精品解析：2025年浙江省杭州市滨江区滨兴学校中考数学模拟预测题（一）

浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试（一） 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 3. 下列汽车图标中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 2024年我国粮食生产的总体目标为万亿斤以上，将数字13000写成科学记数法为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，由5个大小相同的正方体搭建的几何体，其俯视图为（　　） A. B. C. D. 6. 将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（　　） A. y＝（x﹣1）2﹣1 B. y＝（x﹣1）2+1 C. y＝（x+1）2+1 D. y＝（x+1）2﹣1 7. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴，轴，，分别以点、点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若点在双曲线上，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，CP＝6，点M，N分别是边AC和BC的动点，则△PMN周长的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 10 10. 2025年哈尔滨第九届亚冬会期间，为清理滑雪赛道，甲、乙两辆清雪车同时从A地出发开始清雪至地，如图反映了甲、乙两辆清雪车清雪的路程（千米）与清雪时间（时）之间的函数关系，下列说法：①甲清雪车的速度为4千米/时；②乙清雪车的平均速度为5千米/时；③经过1小时，乙清雪车在甲清雪车前方1千米处；④经过3小时甲清雪车追上乙清雪车．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 12. 把多项式分解因式的结果是____________． 13. 如图，在中，若，则的度数为________． 14. 在一个不透明的袋子里有4个红球和若干个白球，随机抽取一个为白球的概率为，则袋中共有________个白球． 15. 定义新运算：，若，则的值为_________． 16. 不等式组的解集是_________． 17. 已知扇形的圆心角度数为，面积为，则该扇形的弧长为__________． 18. 如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为_____． 19. 已知：在中，为边上的高，且，若，，则的面积为______. 20. 如图，在四边形中，，，，，若四边形的面积为10，则线段的长为_________． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段的端点都在格点上． （1）请在图中画出以为边的，使得，面积等于8； （2）请在图中将线段绕点顺时针旋转，使得点落在点处，画出旋转后的线段； （3）连接，并直接写出的长． 23. 某校为了解九年级学生的身高情况，随机抽取了部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如下不完整的统计表和频数分布直方图，根据提供的信息解答下列问题： 身高分组（） 频数 百分比 5 15 14 6 总计 （1）______. （2）样本中位数所在组别为______. （3）通过计算补全频数分布直方图； （4）该校九年级共有300名学生，估计身高不低于的学生有多少人. 24. 在正方形中，是上一点，于点于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点，连接，若点为中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使得每个三角形的面积等于四边形面积的． 25. 某学校艺术节计划为学生购买A、B两种奖品，已知购买40件A种奖品和购买60件B种奖品共需2600元，购买35件A种奖品和购买70件B种奖品共需2800元． （1）求A、B两种奖品的单价各为多少元？ （2）若学校购买A、B两种奖品共100件，且购买这批奖品的总费用不超过2800元，求最多购买B奖品多少件？ 26. 已知内接于平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，连接交于点平分，求证： ； （3）如图3，在（2）的条件下，弦的延长线交延长线于点，，若，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数解析式； （3）在（2）的条件下，轴于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接，延长交于点，连接，若，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试（一） 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据完全平方公式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键．运用运算法则即可求解． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 3. 下列汽车图标中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题关键是掌握中心对称图形的概念． 根据中心对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作出判断． 【详解】解：不是中心对称图形，故A不符合； 不是中心对称图形，故B不符合； 不是中心对称图形，故C不符合； 是中心对称图形，故D符合， 故选：D． 4. 2024年我国粮食生产的总体目标为万亿斤以上，将数字13000写成科学记数法为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．正确确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：． 故选：A． 5. 如图，由5个大小相同的正方体搭建的几何体，其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由小正方体组成的立体图形的三视图，解题关键是掌握三视图的概念． 根据俯视图的意义，结合立体图形想像出俯视图，再作出选择． 【详解】解：俯视图是从上面看到的图形，从上面看到的图形是， 故选：B． 6. 将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（　　） A. y＝（x﹣1）2﹣1 B. y＝（x﹣1）2+1 C. y＝（x+1）2+1 D. y＝（x+1）2﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式的平移知识进行求解即可得解. 【详解】抛物线沿着轴向左平移1个单位，再沿轴向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移变换，熟练掌握平移变换的解法是解决本题的关键. 7. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键是掌握分式方程的解法． 先去分母，化为一元一次方程求解，并验根． 