1.2集合的基本关系讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2节 集合的基本关系 【考点归纳】 【考点1】求元素数量、列子集、已知元素数量求子集数量的关联公式 【例题】 1、（25-26高一·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、（2025高一·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 3、（2024·浙江绍兴·三模）已知集合满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1、（2025高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 2、（25-26高一·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【专题作业】 1、（25-26高一·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 2、（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2】已知元素数量（或与子集数量的关联），求参 【例题】 1、（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 2、（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 3、（2025高一·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【举一反三】 1、【多选题】（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 2、（25-26高一·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【专题作业】 1、（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数的值有 个. 2、（2025高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，求实数a的值 3、（23-24高一上·广西·假期作业）已知关于的方程的解集只有一个元素，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．±2 D．2或3 【考点3】判断集合与集合的关系 【例题】 1、【多选】（2025高一·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2、（2025高一·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 3、（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1、（2025高一·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2、（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）已知集合，，则N、P满足的关系是（    ） A． B． C． D．N与P交集为空集 3、（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【专题作业】 1、（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 2、（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点4】已知集合与集合的关系，求参数 【例题】 1、（25-26高一·全国·单元测试）已知，，若集合，则的值为 ． 2、（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 3、（2025高一·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【举一反三】 1、（2025高一·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 2、（25-26高一·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 3、（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【专题作业】 1、（2025高一·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 2、（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3、（2025高一·辽宁朝阳·期末）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节 集合的基本关系 【考点归纳】 【考点1】求元素数量、列子集、已知元素数量求子集数量的关联公式 【例题】 1、（25-26高一·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出集合，由子集的定义可得. 【解析】由集合，所以的子集个数为个； 2、（2025高一·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【解析】子集有：、、、、、、、； 真子集有：、、、、、、. 3、（2024·浙江绍兴·三模）已知集合满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，集合A可以是，. 【举一反三】 1、（2025高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【解析】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为：，，，，，，. 2、（25-26高一·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【解析】由又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为. 【专题作业】 1、（25-26高一·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【解析】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 2、（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为集合的所有非空真子集为：， 所以有 【考点2】已知元素数量（或与子集数量的关联），求参 【例题】 1、（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以 2、（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意；当时，由可得． 3、（2025高一·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解析】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即，原方程解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 【举一反三】 1、【多选题】（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】AB 【详解】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且，所以符合要求. 2、（25-26高一·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 【专题作业】 1、（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数的值有 个. 【答案】3 【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 综上所述，的取值有3个. 2、（2025高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，求实数a的值 【答案】 【解析】由题意有：当时，满足题意，当时，， 综上所述， 3、（23-24高一上·广西·假期作业）已知关于的方程的解集只有一个元素，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．±2 D．2或3 【答案】C 【解析】x的方程的解集只有一个元素，即，解得. 【考点3】判断集合与集合的关系 【例题】 1、【多选】（2025高一·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【解析】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 2、（2025高一·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【解析】∵，是整数，是奇数，∴. 3、（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 【举一反三】 1、（2025高一·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确。 2、（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）已知集合，，则N、P满足的关系是（    ） A． B． C． D．N与P交集为空集 【答案】B 【解析】，， 因为，表示整数，，表示整数，所以两个集合元素相同，即. 3、（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 【专题作业】 1、（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 【答案】B 【详解】对于集合 A：，其中 ，因此，. 分子集合为 ，即所有除以 6 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 B：，其中 .因此，， 分子集合为 .化简：，令 ， 则 ，即所有除以3 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 C：，其中 .因此，. 分子集合为 ，即所有除以 3 余 1 的整数. 和 都表示除以3 余 1 的整数集合，因此 。 由于分母相同（均为 6），所以 ； 是除以 6 余 1 的整数集合， 因为，所以除以6 余 1 的数一定除以3 余 1， 但除以3 余 1 的数不一定除以6 余 1，所以且. 2、（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 【考点4】已知集合与集合的关系，求参数 【例题】 1、（25-26高一·全国·单元测试）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足互异性，当时，集合为，符合条件.所以． 2、（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 【答案】2 【解析】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 3、（2025高一·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）  若是的真子集，则由图知，，故的取值范围为. （2）  若是的子集，已知，则，则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 【举一反三】 1、（2025高一·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【解析】由题意可知：，因为，则，可得， 则，可得，且满足，所以. 2、（25-26高一·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】BD 【解析】当时，集合，满足，B正确； 当时，集合，要使，则或． 当时，，此时，集合不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时，集合，满足题意，D正确， 所以的值可以为0或1． 3、（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【答案】D 【解析】由题意可知，解得 【专题作业】 1、（2025高一·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为，且，则，解得或. 2、（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则或，解得或，. 3、（2025高一·辽宁朝阳·期末）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知集合，集合．若，则或， 而方程无解，方程的解为， 经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且. 4、（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 【解析】（1）因为集合，，所以. （2）因为，如图，  由图可知，即实数a的取值范围是. （3）因为B⫋A，如图，  由图可知，即实数a的取值范围是. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $