1.1 集合的概念 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§1.1 集合的概念 目录 题型1：判断元素是否构成集合 3 题型2：集合的表示方法 4  用列举法表示集合 4  用描述法表示集合 5 题型3：两集合相等 5 题型4：元素与集合关系的判断 7 题型5：由元素与集合的关系求参数 8 题型6：集合中元素的个数 10 题型7：根据元素个数求参数 12 题型8：集合概念中的创新问题 13 【强化训练】 15 1. 集合的概念 一般地，把研究对象统称元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）． 通常用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素. 2. 集合中元素的三个特性 特性 含义 确定性 作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或者说是互异的），这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算集合的一个元素. 无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 3. 集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 4. 元素与集合的关系 元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种关系，用符号“”和“”表示． · 如果是集合的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作. 5. 常用的数集及其记法 非负整数集(或自然数集)：N； 正整数集：N*(或N＋)； 整数集：Z； 有理数集Q； 实数集：R. 6. 集合的表示方法 (1) 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. (2) 描述法 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法. · 数集与点集的区分 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示，即通常表示数的集合，通常表示平面直角坐标系内点的集合. 题型1：判断元素是否构成集合 【例1.1.】 下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 【例1.2.】 下列各项中，不能组成集合的是 A．所有的正数 B．所有的老人 C．不等于0的数 D．我国古代四大发明 【答案】B 【详解】集合中的元素具有确定性，老人的标准不确定，元素不能确定，故所有的老人不能构成集合，故选B． 题型2：集合的表示方法 · 用列举法表示集合 方法提炼 (1) 用列举法表示集合的步骤： 1　 求出集合中的元素； 2　 把各元素列举出来，并用花括号括起来. (2) 用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且各元素之间用“，”隔开. (3) 列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便. 【例2.1.】 用列举法表示下列集合： （1）； （2）； （3）. 【答案】(1);(2)；(3) 【详解】（1）因为，，所以均符合题意， 所以原集合可以表示为. （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合可以表示为. （3）根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. · 用描述法表示集合 方法提炼 (1) 用描述法表示集合的步骤： 1　 弄清元素所具有的形式； 2　 写出其代表元素； 3　 确定元素所具有的属性. (2) 同一集合用描述法表示可以不唯一. 【例2.2.】 用描述法表示下列集合： (1) 所有被5除余1的正整数所构成的集合； (2) 平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合． 【答案】 （1） ；（2） 【详解】（1）设，则被5除余1的正整数所构成的集合可以表示为 . （2）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为. 题型3：两集合相等 方法提炼 (1) 若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形. (2) 若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等. 【例3.1.】 （多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 【例3.2.】 已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 【答案】D 【详解】由题意知n为方程的根，当时，； 当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得， 此时，即． 综上所述：或． 故选：D． 【例3.3.】 若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 【例3.4.】 设a，，若集合，则 . 【答案】0 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 题型4：元素与集合关系的判断 方法提炼 判断元素与集合关系的两种方法 (1) 直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. (2) 推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件. 【例4.1.】 下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 【例4.2.】 集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B． 题型5：由元素与集合的关系求参数 方法提炼 当时，若集合是用描述法表示的，则一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等；若集合是用列举法表示的，则一定等于集合中的其中一个元素.利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意求得的参数一定要代回检验，确保满足集合中元素的互异性. 【例5.1.】 已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 【例5.2.】 已知集合，且，则 ． 【答案】 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 【例5.3.】 设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 【例5.4.】 设，，若，求集合B． 【答案】 【详解】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 题型6：集合中元素的个数 方法提炼 1. 若能列举出集合中的所有元素，则可数出集合中元素的个数. 2. 对于方程的解集中的元素个数问题，需进行分类讨论： 1　 若，则解集中的元素个数为1； 2　 若，则解集为无限集； 3　 若，则解集中的元素个数为0； 4　 当考虑一元二次方程的根的判别式,若，则解集中的元素个数为2；若，则解集中的元素个数为1；若，则解集中的元素个数为0. 【例6.1.】 集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，该集合中的元素有个， 故选：B. 【例6.2.】 已知集合，则集合中的元素个数为 . 【答案】 【详解】由可知，且，解得， 则，即集合中的元素个数为， 故答案为：. 【例6.3.】 集合中元素的个数为（    ） A．18 B．12 C．8 D．5 【答案】A 【详解】集合中元素的个数为. 故选：A. 【例6.4.】 已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（    ） A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15 【答案】B 【详解】解：关于x的方程等价于①，或者②． 由题意知，P中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和． ，对于方程①，． 方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6． 而对于方程②，，当时，可知方程②有两相等的实根为3， 在集合中应按一个元素来记，故P中元素的和为9； 当时，方程②无实根，故P中元素和为6； 当时，方程②中，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6， 故P中元素的和为12. 故选：B． 【例6.5.】 若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 【答案】B 【详解】由题意可知，即， 当是偶数时，是奇数， 当，此时，解得，满足条件， 以此类推，，共10个n，每一个n对应位于的m， 当是奇数时，是偶数，此时共10个n， 综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m, 所以集合A的元素个数为20个． 故选：B． 题型7：根据元素个数求参数 【例7.1.】 已知集合． （1）若集合中只有一个元素，则实数的值及该元素分别为 ； （2）若集合中至多有一个元素，则的取值范围是 ． 【答案】 或 或 【详解】（1）、 当时，集合中只有一个元素，符合题意； 当，因为A中只有一个元素，则方程有两个相等的实根．，得，此时，集合A中只有一个元素，符合题意； 综上所述，当时，集合A中只有一个元素；当时，集合A中只有一个元素． （2）若集合，则方程无解，． 由（1）可知当时，集合A中只有一个元素；当时，集合A中只有一个元素． 综上所述：的取值范围是或． 故答案为：或；或. 【例7.2.】 