精品解析：吉林省长春南湖实验中学2024-2025学年下学期第二次月考九年级数学试题

数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的计算结果是（　　） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法，根据减法法则进行计算后，判断即可． 【详解】解：； 故选D． 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从上面看，得到的图形是 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，幂的运算法则，解题的关键是掌握整式的乘法运算，幂的运算，根据幂的运算法则和单项式乘以单项式进行计算即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 若a＜b，则下列变形正确的是( ) A. a－1b－1 B. C. －3a－3b D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵a＜b， ∴a−1＜b−1，故本选项不符合题意； B、∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； C、∵a＜b， ∴−3a＞−3b，故本选项符合题意； D、当时，； 当时，； 当时，；故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 5. 足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角，求出正六边形和正五边形一个内角的度数，利用周角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：由题意，正六边形的一个内角的度数为：，正五边形的一个内角的度数为：， 由图可知：； 故选：C． 6. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） A. B. 20tan37° C. D. 20sin37° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B． 考点：解直角三角形的应用. 7. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC， ∴PA=PB， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上， 故可判断B选项正确． 故选B． 8. 如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义．根据题意得到，，继而得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 轴于点 ， ， 点在反比例函数， ， ∴． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 11. 若二次函数的图象与x轴有2个不同的交点，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，由二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知一次函数，当时，的取值范围为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代入法求值、不等式组的解集以及根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况，解题的关键在于将代入进行求解． 【详解】 即求解不等式组： 解得： 的取值范围是：． 故答案为： 13. 如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据三角形内角和和含度的直角三角形三边的关系得到，，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可． 【详解】解：，，， ， ， 三角板绕直角顶点顺时针旋转，点落在边上， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 弧的长度， 即点所转过的路径长． 故答案为：． 14. 如图，以的斜边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．则的度数是____的半径长是______；的值是______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】连接交于点，由，得，所以垂直平分，因为，所以，由是的直径，得，则，而，且，所以，可证明，因为，，所以，则，，求得，则的半径长是，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点，则， 的平分线交于点， ， ， 垂直平分， 交的延长线于， ， 是的直径， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的半径长是， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的基本性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球． （1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （2）求两次摸到的球的颜色不同的概率． 【答案】 （1）如图： ， 所有可能的结果为（白1，白2）、（白1，红）、（白2，白1）、（白2，红）、（红，白1）、（红，白2）； （2）． 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由（1）中树状图可求得两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：（1） 略 （2）共有6种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有4种， 概率为． 17. “今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步假定两者步长相等，据此回答以下问题： 今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之?即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人? 【答案】500 【解析】 【分析】设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得y=200+y， 解得y=500， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 【点睛】本题考查了应用一元一次方程求解古代行程数学问题． 18. 如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：是中点， ， 又， 四边形是平行四边形； ，是中点， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质等知识．先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用三线合一证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】略 19. 为了解甲、乙两校九年级学生英语人机对话的学习情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生的成绩进行了整理和分析． 信息一： 绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：组：，组：，组：，组：） 甲校成绩的频数分布直方图 乙校成绩的扇形统计图 信息二：甲校成绩的频数分布直方图中在组的成绩是：，，，，，，，，．信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表： 平均数 中位数 众数 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中组所在的圆心角度数为______．乙校学生的测试成绩位于组的人数为_____人，表格中_____．在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？并说明理由； （2）假设甲校学生共有人参加此次测试，估计甲校成绩超过分的人数． 【答案】（1） ；；；小华的成绩排名在前， 理由：（1）扇形统计图中组所在的圆心角度数为：， 乙校学生的测试成绩位于组的人数为：（人）； 将甲校的名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，故中位数， 小华的成绩排名在前，理由如下： 小明的成绩为分，在甲校中位数分以下，而小华的成绩分，在乙校中位数分以上，因此小华的成绩排名靠前； 故答案为：；；； （2）人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及扇形统计图，理解中位数、众数的定义是正确解答的关键． （1）求出乙校组所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；进而求出组的人数；根据中位数的定义进行判断即可；根据甲、乙两个学校的中位数以及小明、小华的成绩进行判断即可； （2）求出甲校成绩在86分以上的学生所占的百分比，进而求出整体中成绩在87分以上的学生人数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （人） 答：估计甲校成绩超过分的人数约人． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连接，使得； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使得； （3）在图③中的边上确定一点，连接，使． 【答案】（1） 如图①，点即为所求； （2） 如图②中，点即为所求； （3） 如图③中，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，解直角三角形，相似三角形的性质与判定； （1）取格点，连接交于点，点即为所求； （2）取格点，，连接交于点，点即为所求； （3）构造直角三角形，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴． 21. 一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数； （2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 【答案】（1）70，300 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键． （1）利用时间、速度、路程之间的关系求解； （2）利用待定系数法求解； （3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ∴A、C两地的距离为：， 故答案为：70；300； 【小问2详解】 解：由图可知E，F的坐标分别为，， 设线段所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由题意知，A、C两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， C、B两地的距离为：， A、B两地的距离为：， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍， 分两种情况，当甲乙相遇前时： ， 解得； 当甲乙相遇后时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 22. 在Rt中，，点在直线上，直线与的夹角为，且，分别过点作直线的垂线，垂足分别为． （1）【问题解决】如图①，若，则的度数为_____，的值为____； （2）【问题探究】如图②，若，判断的值是否发生变化？并说明理由； （3）【拓展延伸】如图③，、交于点，点在线段上，，，线段的长为_____． 【答案】（1）， （2） 的值不会发生变化，理由如下： 如图，延长交于点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等角的余角相等，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）由，，则，故有，，然后证明可得，从而求解； （2）延长交于点，证明，则，再证明即可求解； （3）过点作分别交，于，，则四边形是矩形，通过等角的余角相等得，再证，得，设，则，，求出的值，最后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作分别交，于，，则四边形是矩形， ， 又， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， ， ， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， 解得： ， 故答案为：． 23. 在中．．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．连接，点是线段中点．将点、点同时绕点按逆时针方向旋转得到点、点，连结，得到． （1）当点运动到边的中点时，的长是______； （2）当时，点运动的路径长为______； （3）当时，求值； （4）在点（点不与点、重合）的运动过程中，当为直角三角形时，直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据勾股定理得出结果； （2）点运动的路径是的中位线，即可求解； （3）作于，作，交的延长线于，可证得，从而得出，当时，，即可求解； （4）当在中点的左侧时，过点作，过点作于点，则四边形，是矩形，设，进而证明，确定的值，进而求得的值，当在的左侧时，相同的方法求解即可． 【小问1详解】 解：，点是的中点， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点运动的路径是的中位线， 当，中位线长是，即点运动的路径长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图1， 作于，作，交的延长线于， ， ， 点绕点按逆时针方向旋转得到点， ，， ， ， ， ， 当时， ∴， ∴， ∴， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图，当在中点的左侧时，过点作，过点作于点，则四边形，是矩形， 设， ∵是的中点，， ∴， 由（3）可得， 则，， ∵为的中点，， ∴，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴； 当在的左侧时，如图， ∵， ∴，， 同理得，，， ∴，， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中位线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线(为常数)经过点．点在抛物线上，其横坐标为，点的坐标为．过点作轴于点、为邻边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当有一条边与轴重合时，求的面积； （3）当、、三点在同一条直线上时，求的值； （4）当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在内部时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）分别求有一条边与轴重合，可知与轴重合，则，即可求的值； （3）求的值； （4）分和两种情况讨论，分别求得在抛物线上时的值，以及在轴时，的值，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点在抛物线上，其横坐标为， ， 轴， ，， 以、为邻边构造，点的坐标为， 四边形是矩形， ▱有一条边与轴重合， 与轴重合，， ， ， ，解得：， ， 当时，， 当时，， 的面积为：， 或； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，代入， 解得： ∵P、、三点在同一条直线上， 解得： 【小问4详解】 解：①当时，如图所示， 当点在抛物线上时，，解得， 由（2）可得，当与轴重合时，， ∴时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在内部 ②当时，当点在抛物线上时， ∵， 又 ∴， 解得：或（舍去） ∴时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在内部 综上所述，或时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在内部． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的计算结果是（　　） A. 4 B. C. 8 D. 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若a＜b，则下列变形正确的是( ) A. a－1b－1 B. C. －3a－3b D. 5. 足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） A. B. 20tan37° C. D. 20sin37° 7. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ） A. B. C. D. 8. 如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是______． 10. 计算：_______． 11. 若二次函数的图象与x轴有2个不同的交点，则m的取值范围是________． 12. 已知一次函数，当时，的取值范围为 ___________． 13. 如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为______． 14. 如图，以的斜边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．则的度数是____的半径长是______；的值是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球． （1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （2）求两次摸到的球的颜色不同的概率． 17. “今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步假定两者步长相等，据此回答以下问题： 今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之?即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人? 18. 如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 19. 为了解甲、乙两校九年级学生英语人机对话的学习情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生的成绩进行了整理和分析． 信息一： 绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：组：，组：，组：，组：） 甲校成绩的频数分布直方图 乙校成绩的扇形统计图 信息二：甲校成绩的频数分布直方图中在组的成绩是：，，，，，，，，．信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表： 平均数 中位数 众数 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中组所在的圆心角度数为______．乙校学生的测试成绩位于组的人数为_____人，表格中_____．在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？并说明理由； （2）假设甲校学生共有人参加此次测试，估计甲校成绩超过分的人数． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连接，使得； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使得； （3）在图③中的边上确定一点，连接，使． 21. 一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数； （2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 22. 在Rt中，，点在直线上，直线与的夹角为，且，分别过点作直线的垂线，垂足分别为． （1）【问题解决】如图①，若，则的度数为_____，的值为____； （2）【问题探究】如图②，若，判断的值是否发生变化？并说明理由； （3）【拓展延伸】如图③，、交于点，点在线段上，，，线段的长为_____． 23. 在中．．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．连接，点是线段中点．将点、点同时绕点按逆时针方向旋转得到点、点，连结，得到． （1）当点运动到边的中点时，的长是______； （2）当时，点运动的路径长为______； （3）当时，求值； （4）在点（点不与点、重合）的运动过程中，当为直角三角形时，直接写出此时的值． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线(为常数)经过点．点在抛物线上，其横坐标为，点的坐标为．过点作轴于点、为邻边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当有一条边与轴重合时，求的面积； （3）当、、三点在同一条直线上时，求的值； （4）当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在内部时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $