第二十二章 二次函数 章末综合检测试题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 章末综合检测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册 一、选择题 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则（　　） A．-2 B． C． D． 4．下列关于抛物线的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．有最小值 D．对称轴是直线 5．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　） A． B． C． D． 6． 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（　　） A．-1<x<5 B．x>5 C．x<-1且x>5 D．x<-1或x>5 8．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（　　） A．5米 B．4米 C．2.25米 D．1.25米 9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10． 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：，，，，正确结论的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　 　． 12．若二次函数 的图象开口向下，则 　 　0（填“＝”或“>”或“<”）． 13．已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为　 　. 14．抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是　 　. 15．将抛物线y＝ (x－1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　 　 16．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是　 　 17．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　 　(s)。 18．如图，抛物线 过点 ， ，且顶点在第一象限，设 ，则M的取值范围是　 　． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上． （1）求该二次函数的解析式； （2）当m＞0时，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+n（n是常数）在第四象限内有两个交点，请求出n的取值范围． 20．在平面直角坐标系xOy中，有抛物线. （1）若点在抛物线上， ①求抛物线的对称轴； ②若点也在抛物线上，求的取值范围； （2）当时，有已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围. 21． 为抢抓大数据产业发展先机，紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态，贵州省大力打造地方特色电商平台，通过“云”销售，助力“黔货出山”．贵州特产某品牌维C刺梨汁的进价为45元/箱，售价为60元/箱，某销售网店平均每周可售出100箱；而当销售价每降低1元时，平均每周多售出20箱．设每箱产品降价x元，每个周的销售利润为y元 （1）求y与x的关系式； （2）当销售价为多少元时，每周获得的利润最大？并求出最大利润． 22．如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B， 抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； 23．如图1，抛物线）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； （3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N． ①如图2，连接，求四边形的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 24．某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品.销售过程中发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元. 销售单价（元/千克） 10 11 销售量（千克） 300 270 （1）求与的函数关系式： （2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 25．如图1，二次函数的图象与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． （1）①___________，②顶点D的坐标为 ___________； （2）如图2，抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； （3）如图3，连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 四、实践探究题 26．根据以下材料，探索完成任务： 智能浇灌系统使用方案 材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处． 问题解决 任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留） 任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？ 答案解析部分 1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 9．D 10．C 11．6 12．< 13． 14． 且k≠1 15．y＝x2 16． 或5 17．8 18． 19．（1）解：已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上， ∴7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m， 解得m＝2 或 m＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2或y＝x2﹣2； （2）解：当m＞0时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2 令 y＝x2﹣4x+2＝0， 解得x1＝2+，x2＝2﹣， ∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0）， 如图，当直线y＝x+n经过（2+，0）时，2+＝0， 解得n＝﹣2﹣， 当直线 y＝x+n与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时， 于是得到x2﹣4x+2＝x+n， 整理得：x2﹣5x+2﹣n＝0， ∴Δ＝52﹣4（2﹣n）＝0，解得n＝﹣， ∴n的取值范围是﹣＜n＜﹣2﹣． 20．（1）解：①点在抛物线上，， ， 抛物线的对称轴为直线； ②抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线顶点坐标为， 点在抛物线上， 当时，，解得； 当时，，解得 综上所述，或. （2）当时，， 点在抛物线与轴围成的图象的内部， 当时，， 当时，点在第一象限内， 点在抛物线与轴围成的图象的内部， 线段AB只有和在左侧的抛物线相交， 抛物线与线段AB恰有一个公共点， 当时，点在第一象限内， 点在抛物线与轴围成的图象的内部， 线段AB只有和在右侧的抛物线相交， 抛物线与线段AB恰有一个公共点， 或 即满足条件的的范围为或. 21．（1）解： （2）解：由（1）得： ∵-20＜0 ∴该函数有最大值 ∴当每箱产品降价5元，有最大利润 ∴当售价为55元时，每周的利润最大，且最大利润是2000元。 22．（1）解：当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， 解得：x＝6， ∴C（6，0）， 把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x+4 （2）解：如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G， 设E（m，m2m+4），则G（m，m+4）， ∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m， ∴S△BECEG•OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18， ∵﹣2＜0， ∴S有最大值，此时E（3，8）； 23．（1）解：由题意知，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴ （2）解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等， ①当时， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； ②当过中点时， 由题意知，中点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或 （3）解：①解：由题意知，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为2， ∴； ②解：由题意知 ， ， ∴与的面积之和是定值，且定值为2． 24．（1）解：设， 根据题意得，解得， ∴； （2）解：设每天获得的纯利润为元， 根据题意得， ∵，∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于12元， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，（元）. 答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元. 25．（1）①1，② （2） （3）(2，0)， 26．解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 此时，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达为， 将代入得，， ∴抛物线的函数表达式为． （其他建系方式均可，按步给分） 任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位， 得． 令，则，解得：，（舍去）， ∴浇灌最大圆形区域面积为． 任务3：连结AC，如图： 由题意知AC过点O，， ∴， ∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m． 设，此时抛物线函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴OP至少调节到1.5m． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$