设函数，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】 【详解】函数，又有且只有一个元素， 则方程有且仅有一个根， 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. 题型8：集合概念中的创新问题 【例8.1.】 已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【详解】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 【例8.2.】 已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或者. (3)13 【详解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 【强化训练】 1. 下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 2. 已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A中的元素个数为0 【答案】D 【详解】A选项，由，得， 当，即时，，得，则，A正确； B选项，当，即时，， 此时与均为负值，所以A中元素均为负数，B正确； C选项，由AB知，时，不满足， 当，即时，， 因为，所以，得，C正确； D选项，由题意得，则A中的元素个数不可能为0，D错误． 故选：D 4. 已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A. ∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素. 故选：D 5. 已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】根据题意， 所以集合B中共有6个元素， 故选：C. 6. （多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误； 对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确； 对于C，由于，且在，，中， 当时，，当时，，当时，， 三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误， 故选：BC． 7. 已知集合，且，则的值为 ． 【答案】0或 【详解】因为，所以，得或， 当时，，当时，，都成立， 所以的值为0或. 故答案为：0或 8. 已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 【答案】/ 【详解】因为集合，且 所以或 （1）当时，此时，符合题意. （2）当时，解得或 当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去； 当时，符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 故答案为： 9. 已知关于的不等式的解集为 (1)若求实数取值范围; (2)求解集 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由于，所以； （2） 依题意 当时，不等式转化为，解集为空集. 当时，不等式转化为，即不等式的解集为. 当时，不等式转化为，即不等式的解集为. 10. 已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 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(2) 描述法 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法. · 数集与点集的区分 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示，即通常表示数的集合，通常表示平面直角坐标系内点的集合. 题型1：判断元素是否构成集合 【例1.1.】 下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【例1.2.】 下列各项中，不能组成集合的是 A．所有的正数 B．所有的老人 C．不等于0的数 D．我国古代四大发明 题型2：集合的表示方法 · 用列举法表示集合 方法提炼 (1) 用列举法表示集合的步骤： 1　 求出集合中的元素； 2　 把各元素列举出来，并用花括号括起来. (2) 用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且各元素之间用“，”隔开. (3) 列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便. 【例2.1.】 用列举法表示下列集合： （1）； （2）； （3）. · 用描述法表示集合 方法提炼 (1) 用描述法表示集合的步骤： 1　 弄清元素所具有的形式； 2　 写出其代表元素； 3　 确定元素所具有的属性. (2) 同一集合用描述法表示可以不唯一. 【例2.2.】 用描述法表示下列集合： (1) 所有被5除余1的正整数所构成的集合； (2) 平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合． 题型3：两集合相等 方法提炼 (1) 若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形. (2) 若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等. 【例3.1.】 （多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【例3.2.】 已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 【例3.3.】 若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【例3.4.】 设a，，若集合，则 . 题型4：元素与集合关系的判断 方法提炼 判断元素与集合关系的两种方法 (1) 直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. (2) 推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件. 【例4.1.】 下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【例4.2.】 集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 题型5：由元素与集合的关系求参数 方法提炼 当时，若集合是用描述法表示的，则一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等；若集合是用列举法表示的，则一定等于集合中的其中一个元素.利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意求得的参数一定要代回检验，确保满足集合中元素的互异性. 【例5.1.】 已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知集合，且，则 ． 【例5.3.】 设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【例5.4.】 设，，若，求集合B． 题型6：集合中元素的个数 方法提炼 1. 若能列举出集合中的所有元素，则可数出集合中元素的个数. 2. 对于方程的解集中的元素个数问题，需进行分类讨论： 1　 若，则解集中的元素个数为1； 2　 若，则解集为无限集； 3　 若，则解集中的元素个数为0； 4　 当考虑一元二次方程的根的判别式,若，则解集中的元素个数为2；若，则解集中的元素个数为1；若，则解集中的元素个数为0. 【例6.1.】 集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知集合，则集合中的元素个数为 . 【例6.3.】 集合中元素的个数为（    ） A．18 B．12 C．8 D．5 【例6.4.】 已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（    ） A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15 【例6.5.】 若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 题型7：根据元素个数求参数 【例7.1.】 已知集合． （1）若集合中只有一个元素，则实数的值及该元素分别为 ； （2）若集合中至多有一个元素，则的取值范围是 ． 【例7.2.】 设函数，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合. 题型8：集合概念中的创新问题 【例8.1.】 已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【例8.2.】 已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【强化训练】 1. 下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3. 已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A中的元素个数为0 4. 已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5. 已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 6. （多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 7. 已知集合，且，则的值为 ． 8. 已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 9. 已知关于的不等式的解集为 (1)若求实数取值范围; (2)求解集 10. 已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$