精品解析： 新疆乌鲁木齐六十八中2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年新疆乌鲁木齐六十八中八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义逐项分析判断即可，形如的式子是二次根式． 【详解】解：A. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； C. 是二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 2. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意； B、逆命题是：绝对值相等的两个数相等，错误，不符合题意； C、逆命题是：同位角相等，两条直线平行，正确，符合题意； D、逆命题是：相等的两个角都是45°，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了逆命题，解题的关键是写出各个命题的逆命题，条件和结论换位置，再进一步判断真假． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 4. “折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　) A. 3 B. 5 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得： 解得：x=4.2， 答：折断处离地面的高度OA是4.2尺． 故选C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 6. 平行四边形具有的性质是( ) A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 四个角都是直角 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质进行分析即可. 【详解】平行四边形的两组对边分别相等，故A选项错误； 平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故B选项错误，C选项正确， 平行四边形的两组对角分别相等，故D选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的边、角、对角线具有的性质是解题的关键. 7. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于E，交于F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用证明，从而得，，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式，即可求得答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ， ， 又， ， ，， 平行四边形的周长为36， ， 四边形的周长为： ． 故选：A． 8. 如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得是解答本题的关键．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图：作于D，作于E， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 9. 勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解． 【详解】解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即 ， 整理得： ，可以证得勾股定理； ④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即 ， 整理得： ，可以证得勾股定理； ⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即 ， 整理得： ，可以证得勾股定理； 所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个． 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键． 10. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） ①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】①∵∠A＝∠B﹣∠C， ∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°， ∴是直角三角形， 故①是直角三角形； ②∵a2＝（b+c）（b﹣c）， ∴a2＝b2﹣c2， a2+c2＝b2， 故②是直角三角形； ③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝75°， 故③不是直角三角形； ④∵a：b：c＝3：4：5， ∴32+42＝52， ∴a2+b2＝c2， 故④是直角三角形； 是直角三角形的三角形有3个①②④ 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 12. 已知是整数，则满足条件的最小自然数的值为___________； 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义得出，再根据是整数，且是自然数，求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，则． 根据是整数，且是自然数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，不符题意． 所以自然数的值可以为2、9、14、17、18， 故满足条件的最小自然数为2． 故答案为：2． 13. 如图，一艘快艇计划从P地航行到距离P地16海里的B地，它先沿北偏西方向航行12海里到达A地接人，再从A地航行20海里到达B地，此时快艇位于P地的______方向上． 【答案】北偏东 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角的表示，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再求出的度数，用方位角表示出来即可． 【详解】解：由题意知海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形， ， ， 此时快艇位于地的北偏东方向上． 故答案为：北偏东． 14. 如图，长为12 cm的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8 cm至点D，则弹性皮筋被拉长了______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：根据题意得：AD=BD，AC=BC，AB⊥CD， 则在Rt△ACD中，AC=AB=6cm，CD=8cm； 根据勾股定理，得：AD==10（cm）； 所以AD+BD-AB=2AD-AB=20-12=8（cm）； 即橡皮筋被拉长了8cm； 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键． 15. 如图，平行四边形中，平分交于点E，若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；由平行四边形的性质得出，得出，结合角平分线定义证出，得出，根据线段的和差即可得出的长． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 16. 如图是一个长，宽，高分别为，，的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．解题关键是展开长方体将，放在同一平面，展开的方式不同，蚂蚁爬行的路线就不同．分三种情况展开，将和放在同一平面内，根据两点之间线段最短和勾股定理可求得的长度，取最小值即可． 【详解】解：由于长方体的平面展开方式不唯一，故分以下三种情况进行讨论： （1）把前面右面组成一个长方形，连接，如图， ； （2）把前面上面组成一个长方形，连接，如图， ； （3）把左面上面组成一个长方形，连接，如图， ， ， 最短路径的长为， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算，即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，然后根据完全平方公式因式分解，然后代入即可求解； （2）计算，然后根据平方差公式因式分解，代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，公式法因式分解，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 19. 如图，点D、E分别为的边AC、BC的中点，连接DE．求证： （1）DE//AB； （2）． 【答案】（1） 延长DE至点F，使，连接BF． ∵点E为BC的中点，∴， ∵，∴≌， ∴，， ∴，即． ∵点D为AC的中点，∴，∴， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∴，即． （2） 由（1）知：四边形ABFD是平行四边形，∴． ∵，∴，∴． 【解析】 【分析】（1）延长DE至点F，使，连接BF，证≌，然后证明四边形ABFD是平行四边形； （2）由（1）中四边形ABFD是平行四边形，可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理和性质，熟练掌握倍长线段构造全等三角形是本题的解题关键. 20. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标． 【答案】E（4，8），D（0，5） 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出BE的长，从而可得出CE的长，求出E点坐标．在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，从而得出D点坐标． 【详解】解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8， ， ∴CE=4， ∴E（4，8） 在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2， 又∵DE=OD， ∴（8-OD）2+42=OD2 ∴OD=5 ∴D（0，5） 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理等知识点，关键在于找到直角三角形． 21. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接，．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得到，，再根据平行线和互补的性质，推出，易证，进而证明四边形是平行四边形，得到，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 22. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长． 【答案】 (1)证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∵EF∥CD ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DE＝CF． (2). 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案； （2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC=EF，进而求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形DEFC是平行四边形， ∴DC＝EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2， ∴DC＝EF＝． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键． 23. 如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． （1）在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） （2）连接，，若与互相平分，求此时t的值； （3）在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）t的值为3 （3）存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年新疆乌鲁木齐六十八中八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　) A. 3 B. 5 C. D. 4 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 6. 平行四边形具有的性质是( ) A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 四个角都是直角 7. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于E，交于F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 20 8. 如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 7 9. 勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） ①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 12. 已知是整数，则满足条件的最小自然数的值为___________； 13. 如图，一艘快艇计划从P地航行到距离P地16海里的B地，它先沿北偏西方向航行12海里到达A地接人，再从A地航行20海里到达B地，此时快艇位于P地的______方向上． 14. 如图，长为12 cm的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8 cm至点D，则弹性皮筋被拉长了______cm． 15. 如图，平行四边形中，平分交于点E，若，，则______． 16. 如图是一个长，宽，高分别为，，的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是_______． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 19. 如图，点D、E分别为的边AC、BC的中点，连接DE．求证： （1）DE//AB； （2）． 20. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标． 21. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接，．求证：． 22. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长． 23. 如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． （1）在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） （2）连接，，若与互相平分，求此时t的值； （3）在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $