第二十一章 一元二次方程章末综合题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 一、选择题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　） A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15 3．若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A．2 B．±2 C．±4 D．±2 4．已知关于的方程有一个根为，则另一个根为（　　） A． B． C． D． 5．已知方程 的两个解分别为 、 ，则 的值为（） A． B． C．7 D．3 6．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（　　） A． B． C． D． 7．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 或 8．已知m，n是关于 的一元二次方程 的两实数根，则 的最小值是（　　） A．7 B．11 C．12 D．16 9． 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（　　） A．52 B．60 C．68 D．76 10．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（　　） A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根； B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根； C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1； D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1. 二、填空题 11．若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是　 　． 12．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为　 　． 13．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是　 　． 14．已知：，是关于的方程的两个实数根，则的值为　 　． 15．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有　 　（填序号）． ①方程 是“倍根方程”； ②若 是“倍根方程”，则 ； ③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”； ④若方程 是“倍根方程”，则必有 ． 三、计算题 16．用合适的方法解方程 （1） （2） （3） （4）． 四、解答题 17．已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值. 18．若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长. 19．小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框： 小敏： 两边同除以 ，得 ， 则 ． 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则 或 ， 解得 ， ． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 20．已知关于x的一元二次方程x2＋（2m﹣3）x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足 ＋ ＝1，求m的值． 21．根据扬州市某风景区的旅游信息， 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元. 公司参加这次旅游的员工有多少人？ 扬州市某风景区旅游信息表 旅游人数 收费标准 不超过 人 人均收费 元 超过 人 每增加 人，人均收费降低 元，但人均收费不低于 元 22．关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论： ①当m＝0时，方程只有一个实数解； ②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解； ③无论m取何值，方程都有一个整数根. （1）请你判断，这三个结论中正确的有　 　(填序号) （2）证明(1)中你认为正确的结论. 23．为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据． 采购数量（件） 1 2 … A产品单价（元/件） 1480 1460 … B产品单价（元/件） 1290 1280 … （1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式； （2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的 ，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案； （3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润． 答案解析部分 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C 11．20% 12．x=3或x=﹣7 13．2023 14．-1 15．②③④ 16．（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17．解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0， ∴a2﹣4＝0， ∴a＝±2， 由于a﹣2≠0， 故a＝﹣2. 18．解： 为等腰三角形， 或者 之中有一个为 ， ①当 时， b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根， ， 解得 ， 原方程为 ， 解得 ，即 ， ， 能构成三角形，该三角形的周长为 ， ②当 或 之中一个为 ，将 代入原方程，得， ， 解得 ， 原方程为 ， 解得 ， 能组成三角形， 该三角形的周长为 . 综上所述， 的周长为 或 . 19．解：他们的解法都错误 小敏： 两边同除以 ，得 ， 则 ． （×） 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则 或 ， 解得 ， ． （×） 正确解答： 移项，得 ， 提取公因式，得 ， 去括号，得 ， 则 或 ， 解得 ， ． 20．解：由题意知：α+β＝−（2m−3）＝3−2m，αβ＝m2， 由 ＋ ＝1，即 可得 ， 解得：m＝1或m＝−3， 经检验：它们都是原方程的根， 由判别式大于零，得（2m−3）2−4m2＞0， 解得m＜ ， ∴m＝−3． 21．解：设参加这次旅游的员工有x人. ∵30×80=2400＜2800，∴x＞30. 根据题意得：x[80﹣（x﹣30）]=2800，解得：x1=40，x2=70. 当x=40时，80﹣（x﹣30）=70＞55，当x=70时，80﹣（x﹣30）=40＜55，舍去. 答：A公司参加这次旅游的员工有40人. 22．（1）①③ （2）证明①：∵当m＝0时，方程为﹣x+1＝0，得x＝1， ∴方程只有一个实数解； 证明②：∵当m≠0时，方程为一元二次方程 ∴△＝1﹣4m(﹣m+1)＝1+4m2﹣4m＝(2m﹣1)2≥0， ∴x1=1，x2= ， 又∵当m＝0时，方程解为x＝1 ∴无论m取何值，方程都有一个整数根x＝1， 即②错误，③正确 23．（1）解：设y1与x的关系式y1=kx+b， 由表知 ， 解得k=﹣20，b=1500， 即y1=﹣20x+1500（0＜x≤20，x为整数） （2）解：根据题意可得 ， 解得11≤x≤15， ∵x为整数， ∴x可取的值为：11，12，13，14，15， ∴该商家共有5种进货方案 （3）解：解法一：y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 令总利润为W， 则W=（1760﹣y1）x+（20﹣x）×[1700﹣（10x+1100）]=30x2﹣540x+12000， =30（x﹣9）2+9570， ∵a=30＞0， ∴当x≥9时，W随x的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴当x=15时，W最大=10650； 解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为： y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 则A、B两种产品的每件利润可分别表示为： 1760﹣y1=20x+260， 1700﹣y2=﹣10x+600， 则当20x+260＞﹣10x+600时，A产品的利润高于B产品的利润， 即x＞ =11 时，A产品越多，总利润越高， ∵11≤x≤15， ∴当x=15时，总利润最高， 此时的总利润为（20×15+260）×15+（﹣10×15+600）×5=10650． 答：采购A种产品15件时总利润最大，最大利润为10650元． 学科网（北京）股份有限公司 $$