答即可； (3)根据规律计算出n的值，即可得知结果． 【小问1详解】 解：∵，，，，，， …… ∴根据规律发现,， ∴，， 故答案为：15；8． 【小问2详解】 解：∵，， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：不能，理由如下： ∵， ， ∵n不是整数， ∴的值不会等于． 22. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得； （2）连接交于，根据垂径定理推论得，，根据，，得，，得，，根据，得，即得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图2，连接交于， ， ， 是劣弧的中点， ，，， ∵，， ， ， ， 由（1）知， ， ，即， 解得，； ，，， ∴， ， ； 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式，是解题的关键． 24. 在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点的一条直线翻折，使点落在点处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小明延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是________． 【深入探究】 （2）如图3，小华在图2的基础上延长，交的延长线于点，在图3中是否存在一条线段与相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为4，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析；（3）4或 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】解：（1）． 由折叠的性质，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）存在，． 证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． （3）4或． 根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示． ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴． ②当点在的延长线上时，如图2所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为4或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求出二次函数的表达式． （2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． （3）当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）把点代入，即可解答； （2）先求出直线的解析式，再求出直线与抛物线的另一个交点，得出和，再根据n的范围即可得出答案； （3）分别表示出，，，再相加化简即可． 【小问1详解】 由题意得，抛物线（m是常数，且）经过点， ， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得：垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点， ，即与抛物线交于P、Q，与直线交于N， 对于二次函数，令，则， ， 又对称轴是直线， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 直线与抛物线的另一个交点满足 ， 解得：（舍去），或， 另一个交点为， 直线与的交点在之间， ， 又P、Q两点为直线与抛物线的交点， ，即， ， 又在直线上， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 证明：， 当，，时，， ， ， ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年下学期九年级考前综合练习（二） 数 学 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 8. 为了解学生上学交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ） 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它 人数（人） 30 5 15 8 2 A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 9. 若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 10. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，则矩形ABCD的面积等于 （ ） A. B. C. D. 16＋12 二、填空题：（共6小题，每小题3分，共18分.请把答案直接填写在答题卡对应位置横线上.） 11. 分解因式：_________． 12. 若用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为____. 13. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____． 14. 《孙子算经》中有这样一个问题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问绳长多少尺？答：绳长______尺． 15. 已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则_____0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 16. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是______cm． （2）若，则的值是______． 三、解答题：（本大题共9小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解不等式组： 18. 如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若．求证：． 19. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 （1）求组同学得分的中位数和众数； （2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 20. 已知直线与直线． （1）如果，当x取何值时，？ （2）如果两条直线相交于点A，A点横坐标x满足，求整数n的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 （1）由题意可知：、；、；、；则 、 ； （2） ； （3）的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 22. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 23. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 24. 在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点的一条直线翻折，使点落在点处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小明延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是________． 【深入探究】 （2）如图3，小华在图2的基础上延长，交的延长线于点，在图3中是否存在一条线段与相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为4，当时，请直接写出线段的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求出二次函数的表达式． （2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． （3）当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $