第21章 二次函数与反比例函数 单元测试-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 3．抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 6．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 8．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A．B．C． D． 9．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 10．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥．其中错误结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式： ． 12．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 13．如图，四边形是菱形，点在轴负半轴上，轴于点，反比例函数的图象经过点，若菱形的面积为20，，则的值为 ． 14．如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，若拋物线与只有一个公共点，则 ；若抛物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．已知反比例函数的图像上一点的坐标为，求这个反比例函数的表达式． 16．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 17．农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 18．如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 19．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系，坐标原点O为的对称中心，的顶点均在反比例函数的图象上，且点A、B的坐标分别为、． (1)_________，_________ (2)求直线AD对应的函数表达式． (3)设过点A、C的正比例函数为，根据图象直接写出使的函数值大于的函数值的x的取值范围． 21．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 22．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 23．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，最小值称为函数的“最劣纵横值”．例如：点在函数的图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，最小值为，所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． (1)点的“纵横值”为___________． (2)已知二次函数，当时，求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”． (3)若二次函数的图象顶点在“纵横值”为5的函数图象上． ①二次函数的“最优纵横值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“最优纵横值”为，“最劣纵横值”为，且，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识点是解题的关键； 一般地，形如(其中)的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 是一次函数，故本选项不符合题意； B. 展开后为，是二次函数，故本选项符合题意； C. ，未明确，若则不是二次函数，故本选项不符合题意； D. 是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查判断反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限； 故选：D． 3．抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解． 【详解】解：抛物线的表达式为，其中，， 代入对称轴公式得：， 因此，抛物线的对称轴为直线， 故选A． 4．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 5．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数的解析式是解题的关键； 利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 6．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 7．关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 8．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 9．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 10．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥．其中错误结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图象逐项分析，结合已知条件得出结论是解题的关键． ①根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负 ②根据对称轴得到，判断的大小关系 ③根据时，，比较与0的大小； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可 ⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论； ⑥根据，得到，可判断⑥结论． 【详解】解：①由抛物线开口向上得 ， 根据对称轴为直线，可知， 抛物线与y轴交点位于x轴下方，可知 ，故①正确； ②由得，故②错误； ③经过 又由①得， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等 当时，，即 即， 经过，即经过 故④正确； ⑤当时,, 当时， 函数有最小值 化简得，故⑤正确； ⑥∵，， ∴，故⑥错误， 综上所述，错误结论有2个． 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数开口向上，那么二次项系数为正，对称轴为y轴，则一次项系数为0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，符合题意的抛物线表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，四边形是菱形，点在轴负半轴上，轴于点，反比例函数的图象经过点，若菱形的面积为20，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点C的坐标是解题的关键．根据菱形的面积为20，，可求出，再结合菱形的性质得出点，利用勾股定理求得，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，菱形的面积为20，， ， ， 点C的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， . 故答案为：． 14．如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，若拋物线与只有一个公共点，则 ；若抛物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式；主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．根据求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值；再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴直线的解析式为； 联立二次函数解析式得：，消去y并整理得：， ， 解得：； 此时抛物线与的边界只有一个公共点； 把点B坐标代入中，得， 解得：， 此时抛物线与扇形的边界也只有一个公共点； 综上，当时，此时抛物线与扇形的边界总有两个公共点； 故答案为：1；． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．已知反比例函数的图像上一点的坐标为，求这个反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】直接根据待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上一点的坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，比较简单，属于基础题． 16．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 17．农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)，w的最大值为338；最小值为240 【分析】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）售价为x元/千克（且为正整数），则提价元，根据题意，即可得到答案； （2）根据日销售额=日售价×日销售量，即可求得w；由二次函数的性质可求得w的最大值和最小值． 【详解】（1）根据题意，得． 与x之间的函数关系式为，其中且为正整数. （2）根据题意，得,其中且为正整数. ，抛物线的开口向下． 当时，w取最大值，． 抛物线的对称轴为直线，且， ∵， 当时，取最小值，． 与x之间的函数关系式为，w的最大值为338，最小值为240． 18．如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把代入反比例函数可求得，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图象与轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图像上方的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 【详解】（1）将代入得，，所以； 将代入得，， ∴； 将代入得，， 解得， ∴. 所以一次函数和反比例函数的关系式分别为：，； （2）设与轴交于，则， 则； （3）由图可知，时，或. 19．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)减少，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出y与x之间的函数表达式，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）当时，求出对应x的值即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 与x之间的函数表达式为 故答案为：； （2）解：当时，得， 解得， 当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为； （3）解：托盘中应减少砝码．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 当托盘B向右移动时x增大， 托盘中的砝码质量y应该减小， 托盘中应减少砝码． 20．如图，在平面直角坐标系，坐标原点O为的对称中心，的顶点均在反比例函数的图象上，且点A、B的坐标分别为、． (1)_________，_________ (2)求直线AD对应的函数表达式． (3)设过点A、C的正比例函数为，根据图象直接写出使的函数值大于的函数值的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与几何图形，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）先把B点坐标代入求出解析式，然后代入B点坐标求出m值即可； （2）根据对称性求出点C和D的坐标，利用待定系数法求直线的解析式即可； （3）根据图象得到直线在双曲线上方时的自变量x的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数解析式得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点A的坐标为； 故答案为：，； （2）∵点O为的对称中心， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：如图，∵直线在双曲线上方时的自变量x的取值范围为或， ∴的函数值大于的函数值的x的取值范围为或． 21．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 22．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)面积有最大值为，此时点； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，解一元二次方程，二次函数的最值，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）由得或，故点的坐标分别为，，设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式，即可求解； （）过点作轴的平行线交于点，面积，然后通过二次函数的性质即可求解； （）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴点的坐标分别为，， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∵点的坐标分别为，， ∴将点的坐标代入一次函数表达式得， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴点， 同理可得：直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ∴面积= ， ∵， ∴当时，面积有最大值为，， 此时点； （3）解：由（）得，直线的表达式为，点，直线的表达式为， ∵为等腰三角形， ∴或或， 设， （）当时，， 解得，（舍去）， ∴； 当时，点在线段的中垂线上， ∴； 当时，由， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点坐标为或或． 23．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，最小值称为函数的“最劣纵横值”．例如：点在函数的图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，最小值为，所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． (1)点的“纵横值”为___________． (2)已知二次函数，当时，求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”． (3)若二次函数的图象顶点在“纵横值”为5的函数图象上． ①二次函数的“最优纵横值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“最优纵横值”为，“最劣纵横值”为，且，求的值． 【答案】(1)6 (2)“最优纵横值”为10；“最劣纵横值”为 (3)①．②或 【分析】该题是自定义类函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． （1）根据“纵横值”的概念解答即可； （2）将二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为顶点式，结合函数图象的性质求出它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”； （3）根据二次函数图象的顶点在“纵横值”为5的函数图象上，得到顶点坐标为．由此得到函数解析式． ①根据“最优纵横值”定义求出a的值即可； ②分别计算出当时，当时y的值，得出抛物线的开口向下，进而得到函数的增减性，再分情况解答． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：6． （2）解：二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为． ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时取最大值，“最优纵横值”为10． 当时，；当时，． ∵， ∴当时取最小值，“最劣纵横值”为． （3）解：二次函数的对称轴为． ∵顶点在“纵横值”为5的函数图象上， ∴顶点在的图象上． ∴顶点坐标为． ∴． ①∵的“最优纵横值”为． ∴，解得． ∴二次函数的表达式为． ②∵， ∴函数的顶点坐标为． 当时，； 当时，． ∵， ∴抛物线的开口向下． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 分以下几种情况： 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当，即时， 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）； 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$