【详解】解：， 去分母，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴，轴，，分别以点、点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若点在双曲线上，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质和判定，反比例函数的图象和性质，先证明四边形是正方形，得出，再根据点在双曲线上，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 解得：或， ∵点在第一象限内， ∴， 故选：A． 9. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，CP＝6，点M，N分别是边AC和BC的动点，则△PMN周长的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小． 【详解】解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小． 由对称的性质可知，∠ACP=∠ACE，∠PCB=∠BCF，CP=CE=CF=6， ∵∠ACB=30°， ∴∠ECF=60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF=CE=6， ∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF=6， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 10. 2025年哈尔滨第九届亚冬会期间，为清理滑雪赛道，甲、乙两辆清雪车同时从A地出发开始清雪至地，如图反映了甲、乙两辆清雪车清雪的路程（千米）与清雪时间（时）之间的函数关系，下列说法：①甲清雪车的速度为4千米/时；②乙清雪车的平均速度为5千米/时；③经过1小时，乙清雪车在甲清雪车前方1千米处；④经过3小时甲清雪车追上乙清雪车．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键；根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 甲清雪车的速度为（千米/时），故①正确； 乙清雪车的平均速度为（千米/时），故②错误； 经过1小时，乙清雪车在甲清雪车前方（千米）处，故③正确； 经过3小时甲清雪车追上乙清雪车，故④正确； 正确的有：①③④，共3个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． ∴自变量的取值范围是． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数2，然后在运用平方差公式即可. 【详解】解： = = = 故答案为. 【点睛】本题考查了分解因式，分解因式的一般步骤是：有公因式的先提取公因式，然后在考虑公式法. 13. 如图，在中，若，则的度数为________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键． 由圆周角定理可得，再运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 在一个不透明的袋子里有4个红球和若干个白球，随机抽取一个为白球的概率为，则袋中共有________个白球． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率计算、分式方程，熟练掌握简单事件的概率计算公式是解题关键． 设袋中白球有x个，根据简单事件的概率公式建立方程，然后解方程即可得． 【详解】解：设袋中白球有x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 则袋中白球有8个， 故答案为：8个． 15. 定义新运算：，若，则的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 16. 不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，由不等式的解集确定不等式组的解集成为解题的关键． 先分别求得各不等式的解集，然后确定各不等式解集的公共部分即可解答． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为． 故答案为：． 17. 已知扇形的圆心角度数为，面积为，则该扇形的弧长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．根据扇形面积公式S，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，扇形的面积为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴扇形的弧长． 故答案为：． 18. 如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，再根据等边三角形边长求出面积.熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为， ∴的边长为， ∴的面积， 故答案为：． 19. 已知：在中，为边上的高，且，若，，则的面积为______. 【答案】48或168 【解析】 【分析】分高AE在△ABC内外两种情形，分别求解即可． 【详解】如图， 高AE在△ABC内时，在Rt△ABE中，BE===9， 在Rt△AEC中，CE===5， ∴BC=BE+EC=14， ∴S平行四边形ABCD=BC×AE=14×12=168． 如图， 高AE在△ABC外时，BC=BE-CE=9-5=4， ∴S平行四边形ABCD=BC×AE=12×4=48， 故答案为48或168． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．四边形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 20. 如图，在四边形中，，，，，若四边形的面积为10，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．过作于点，过作于点，证明，推出，设，由，得到，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于点，过作于点， 则． ． ， ， ， ， ． 设， 在Rt中，， ，，， ， ． （舍去）或，即， ， ． 或（舍去）． ． ． ． ． 故答案为：． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式混合运算，特殊角的三角函数值，代入求值，明确算理是解决问题的关键．先算括号里的减法，再进行分式的除法运算，计算出a，b的值之后，代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ； 当，时， 原式． 22. 实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段的端点都在格点上． （1）请在图中画出以为边的，使得，面积等于8； （2）请在图中将线段绕点顺时针旋转，使得点落在点处，画出旋转后的线段； （3）连接，并直接写出的长． 【答案】（1） 如图，即为所求作的平行四边形； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，三角函数定义进行作图即可； （2）画出点B旋转后的对应点E，然后连接即可； （3）根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，则． 【点睛】本题主要考查了网格作图，求角的正切值，勾股定理，旋转作图，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握网格特点，三角函数定义． 23. 某校为了解九年级学生的身高情况，随机抽取了部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如下不完整的统计表和频数分布直方图，根据提供的信息解答下列问题： 身高分组（） 频数 百分比 5 15 14 6 总计 （1）______. （2）样本中位数所在组别为______. （3）通过计算补全频数分布直方图； （4）该校九年级共有300名学生，估计身高不低于的学生有多少人. 【答案】（1）28%； （2）； （3）补全频数分布直方图为： （4）120. 【解析】 【分析】（1）用第1组的频数除以它对应的频率得到调查的总人数，然后计算出第4组的频率得到a的值； （2）根据中位数的定义求解； （3）计算出第2组的频数，然后补全频数分布直方图； （4）用300乘以后面两组的频率和即可． 【详解】（1）5÷10%=50，a=×100%=28%； 故答案为28%； （2）第25个数和第26个数在第三组内，所以中位数在160≤x＜165； 故答案为160≤x＜165； （3）50×20%=10， 图略； （4）300×（28%+12%）=120， 所以估计身高不低于165cm的学生有120人． 【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图：各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．能利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想．解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确． 24. 在正方形中，是上一点，于点于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点，连接，若点为中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使得每个三角形的面积等于四边形面积的． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2），，， 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中线等知识点，解题的关键是证明三角形全等． （1）证明，得出，即可证明． （2）设正方形的边长为，根据，得出，，证明，得出，证明，得出，根据三角形中线性质得出，从而得，证明，得出，算出，即可求出，从而得出，设，则，从而得，即可得，算出，最后即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点为中点， ∴． 设正方形的边长为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 设，则， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则面积等于四边形面积的的三角形有． 25. 某学校艺术节计划为学生购买A、B两种奖品，已知购买40件A种奖品和购买60件B种奖品共需2600元，购买35件A种奖品和购买70件B种奖品共需2800元． （1）求A、B两种奖品的单价各为多少元？ （2）若学校购买A、B两种奖品共100件，且购买这批奖品的总费用不超过2800元，求最多购买B奖品多少件？ 【答案】（1）A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为30元；（2）最多购买B种奖品80件． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设A种奖品的单价为元，B种奖品的单价为元，由等量关系式二元一次列方程组进行求解即可； （2）根据题目不等关系，设购买B种奖品m件，则购买A种奖品件列不等式进行求解即可. 【详解】解：（1）设A种奖品的单价为元，B种奖品的单价为元， 列方程组： 解得：， 答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为30元； （2）设购买B种奖品m件，则购买A种奖品件 列不等式： 解得：， 答：最多购买B种奖品80件． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程及一元一次不等式的实际问题解决方法是解决本题的关键. 26. 已知内接于平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，连接交于点平分，求证： ； （3）如图3，在（2）的条件下，弦的延长线交延长线于点，，若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接． 平分， ． ， ∴， ∴，即， ． ． （2） 证明：平分， ． ∴． ， ∴． ． 如图：在上取点，使，连接． ， ， ． ． ． ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）如图：连接．由角平分线的定义、等腰三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由角平分线的定义和圆周角定理以及等角对等边可得，如图：在上取点，使，连接．可证可得 ，易得 ，再运用等边对等角即可证明结论； （3）设．则．易证为等边三角形，则，结合邻补角性质可得，进而得到 ， ；如图：在上取点，使，连接．易证 可得 ，进而得到，则；设，则 ． 如图：过A作于点，则 ；解直角三角形可得、、．再运用勾股定理列方程解得，进而得到 ；如图：连接．再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设．则． ， 为等边三角形． ． ． ． ， ． ， ． ． 如图：在上取点，使，连接． ， ． ， ． ． ． ， 设，则 ． 如图：过A作于点，则 ． 在 中，． ， ． ， ．解得． ， 如图：连接． ． ， ， ． ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数解析式； （3）在（2）的条件下，轴于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接，延长交于点，连接，若，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过作于点，证明，得出，求出，根据，即可得出答案； （3）根据，求出，过点作轴于点，延长至点，使，连接，则．证明，得出，设，得出，根据勾股定理得出，解得或（舍去），求出线的解析式为，线的解析式为．最后待定系数法求出直线的解析式为即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：由题意，得． 过作于点， 则，，， ， ∴， ， ∴， ， ， 对于，当时，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 过点作轴于点，延长至点，使，连接，则． ．设， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ， 同理可得：直线的解析式为． 联立， 解得， ． 设直线的解析式为． 把代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $