第十三章 三角形章末综合题-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第13章 三角形 一、单选题 1．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 2．如图，为估计池塘岸边的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，，则A，B间的距离不可能是（    ） A．25米 B．15米 C．10米 D．6米 3．若一个三角形的三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是的外角，求证：． 证法1：如图． ∵（三角形内角和定理） 又∵（平角定义） ∴（等量代换） ∴（等式性质） 证法2：如图， ∵，， 且（量角器测量所得） 又∵（计算所得） ∴（等量代换） 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 7．如图，在地面上插入一个平面镜，光线与水平面成射到平面镜上，要使反射光线沿水平方向传播（），则平面镜与地面所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 9．如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．中，若，则 ． 12．三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为 13．如图，ΔABC中，AB=2.5cm,BC=4cm, 则ΔABC的高AD与CE的比是 . 14．如图，在中，点，，分别为，，的中点，且，则的面积为 ． 15．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝ ． 16．已知等腰腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数为 ． 17．如图，直线a，b分别与黑板边缘形成，，小明量出，，则可以算出直线a，b形成的锐角的度数 °． 18．如图，在中，分别平分，交于点为外角的平分线，的延长线交于点．以下结论①，②，③，④，其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 19．如图，是的外角，平分，若，，求的度数． 20．已知的周长为，三条边的边长满足，，求的三边长． 21．如图，为边延长线上的一点，于点，交于点，，，求的度数． 22．如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线． （1）求证：． （2）若，求证：． 23．如图，已知在中，，，，求的度数． 24．如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)若于点D，，证明：是直角三角形． 25．已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若a，b，c满足，试判断的形状； (3)化简：． 26．已知：，平分，点A、B、C分别是射线上的动点（A、B、C不与点O重合）连接交射线于点D．设．    (1)如图1，若，则 ①的度数是______； ②当时，______；当时，________． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C C B C A C A 1．D 本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的性质． 根据三角形具有稳定性即可求解． 解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性， 故选：． 2．A 根据三角形的三边关系得出，根据AB的取值范围判断即可． 解：连接AB， 根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴A、B的距离在5米和25米之间， ∴A、B之间的距离不可能是25米； 故选：A． 本题主要考查的是三角形的三边关系，能正确运用三角形的三边关系是解此题的关键． 3．B 根据题意，得，解答即可． 本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 解：根据题意，得， 故三角形是直角三角形， 故选：B． 4．C 根据题意求出、，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可． 由题意得，， ， 由三角形的外角性质可知，， 故选C． 本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5．C 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得，结合三角形三边数量关系得，转化为不等式，求正整数解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 根据题意，得， 由三角形三边数量关系得， 故， 故， 解得，又y是整数， 故， 又， 故， 故或， 都满足三角形三边关系定理， 故有2个等腰三角形． 故选：C． 6．B 根据定理证明的一般步骤进行分析判断即可解答． 解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形， ∴A的说法不正确，不符合题意； B的说法正确，符合题意； C、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明， ∴C的说法不正确，不符合题意； D、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关， ∴D的说法不正确，不符合题意， 综上，B的说法正确， 故选：B． 本题主要考查了三角形的外角的性质的证明以及定理的证明的一般步骤，依据定理证明的一般步骤分析解答是解题的关键． 7．C 延长交于点H，根据题意，得，，利用平行线的性质，解答即可． 本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握性质是解题的关键． 解：延长交于点H，根据题意，得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．A 本题考查三角形面积公式的应用及等量关系的建立．解题关键在于利用同一三角形面积的不同表达方式建立关于未知边长的等式，从而求解．具体地，根据面积公式：，再代入已知值，即可求解． 解：，，， ， ， ， ． 故选：A． 9．C 此题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，首先由垂直定义得到，利用角平分线求出，根据三角形内角和定理求得，即可根据，得出的度数． 解：∵， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选C． 10．A 延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 11．/60度 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质建立等式求解． 根据三角形内角和定理得到，再结合已知条件，代入求解． 在中，， 又已知， 将代入到中， 可得， 即， 解得， 故答案为：． 12． 根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可． 解：∵3，在数轴上从左到右依次排列， ∴，解得， ∵这三个数为边长能构成三角形， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键． 13．5:8 利用△ABC的面积公式，列出方程求解即可. 解： ∵AB=2.5cm，BC=4cm ∴ ∴AD:CE=5：8 本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键. 14． 此题考查了三角形的中线，掌握三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可得解． 解：∵在中，点、、分别为、、的中点， ∴，，， ∴， ∵=， ∴， ∴． 故答案为：． 15．2 根据平行线分线段成比例定理得到,，分别计算出和，最后根据得到答案． 解：如下图所示，连接DF，过点G作 ，过点A作，垂足为O， MN交AO于点H, 得， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵D、F是中点， ∴ ∴， ， ∵， 故答案为：2． 本题考查三角形的中线、平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理计算出三角形高的比例． 16．或 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 解∶本题有两种情况如图 当为锐角三角形时，如图1， 由题可知，， 三角形的顶角为． 当为钝角三角形时，如图2， ， ． ， ． 三角形的顶角为． 故答案为：或． 17．31 图形可化简，直线a和直线b的夹角为∠5，欲求∠5，根据三角形内角和定理，只需求出∠3＋∠4，而∠1＝∠3，∠2＝∠4，易求出∠5． 解：图形化简如下图， ∠5为直线a和直线b的夹角， ∵∠3＝∠1＝71°，∠4＝∠2＝78°， ∴∠3＋∠4＝71°＋78°＝149°， ∴∠5＝180°−（∠3＋∠4）＝180°−149°， ∴∠5＝31°， ∴直线a和直线b的夹角为31°． 故答案为：31． 本题考查了三角形内角和定理，利用对顶角相等是解本题的关键，本题难度适中． 18．①②③ 先根据角平分线的定义可得，，再根据即可判断①正确；先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断③正确；先根据三角形的外角性质可得，再结合结论③即可判断②正确；假设④正确，从而可得，再根据结论②可得，由此即可判断④错误． 解：平分，为外角的平分线， ，， ， ，结论①正确； 平分， ， ，结论③正确； 又， ， ，结论②正确； 假设， ， 解得， ，由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 19． 本题考查了三角形的外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．由，以及三角形外角的性质，可得，再利用角平分线的定义即可解答． 解：，， ， 平分， ． 20．的三边长分别为，， 根据题意列出方程，然后解方程组即可； 根据题意，得 ， 化简，得， 解得， 故的三边长分别为，，． 本题考查了三角形，三元一次方程组的应用，解题的关键是得出隐形方程． 21． 本题考查了三角形内角和定理：三角形的三个内角和为，以及三角形外角定理．根据三角形内角和定理以及三角形外角定理即可求解． 解：，， ， 又， ∴ 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析． （1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证； （2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，从而AB∥CE． 证明：（1）∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴，． ∵是外角的平分线，是的平分线， ∴，， ∴ ． （2）由（1）可知． ∵，， ∴， 即， ∴． 本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 23． 本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出，根据已知和三角形内角和定理求出，，代入求出即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ ． 24．(1)44° (2)见解析 本题主要考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握垂直的定义、角平分线的性质和三角形的内角和定理等知识点． （1）先根据内角和定理求得，再由角平分线性质可得答案； （2）先根据知，，结合可得，即可得证． （1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 25．(1)等边三角形 (2)等腰三角形 (3) 本题主要考查非负数的性质，利用非负数的性质求得a、b、c关系是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的关系可求得答案． （2）根据求出或，即可得出绪论； （3）根据三角形三边关系确定出，，，进一步化简即可． （1）解：∵， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形． （3）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． 26．(1)①；②， (2)存在，、35、50、125 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，角平分线的相关计算，平行线性质，分类讨论的运用是解题的关键． （1）①根据角平分线的定义结合平行线的性质可求解；②可分两种情况：当时，当时，根据三角形点的内角和定理分别计算可求解； （2）可分两种情况：当点D在线段上时；当点D在线段延长线上时，再分别从当时，当时，当∠时，三个角度分别计算可求解． （1）解：①平分， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：①；②，； （2）①当点D在线段上时， 是的角平分线， ， ， ， ， 若，则， 若，则， 若，则，则， ②当点D在射线上时，因为， 所以只有，此时． 综上可知，存在这样的x的值，且、35、50、125． 学科网（北京）股份有限公司 $$