第十四章 全等三角形章末综合题-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第14章 全等三角形 一、单选题 1．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 2．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，则（    ）    A．2 B．8 C．5 D．3 4．能判定的条件是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，已知，为的中点，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（    ） A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE 7．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(   ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 8．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 9．如图，的三边，，的长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤ 二、填空题 11．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 12．如图，已知和相交于点且，分别连接，已知，，则的度数为 °． 13．如图，已知，点到、、的距离相等，则的度数是 . 14．如图，已知分别是的外角的平分线，，，垂足分别为，那么 （填“>”“<”或“=”）．    15．如图，，为上一点，和分别平分和，若，则的长度为 ． 16．如图，，，和相交于O，则的度数是 ． 17．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为 ．    18．如图，已知在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交于点．若，则的周长为 ． 三、解答题 19．如图，已知，且分别是和的角平分线，证明：． 20．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小． 21．如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．如图，，为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线与地面的夹角，测楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与旗杆的高度都等于9米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度多少米？    23．如图，AD是的中线，点E在BC的延长线上，，试说明：． 24．（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由； （2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 25．[问题情境]某次数学课上，老师组织同学们利用直角三角形纸片来进行拼图探究活动． [试验探究] （1）1号小组将一张含角的直角三角形纸片和一张等腰直角三角形纸片按图①所示的方式摆放，则图中________． （2）2号小组将两张等腰直角三角形纸片和按如图②所示的方式摆放，点A与点D重合，且点B，C，E在同一条直线上，连接交于点G，小组同学测量发现，请尝试证明此结论． [拓展探究] （3）3号小组将两张等腰直角三角形纸片和按如图③所示的方式摆放，点A与点D重合，连接交于点G．求证：． 26．阅读材料，解答问题 数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小慧说：如图1，我用相同的两块含30°角的直角三角板可以画角的平分线．      画法如下： ①在的两边上分别取点M，N，使； ②把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P； ③画射线． 则射线是的平分线． 小亮说：我只用刻度尺就可以画角平分线． 请你也参与探讨，解决以下问题： (1)小慧的做法正确吗？说明理由； (2)请你和小亮一样，只用刻度尺画出图（2）中的平分线，并简述画图的过程，并说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B D B A C C 1．C 利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 2．C 根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．C 本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等；根据全等三角形的性质得出，进而根据线段的和差即可求解． 解：∵， ∴ ∵，， ∴, 故选：C． 4．D 本题可根据全等三角形的判定定理，对每个选项进行判断．本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 解：两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项A错误． 两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项B错误． 两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项C错误． 两边及其夹角对应相等，符合边角边（SAS）判定定理 选项D正确． 故选：D． 5．B 本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质及中点的定义，熟练掌握性质定理是解题的根据． 先根据平行线的性质得出，，根据中点的定义得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 解：， ， 为的中点， 在和中 ，， 故选B． 6．D 根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果． 解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC 当△DOE≌△FOE时，可得以下结论： OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF． A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确； B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确； C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确； D答案中，若∠ODE=∠OFE， 在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS） ∴D答案正确． 故选：D． 本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 7．B 根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长． ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选B． 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键． 8．A 根据基本作图，同圆的半径相等，可以判定是根据，解答即可． 本题考查了基本作图，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 解：根据基本作图，得到判定二角相等的依据是， 故选：A． 9．C 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是学会利用角平分线添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．过点作于点，作于点，作于点．根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 解：如图，过点作于点，作于点，作于点． 又∵，，是的三条角平分线， ∴， ∵，，的长分别是，，， ∴，，， ∴， 故选：C． 10．C 根据三角形中线的定义可得，根据等地等高的三角形面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应边相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得． 解：∵是的中线， ∴， ∴和面积相等，故①正确； 而和不一定相等，故②不正确； 在和中， ， ∴，故③正确； ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴，故⑤错误， 正确结论为：①③④， 故选：C． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等地等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 11． 本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 12．140 先证△ABD≌△BAC,可得∠BAD=∠ABC,再用内角和求出∠AOB即可. ∵AC=BD,AD=BC,AB=AB, ∴△ABD≌△BAC(SSS), ∴∠BAD=∠ABC=20°, ∴∠AOB=180°-20°-20°=140°. 故答案为:140. 本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于利用条件得出三角形全等. 13．90° 根据点到、、的距离都相等，得、分别是和的平分线，再由，算出∠BPC的度数即可. ∵点到、、的距离都相等， 、分别是和的平分线， ，， . ， ， ， ， 故答案为：90°. 本题是对角平分线逆定理的考查，熟练掌握平行线的性质及角平分线的逆定理是解决本题的关键. 14． 利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断关系． 证明：如图，过点P作于F，   是的平分线，， ， 是的平分线，，， ， ． 故答案为：． 本题主要考查了角平分线的性质定理，作出辅助线是正确解答本题的关键． 15．5 本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．延长、，交于点，证，再证得，据此求解． 延长、，交于点，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 16．/90度 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识，证明三角形全等是关键；由题意易得，则有，再由三角形内角和可得，即． 解：∵， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∵ ； ∴； 故答案为：． 17．8 首先由E为BC的中点，得出BE＝EC，又由AB//CD，得出∠F＝∠CDE，且∠BEF＝∠CED，BE＝EC，进而判定△BEF≌△CED（AAS），得出EF＝DE，BF＝CD，进而得出AF，最后由AE⊥DE，EF＝DE，即可得出AD． ∵E为BC的中点， ∴BE＝EC， ∵AB//CD， ∴∠F＝∠CDE，且∠BEF＝∠CED，BE＝EC， ∴△BEF≌△CED（AAS） ∴EF＝DE，BF＝CD＝3， ∴AF＝AB+BF＝8， ∵AE⊥DE，EF＝DE， ∴AF＝AD＝8． 此题主要考查平行的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握，即可解题． 18．30 本题考查等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行线的性质和角平分线的定义证，再根据等角对等边可得，据此求解． 如图，分别是与的平分线， ． 又， ，， ， ， 的周长． 又， 的周长． 故答案为：30． 19．见解析 此题考查平行线的判定和性质定理，角平分线的定义，根据角平分线定义及平行线性质得到，推出，即可得到． 证明：∵分别是和的角平分线， ，． ， ∴， ∴， ∴， ∴． 20． 首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小． 解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴． 此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 21．(1)见解析； (2)． 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据即可证明两三角形全等； （2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数． （1）证明：∵AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． 又， ， ∴，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 22．每层楼的高度3米． 由题意可得出，从而可求出．结合题意米，即可证明，得出，进而即可解答． 解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 每层楼的高度米． 本题考查三角形全等的判定和性质的实际应用．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 23．见解析 延长至，使得，证明（SAS），进而证明，证明（SAS）即可得证． 证明：如图，延长至，使得， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ， ， , 在与中， ， ∴（SAS）， ， ∵， ∴． 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，三角形的外角的性质，倍长中线是解题的关键． 24．（1），理由见解析  （2），理由见解析 本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点 作于，于，证明，可得结论； （2）过点 作于，于，证 明，可得结论. （1）. 证明：如图，过点 作于，于. 故 ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ . ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）， 理由：如图，过点作于，于， 故 ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 25．（1）（2）见解析（3）见解析 本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据三线合一，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）证明，得到，进而推出，即可得出结论； （3）证明，得到，利用三角形的外角推出，即可． 解：（1）如图， 由题意，得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵等腰直角三角形纸片和， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵等腰直角三角形纸片和， ∴， ∴， ∴， ∴， 设交于点，则：， ∴， ∴． 26．(1)小慧的做法正确，理由见解析 (2)见解析 （1）过点作于C，于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线性质求出．根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据全等三角形的判定定理，用刻度尺作出即可． （1）小慧的做法正确    理由如下： 由题意可知： 在和中 ∴， ∴ ∴射线是的平分线． ∴小慧的做法正确． （2）如图：    画图过程：①用刻度尺在射线和射线上分别截取 ②用刻度尺在射线和射线上分别截取 ③连接和交于点T； ④画射线 则射线是的平分线． 理由如下：    连接， 在和中 ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴T在的垂直平分线上． ∵ ∴R也在的垂直平分线上． ∴垂直平分． 又∵， ∴射线是的平分线 学科网（北京）股份有限公司 $$