幂函数易错题集专项练-2026届高三数学一轮复习备考

幂函数 一、单选题 1．已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 2．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 4．若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 8．已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 9．已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．定义域为 B．是偶函数 C．是减函数 D．是奇函数 二、多选题 12．下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若幂函数在单调递增，则 D．幂函数的图象都过点和 13．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 15．若，则实数的取值范围是 ． 16．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 17．已知．若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ． 18．已知，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 19．已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B B A C A B D 题号 11 12 13 14 答案 B AC AC BC 1．A 根据幂函数定义得到方程，解出，最后验证即可. 由题意得，，解得或． 当时，，满足题意； 当时，，其图象关于原点中心对称，不满足题意． 故选：A． 2．B 根据幂函数的知识求得正确答案. 由于在上单调递增， 又，则，则． 故选：B 3．D 根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以. 故选：D 4．B 运用幂函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可. 为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减， 所以，即． 故选：B. 5．B 设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数定义域的求法即可得解. 设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为， 对于，有，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 6．A 根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 7．C 由幂函数的定义求出，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD. 因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 8．A 根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 由题意可得. 故选：A 9．B 由幂函数的定义得的值，得，根据对数函数的单调性性质及换底公式得到，再利用幂函数单调性比较大小得到即可. 由为幂函数，得 ∴，所以，所以， 又，所以， 又，所以， 由换底公式得，， 所以， 又，所以，得. 又在区间内单调递减，所以. 综上，. 故选：B. 10．D 将指数式化为对数式，然后判断的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可. ，， ，，， ，所以， 对于A，在单调递增， ，故A错误； 对于B， 在上单调递减， ，故B错误； 对于C， 在单调递减， ，故C错误； 对于D，在单调递增， , 又在单调递减， , ，故D正确. 故选：D 11．B 根据题意求得.进而可得的单调性和奇偶性，进而逐项分析判断. 设， 代入点，可得，解得， 所以. 对于A：可知的定义域为，故A错误； 对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误； 对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误； 故选：B. 12．AC 对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可. 对于A，设幂函数为，则，所以，所以A正确， 对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误， 对于C，因为幂函数在单调递增， 所以，解得，所以C正确， 对于D，因为幂函数的图象不过，所以D错误. 故选：AC 13．AC 利用的单调性判断A；利用的单调性判断B；利用重要不等式判断C；举出反例判断D. 选项A，函数在R上单调递增，又，所以，故A正确； 选项B，在R上单调递减，又，所以，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，取时，得，故D错误． 故选：AC. 14．BC 设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 15． 根据幂函数的单调性列不等式来求得正确答案. 由于函数在上单调递增， ∴，解得． 故答案为： 16．4 根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 17． 由幂函数为奇函数，且在上单调递减，可知是奇数，且，由此可求出的值. 由为奇函数，知取． 又在上单调递减，，故． 故答案为： 18． 根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 19．(1) (2) （1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. （1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$