函数的单调性与最大(小)值 易错题集专项练-2026届高三数学一轮复习备考

函数的单调性与最大(小)值 一、单选题 1．对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：设，若任取，且，则必有； 结论②：设，则有对恒成立． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 2．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 3．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在定义域上的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．与实数λ有关 8．已知函数，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 10．已知正数x，y满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 二、多选题 13．已知函数，且，则下列结论正确的有（    ） A．不一定有极值 B．当时， C．当时，的极小值为0 D．当时，在区间上的最小值为 14．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若为偶函数，则 C．有且仅有个使得的最小值为 D．若函数的图象与的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为 15．已知定义在R上的函数满足：，，且，则（    ） A． B．可能是偶函数 C．的图象不可能关于点对称 D．若，，则在上单调递增 三、填空题 16．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 17．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 18．求函数的值域为 . 四、解答题 19．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A B A C C A B 题号 11 12 13 14 15 答案 B B ACD ACD ABD 1．B 利用增函数的性质即可判断①，举反例即可判断②. 对于①，因为在上是增函数， 且在上也是增函数， 所以在上是增函数， 则任取，且， 必有，①正确； 对于②，，②错误. 故选：B 2．B 分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 3．A 根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 若为上的增函数，则，解得， 故的取值范围是． 故选：A． 4．A 利用换元法，把原不等式转化为恒成立问题，再分，，讨论即可. 设，则，. 原不等式可化为：. 因为，所以，. 当时，，所以在恒成立，所以； 当时，，所以成立； 当时，，所以在上恒成立，所以. 综上可得：. 故选：A 5．B 根据任意恒成立条件，分析不等式中代数式的符号情况，分类讨论，求出范围. 由题意可得，或， 为单调增函数，所以不成立， 当在上恒成立，则，即， 故选：B． 6．A 根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 7．C 先确定参数λ的值，再简化函数并换元，结合二次函数分析函数最值即可. 当趋近于时，趋近于负无穷. 若，那么会趋向正无穷；若，会趋向负无穷. 因为函数要有最大值和最小值，所以只能.   当时，函数，取值范围是. 令，则.因为，所以. 把代入函数，得到.   图像开口向下. 对称轴，所以最大值. 在中，最小值在处取得，.   设最大值为，最小值为，则.   故选：C. 8．C 分三种情况恒成立化简，再结合参数分离应用基本不等式计算求参. 函数，当时，， 当时，，符合题意； 当时，函数，不符合题意； 当时，函数恒成立，所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以恒成立，即得， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，恒成立， 因为，当且仅当时取最小值4， 所以，符合题意； 则的取值范围是. 故选：C. 9．A 根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 10．B 先根据题设条件求出的范围，对所求式消元后进行换元，利用二次函数的性质即可求得其范围. 因正数x，y满足，故，解得， 因，设，则，且， 于是．由，可得. 故选：B． 11．B 根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的大小关系，即可列式求解. 因为时，单调递减， 又在上单调递减， 所以时，单调递减，则只需满足解得. 故选：B. 12．B 由题意可得，结合函数的单调性可得，进而可求的最小值. 函数的定义域为， 可得函数在上单调递增， 又， 由，得， 因为函数在上单调递增，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 13．ACD 举例说明当时，得根据三次函数的单调性确定函数的极值，即可判断A；当时，利用作差法判断得符号，即可判断B；当时，求导函数确定函数的极值点，从而得极值，即可判断C；当时，判断函数在区间上的单调性得最值即可判断D. 当时，，函数在上单调递减， 函数无极值，故A项正确； 当时，， 且，则故B项错误； 当时，，且， 当或时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值故C项正确； 当时，同上分析知在上为减函数，在上为增函数， 当时，在区间上有最小值， 故D项正确. 故选：ACD. 14．ACD 解方程，求出的值，可判断A选项；由偶函数的性质求出的值，取可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断C选项；化简函数的解析式，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围. 对于A选项，，则，解得，A对； 对于B选项，若函数为偶函数，则， 即，可得， 所以，或， 由可得，由解得； 由可得，即， 所以，或， 由可得，由可得， 综上所述，或， 经检验，当或，函数为偶函数， 当时，，B错； 对于C选项，由三角不等式可得， 解得或， 当且仅当时，取最小值，C对； 对于D选项， ①当时，，可知若与有且仅有两个交点， 只需点在的图象的下方，即，可得； ②当时，， 由，可得点在的图象的下方， 此时的图象与有且仅有两个交点； ③当时，， 当与相切时，有， 令，则，可得， 解得（舍去）或， 可得与有两个交点时， 由上知，D对， 故选：ACD． 15．ABD 令建立方程可解，通过构造函数得到发现可以为幂函数，通过举例说明可判断BC选项，，，则，再利用定义法证明函数在的单调性即可得到在上单调性. 令，或（舍去），故A正确；，即， 设，则，所以当时成立， 故可以为，此时时偶函数，故B正确； 由上知也可以为，此时关于对称，故C错误； ，，即，， ，，时，， ，设，则，则，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 16． 根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围. 由函数的图象关于中心对称，则. 又因为在上单调递减，所以时，， 且在上单调递减，且，可得在上单调递减. 又因为，所以可得， 则，得. 故答案为：. 17． 由条件得，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得． 18． 通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域. 令，则， 容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为， ，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值， 所以函数值域为. 故答案为： 19．(1) (2) （1）根据题意可设，代入运算求解即可； （2）根据题意结合二次函数单调性分析求解即可. （1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 又因为的最小值为1，可设， 且，解得， 所以． （2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 因为在区间上单调， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$