专题03 二次函数的图象和性质【七大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题03 二次函数的图象和性质【七大题型】 确定抛物线的顶点与对称轴 1．（2023•海淀区期末统考）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 2．（2023•西城区校级期末）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（1，﹣4） C．（﹣1，2） D．（1，2） 3．（2023•大兴区期末统考）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1 4．（2023•房山区校级期末）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　） A．x＝1 B．x＝3 C．x D．x＝﹣1 5．（2023•东城区校级期末）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 　 　． 6．（2023•朝阳区校级期末）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是　 　． 7．（2023•石景山区校级期末）抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线 　 　． 8．（2023•朝阳区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 … 则此二次函数的对称轴为　 　． 待定系数法求二次函数解析式 9．（2023•丰台区校级期末）已知二次函数的图象的顶点是（1，2），且经过点（0，5），则二次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2+2 C．y＝﹣3（x﹣1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2 10．（2023•西城区校级期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（2，4），且其顶点在直线y＝2x+1上，则它的解析式为（　　） A．y＝x2﹣x+2 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x+5 D．y＝x2﹣2x+4 11．（2023•东城区校级期末）二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是　 　． 12．（2023•东城区校级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x＝2时，y的值为　 　． 13．（2023•东城区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？ 14．（2023•通州区期末统考）已知二次函数几组x与y的对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 4 … y … 12 5 0 ﹣4 0 5 … （1）写出此二次函数图象的对称轴； （2）求此二次函数的表达式． 二次函数图象与系数的关系 15．（2023•石景山区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 16．（2023•丰台区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A．a＝2b B．c＞0 C．a+b+c＞0 D．4a﹣2b+c＝0 17．（2023•海淀区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2023•通州区校级期末）小明从二次函数y＝ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息： ①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0． 你认为其中正确的信息是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 19．（2023•大兴区校级期末）二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，满足如下四个条件：abc＝0；a+b+c＝3；3a+4b+2c＝5，a＜b＜c．则a＝　 　，c＝　 　． 20．（2023•昌平区期末统考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是 　 　． 二次函数图象上点的坐标特征 21．（2023•海淀区校级期末）下列各点中，抛物线y＝x2﹣4x﹣4经过的点是（　　） A．（0，4） B．（1，﹣7） C．（﹣1，﹣1） D．（2，8） 22．（2023•石景山区期末统考）在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．1＜y2＜y1 C．y2＜y1＜1 D．y1＜y2＜1 23．（2023•海淀区校级期末）若点M（0，5），N（2，5）在抛物线y＝2（x﹣m）2+3上，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 24．（2023•东城区校级期末）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 　 　． 25．（2023•海淀区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是　 　． 26．（2023•通州区校级期末）如图，过点A（0，4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2于B、C两点，那么线段BC的长是 　 　． 二次函数图象与几何变换 27．（2023•朝阳区期末统考）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x﹣5）2+2 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+5 28．（2023•西城区校级期末）抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 29．（2023•朝阳区校级期末）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D． 30．（2023•石景山区校级期末）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 31．（2023•东城区校级期末）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　 　． 32．（2023•丰台区校级期末）平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 　 　． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线y＝x对称； ③图形G的面积为S，满足2＜S＜π． 二次函数的区间最值 33．（2023•海淀区校级期末）已知关于x的二次函数y＝（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（　　） A． B．或2 C．或6 D．2、或6 34．（2023•东城区校级期末）在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0 35．（2023•通州区校级期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（2023•海淀区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是 　 　． 37．（2023•东城区校级期末）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是　 　． 38．（2023•西城区校级期末）已知二次函数，（1）它的最大值为　 　； （2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则m＝　 　，n＝　 　． 39．（2023•延庆区校级期末）求函数f（x）＝x2﹣2ax+3在0≤x≤1上的最小值． 40．（2023•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 二次函数综合题 41．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a． （1）求抛物线的对称轴； （2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值； （3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 42．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m，线段AB的两个端点分别为A（1，3），B（7，3）． （1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）； （2）若m＝4，且对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥6时，均满足y1≥y2，求t的取值范围； （3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 43．（2023•房山区校级期末）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2． （1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 　 　（只填序号即可），其上确界为 　 　； （2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围； （3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值． 44．（2023•通州区校级期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数的图象和性质【七大题型】 确定抛物线的顶点与对称轴 1．（2023•海淀区期末统考）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，2）， 答案：B． 2．（2023•西城区校级期末）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（1，﹣4） C．（﹣1，2） D．（1，2） 解：抛物线y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4， 则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． 答案：B． 3．（2023•大兴区期末统考）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1 解：y＝（x﹣2）2+1， 对称轴是直线x＝2． 答案：A． 4．（2023•房山区校级期末）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　） A．x＝1 B．x＝3 C．x D．x＝﹣1 解：∵y＝2x2﹣4x+1 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1 ＝2（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴是直线x＝1． 答案：A． 5．（2023•东城区校级期末）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 　（1，2）　． 解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（1，2）． 答案：（1，2）． 6．（2023•朝阳区校级期末）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是　（1，3）　． 解：解法1：利用公式法y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，）， 代入数值求得顶点坐标为（1，3）； 解法2：利用配方法y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， 故顶点的坐标是（1，3）． 7．（2023•石景山区校级期末）抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线 　x＝3　． 解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4 ∴对称轴是直线x＝3， 答案：x＝3． 8．（2023•朝阳区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 … 则此二次函数的对称轴为　x＝﹣1　． 解：观察表格发现函数的图象经过点（﹣2，﹣3）和（0，﹣3）， ∵两点的纵坐标相同， ∴两点关于对称轴对称， ∴对称轴为：x1， 答案：x＝﹣1． 待定系数法求二次函数解析式 9．（2023•丰台区校级期末）已知二次函数的图象的顶点是（1，2），且经过点（0，5），则二次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2+2 C．y＝﹣3（x﹣1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2 解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+2， ∵抛物线过点（0，5）， ∴a（0﹣1）2+2＝5，解得a＝3； ∴y＝3（x﹣1）2+2． 答案：D． 10．（2023•西城区校级期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（2，4），且其顶点在直线y＝2x+1上，则它的解析式为（　　） A．y＝x2﹣x+2 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x+5 D．y＝x2﹣2x+4 解：根据题意，二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（2，4）， 4+2m+n＝4，得出n＝﹣2m． 