1.2 集合间的基本关系 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§1.2 集合间的基本关系 目录 题型1：判断两集合间的关系 3 题型2：确定集合的子集或子集（真子集）的个数 4 题型3：根据集合间的关系求参数 6 题型4：集合关系中的创新问题 9 【强化训练】 11 1. 集合的图示法 (1) Venn图 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2) 数轴法 对于由连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示. 2. 子集 子集的定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”（或“B包含A”）． A⊆B的符号表示：对任意，都有． A⊆B的Venn图表示： 3. 集合相等 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4. 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）． 5. 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． · 与0，{0}，{}之间的关系 与0 与{0} 与{} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合，0是实数. 不含任何元素；{0}含一个元素0. 不含任何元素；{}含一个元素. 关系 或 题型1：判断两集合间的关系 方法提炼 判断集合关系的方法： (1) 列举观察法：可列举出集合中的全部元素，通过定义进行判断； (2) 元素特征法：设， ，若可推出，则； (3) 数形结合法：借助数轴或Venn图判断. 【例1.1.】 能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 【例1.2.】 设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设、、，只有C正确. 故选：C 【例1.3.】 已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 【例1.4.】 给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】显然，，①③正确； 集合中的元素为一个式子，集合中的元素为数，②错误 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：C 题型2：确定集合的子集或子集（真子集）的个数 方法提炼 (1) 若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－1个非空子集，2n－2(n≥1)个非空真子集． (2) 若，，则满足的集合有个；满足的集合有个． 【例2.1.】 已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，,故, 故选：B 【例2.2.】 （多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 【例2.3.】 已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 【答案】A 【详解】因为，， 所以或或或， 故， 即集合中含有4个元素，所以集合的子集个数为． 故选：A. 【例2.4.】 已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成， 所以满足的集合有（个）． 故选：B． 【例2.5.】 已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【答案】D 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 题型3：根据集合间的关系求参数 方法提炼 已知集合间的关系求参数问题的解题策略： (1) A⊆B在未指明集合非空时，应分和两种情况来讨论. (2) 若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程. (3) 若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化成不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 【例3.1.】 已知非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，即，解得． 故选：B 【例3.2.】 若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C 【详解】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或（舍去），即， 此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或． 故选：C． 【例3.3.】 （多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】BCD 【详解】由十字相乘法可得，所以或，即． 当时，B可能为，也可能不为． B是方程的解集，求解时需对B中元素个数进行分类讨论． 当时，，此时满足； 当时，因为，所以． 又，所以或，解得或1． 综上可知，a的值为或1或0． 故选：BCD 【例3.4.】 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 【例3.5.】 已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【例3.6.】 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 题型4：集合关系中的创新问题 【例4.1.】 若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 【例4.2.】 设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为 ． 【答案】27 【详解】根据题意，满足集合A为I的一个好子集的情况共有以下四种： ①当，即集合A中元素的个数为1时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ②当，即集合A中元素的个数为2时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ③当，即集合A中元素的个数为3时，集合A的可能情况为 所以集合A的个数为; ④当，即集合A中元素的个数为4时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; 所以I的所有好子集的个数为. 故答案为：27. 【例4.3.】 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：任意，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总和； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 【强化训练】 1. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 2. 若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】因为集合，，且， 所以当时，，此时，符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意， 故选：A. 3. （多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 【答案】AB 【详解】对于A，应该为，对于B，应该为，故A、B错误． 对于C，，故C正确．对于D，空集，故D正确． 故选：AB. 4. （多选）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时， ，因为，所以， 故答案为: ． 6. 若，当时，；当时，数轴表示如图所示，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，由图， 则解得； 又时，， 综上可知，实数的取值范围是． 7. 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 8. 已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.2 集合间的基本关系 目录 题型1：判断两集合间的关系 3 题型2：确定集合的子集或子集（真子集）的个数 4 题型3：根据集合间的关系求参数 5 题型4：集合关系中的创新问题 6 【强化训练】 6 1. 集合的图示法 (1) Venn图 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2) 数轴法 对于由连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示. 2. 子集 子集的定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”（或“B包含A”）． A⊆B的符号表示：对任意，都有． A⊆B的Venn图表示： 3. 集合相等 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4. 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）． 5. 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． · 与0，{0}，{}之间的关系 与0 与{0} 与{} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合，0是实数. 不含任何元素；{0}含一个元素0. 不含任何元素；{}含一个元素. 关系 或 题型1：判断两集合间的关系 方法提炼 判断集合关系的方法： (1) 列举观察法：可列举出集合中的全部元素，通过定义进行判断； (2) 元素特征法：设， ，若可推出，则； (3) 数形结合法：借助数轴或Venn图判断. 【例1.1.】 能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【例1.4.】 给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 题型2：确定集合的子集或子集（真子集）的个数 方法提炼 (1) 若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－1个非空子集，2n－2(n≥1)个非空真子集． (2) 若，，则满足的集合有个；满足的集合有个． 【例2.1.】 已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 【例2.4.】 已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【例2.5.】 已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 题型3：根据集合间的关系求参数 方法提炼 已知集合间的关系求参数问题的解题策略： (1) A⊆B在未指明集合非空时，应分和两种情况来讨论. (2) 若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程. (3) 若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化成不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 【例3.1.】 已知非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【例3.3.】 （多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（    ） A． B．1 C．0 D． 【例3.4.】 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【例3.5.】 已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【例3.6.】 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：集合关系中的创新问题 【例4.1.】 若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【例4.2.】 设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为 ． 【例4.3.】 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：任意，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总和； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【强化训练】 1. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 2. 若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 3. （多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 4. （多选）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 6. 若，当时，；当时，数轴表示如图所示，则实数m的取值范围为 . 7. 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 8. 已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$