又抛物线的顶点坐标是（，）， 代入y＝2x+1，整理得m2﹣4m﹣4n+4＝0， 又把n＝﹣2m代入，得m2+4m+4＝0， 解得m＝﹣2，所以n＝4． 二次函数表达式为y＝x2﹣2x+4． 答案：D． 11．（2023•东城区校级期末）二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是　y＝x2﹣x﹣2　． 解：∵二次函数图象经过A（﹣1，0），B（2，0）， ∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2）， 将C（0，﹣2）代入，得：﹣2a＝﹣2， 解得a＝1， 则抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2， 答案：y＝x2﹣x﹣2． 12．（2023•东城区校级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x＝2时，y的值为　2　． 解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2）， ∴， 解得：， 则这个二次函数的表达式为yx2x+2． 把x＝2代入得，y42+2＝2． 答案：2． 13．（2023•东城区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？ 解：（1）由题意得，， 解得，， 则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3， ∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上． 14．（2023•通州区期末统考）已知二次函数几组x与y的对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 4 … y … 12 5 0 ﹣4 0 5 … （1）写出此二次函数图象的对称轴； （2）求此二次函数的表达式． 解：（1）由表格可知， 当x＝﹣1时，y＝0；x＝3时，y＝0， 则点（﹣1，0）和（3，0）关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线x． （2）由表格可知， 当x＝1时，y＝﹣4， 所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． 设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣4， 将（﹣1，0）代入得， a×（﹣1﹣1）2﹣4＝0， 解得a＝1， 所以二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4． 二次函数图象与系数的关系 15．（2023•石景山区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 解：由二次函数y＝ax2+bx+1可知图象经过点（0，1）， ∵二次函数y＝ax2+bx+1的图象还经过点A，B， 则函数图象如图所示， ∴a＜0，0， ∴b＞0， 答案：D． 16．（2023•丰台区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A．a＝2b B．c＞0 C．a+b+c＞0 D．4a﹣2b+c＝0 解：A、对称轴是直线x1， ∴b＝﹣2a，故选项A不符合题意； B、由函数图象知，抛物线交y的负半轴， ∴c＜0，故选项B不符合题意； C、由图可知：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项C不符合题意； D、由图可知：对称轴是直线x＝1，图象与x轴的一个交点为（4，0）， ∴另一个交点为（﹣2，0）， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，故选项D符合题意； 答案：D． 17．（2023•海淀区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵抛物线开口朝下， ∴a＜0， ∵对称轴x＝1， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； 根据图象知道抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故②错误； 根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， 故③错误； ∵抛物线开口向下，x＝﹣1时抛物线与y轴相交， ∴x＜1时的抛物线位于x轴下方，即y＜0， ∴当x＝﹣2时，y＝a（﹣2）2+（﹣2）b+c＝4a﹣2b+c＜0， 故④正确． 答案：A． 18．（2023•通州区校级期末）小明从二次函数y＝ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息： ①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0． 你认为其中正确的信息是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 解：①因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，c＜0，故此选项正确； ②由函数图象开口向上可知，a＞0，由①知，c＜0， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x0，故b＜0，故abc＞0；故此选项正确； ③把x＝﹣1代入函数解析式，由函数的图象可知，x＝﹣1时，y＞0即a﹣b+c＞0；故此选项正确； ④因为函数的对称轴为x，故2a＝﹣3b，即2a+3b＝0；故此选项错误； ⑤当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b， 而点（2，c﹣4b）在第一象限， ∴⑤c﹣4b＞0，故此选项正确． 其中正确信息的有①②③⑤． 答案：A． 19．（2023•大兴区校级期末）二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，满足如下四个条件：abc＝0；a+b+c＝3；3a+4b+2c＝5，a＜b＜c．则a＝　﹣1　，c＝　4　． 解：∵abc＝0， ∴当c＝0，a+b＝3，3a+4b＝5，解得a＝7，b＝﹣4，不满足a＜b＜c，所以舍去； 当b＝0，a+b＝3，3a+2＝5，解得a＝﹣1，c＝4． 答案：﹣1，4． 20．（2023•昌平区期末统考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是 　②③④　． 解：①根据抛物线开口向下可知： a＜0， 因为对称轴在y轴右侧， 所以b＞0， 因为抛物线与y轴正半轴相交， 所以c＞0， 所以abc＜0， 所以①错误； ②因为抛物线对称轴是直线x＝1， 即1， 所以b＝﹣2a， 所以b+2a＝0， 所以②正确； ③由图象知，当x＝﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0， 因为b＝﹣2a， 所以3a+c＜0， 所以③正确； ④∵c＞1，a＜0， ∴4a＞4ac， ∴4a+b2＞4ac， ∴结论④正确． 答案：②③④． 二次函数图象上点的坐标特征 21．（2023•海淀区校级期末）下列各点中，抛物线y＝x2﹣4x﹣4经过的点是（　　） A．（0，4） B．（1，﹣7） C．（﹣1，﹣1） D．（2，8） 解：当x＝0时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣4；当x＝1时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣7；当x＝﹣1时，y＝x2﹣4x﹣4＝1；当x＝2时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣8， 所以点（1，﹣7）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上． 答案：B． 22．（2023•石景山区期末统考）在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．1＜y2＜y1 C．y2＜y1＜1 D．y1＜y2＜1 解：∵y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，函数有最小值1， ∵点（4，y1）到对称轴的距离为1，点（6，y2）到对称轴的距离为3， ∴y2＞y1＞1， 答案：A． 23．（2023•海淀区校级期末）若点M（0，5），N（2，5）在抛物线y＝2（x﹣m）2+3上，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 解：因为点M（0，5），N（2，5）的纵坐标相同，都是5， 所以对称轴为直线x＝m1， 故m的值为1． 答案：B． 24．（2023•东城区校级期末）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 　3　． 解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上， ∴P、Q关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴x1+x2＝3， 答案：3． 25．（2023•海淀区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是　1＜m＜5　． 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点， ∴该抛物线的对称轴为直线x3，函数图象开口向上， ∴点P（5，y1）关于直线x＝3的对称点为（1，y1）， ∵y1＞y2， ∴1＜m＜5， 答案：1＜m＜5． 26．（2023•通州区校级期末）如图，过点A（0，4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2于B、C两点，那么线段BC的长是 　2　． 解：∵点A（0，4）， 把y＝4代入y1＝x2（x≥0）得x2＝4， 解得：x＝2， ∴B（2，4）， 把y＝4代入y2得x2＝4（x≥0）， 解得：x＝4， ∴C（4，4）， ∴BC＝4﹣2＝2， 答案：2． 二次函数图象与几何变换 27．（2023•朝阳区期末统考）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x﹣5）2+2 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+5 解：把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+5． 答案：C． 28．（2023•西城区校级期末）抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 解：∵y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）， ∴将抛物线y＝﹣2x2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3． 答案：D． 29．（2023•朝阳区校级期末）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D． 解：抛物线y1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为yx2﹣1． 答案：D． 30．（2023•石景山区校级期末）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 解：∵函数y（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n）， ∴m（1﹣2）2+1＝1，n（4﹣2）2+1＝2， ∴A（1，1），B（4，2）， 过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1）， ∴AC＝4﹣1＝3， ∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′＝3AA′＝6， ∴AA′＝2， 即将函数y（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y（x﹣2）2+3． 答案：B． 31．（2023•东城区校级期末）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　yx2+x　． 解：把抛物线yx2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y（x+1）2+1﹣3，即yx2+x． 答案：yx2+x． 32．（2023•丰台区校级期末）平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 　①③　． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线y＝x对称； ③图形G的面积为S，满足2＜S＜π． 解：由图形可知，图形G关于原点对称，不关于直线y＝x对称，故①正确，②错误； 观察图形，图形G的面积S大于两个△ABC的面积，小于⊙O的面积， 所以，图形G的面积满足2＜S＜π，故③正确． 答案：①③． 二次函数的区间最值 33．（2023•海淀区校级期末）已知关于x的二次函数y＝（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（　　） A． B．或2 C．或6 D．2、或6 解：∵y＝（x﹣h）2+3中a＝1＞0， ∴当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大； ①若1≤h≤3， 则当x＝h时，函数取得最小值2h，即3＝2h， 解得：h； ②若h＜1，则在1≤x≤3范围内，x＝1时，函数取得最小值2h， 即（1﹣h）2+3＝2h， 解得：h＝2＞1（舍去）； ③若h＞3，则在1≤x≤3范围内，x＝3时，函数取得最小值2h， 即（3﹣h）2+3＝2h， 解得：h＝2（舍）或h＝6， 综上，h的值为或6， 答案：C． 34．（2023•东城区校级期末）在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0 解：抛物线的对称轴是直线x＝1， 则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值； 当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值． 答案：A． 35．（2023•通州区校级期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3）， ∴当y＝﹣3时，x＝1， 当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15， 解得x＝4或x＝﹣2， ∵当0≤x≤a时，y的最大值为15， ∴a＝4， 答案：D． 36．（2023•海淀区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是 　﹣3　． 解：∵抛物线y＝x2﹣2mx， ∴抛物线的对称轴为直线xm， ∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）， ∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp， ∴m，即p+1＝m， ∴p＝m﹣1， ∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1， ∵﹣1≤m≤2， ∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3． 答案：﹣3． 37．（2023•东城区校级期末）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是　a≥1　． 解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线， 当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4， ∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4， ∴a≥1， 答案：a≥1 38．（2023•西城区校级期末）已知二次函数，（1）它的最大值为　　； （2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则m＝　﹣4　，n＝　0　． 解：（1）， （x2﹣2x）， （x2﹣2x+1）， （x﹣1）2， ∴即当x＝1时y取得其最大值． （2）由已知可得图象过（a，3a）点， ∴3aa2+a， ∴6a＝﹣a2+2a， a2+4a＝a（a+4）＝0， 于是得a＝﹣4或a＝0； 于是可取m＝﹣4，n＝0； 当m＝﹣4时y16﹣4＝﹣12，即有（m，3m）＝（﹣4，﹣12）； 当n＝0时，y＝0，即有（n，3n）＝（0，3×0）＝（0，0）． ∴m＝﹣4，n＝0， 答案：﹣4，0． 39．（2023•延庆区校级期末）求函数f（x）＝x2﹣2ax+3在0≤x≤1上的最小值． 解：f（x）＝x2﹣2ax+3对称轴为x＝a， ①当a≤0时，则f（x）在0≤x≤1上随x的增大而增大， ∴x＝0时，f（x）的最小值为3； ②当0＜a＜1时，x＝a时，f（x）最小值为﹣a2+3＞2； ③当a≥1时，f（x）在0≤x≤1上随x的增大而减小， ∴当x＝1时，f（x）的最小值为4﹣2a≤2． 40．（2023•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3， ∴x＝0时，y＝3， ∴抛物线y＝ax2+bx+3过点（0，3）， ∵抛物线y＝ax2+bx+3过点（4，3）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝2． （2）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2， ∴，即b＝﹣4a①． ∵m＞0， ∴2﹣m＜2＜2+2m． ∵a＞0，抛物线开口向上， ∴当x＝2时，函数值在2﹣m＜x＜2+2m上取得最小值﹣1． 即4a+2b+3＝﹣1 ②． 联立①②，解得a＝1，b＝﹣4． ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，即y＝（x﹣2）2﹣1． ∵m＞0， ∴当2﹣m≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝2﹣m时取得最大值， 当2≤x≤2+2m时，y随x的增大而增大，当x＝2+2m时取得最大值， ∵对称轴为x＝2， ∴x＝2﹣m与x＝2+m时的函数值相等． ∵2＜2+m＜2+2m， ∴当x＝2+2m时的函数值大于当x＝2+m时的函数值，即x＝2﹣m时的函数值． ∴当x＝2+2m时，函数值在2﹣m＜2＜2+2m上取得最大值3． 代入有4m2﹣1＝3，舍去负解，得m＝1． （3）存在，n＝1． ∵当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，y无法取到最大值与最小值， ∴关于x的取值范围一定不包含对称轴， ①当n≤2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的左侧， ∵二次函数开口向上， ∴x＝n﹣2时，y有最大值，x＝n时，y有最小值， 由题意可知：，解得：n＝1， 故n＝1， ②当n﹣2≥2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的右侧， ∵二次函数开口向上， ∴x＝n﹣2时，y有最小值，x＝n时，y有最大值， 由题意可知：，此时n无解， 故不符合题意， ∴n＝1． 二次函数综合题 41．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a． （1）求抛物线的对称轴； （2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值； （3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2． （2）依照题意，画出图形，如图1所示． 当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，即a（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． 由（1）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a）． ∵a＞0， ∴﹣a＜0． ∵△ABC为等边三角形， ∴点C的坐标为（2，）， ∴﹣a， ∴a． （3）分两种情况考虑，如图2所示： ①当a＞0时，a（1）×（3）≤﹣1， 解得：a； ②当a＜0时，a（1）×（3）≥2， 解得：a． 42．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m，线段AB的两个端点分别为A（1，3），B（7，3）． （1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）； （2）若m＝4，且对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥6时，均满足y1≥y2，求t的取值范围； （3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m＝﹣（x﹣m）2+3m， ∴点C坐标为（m，3m）． （2）当m＝4时，抛物线对称轴为直线x＝4，开口向下， ∴x＞4时，y随x增大而减小， ∵x2≥6， 当x＝6时，y2取最大值， ∵直线x＝6与直线x＝2关于直线x＝4对称， ∴2≤x≤6时，y≥y2， ∴， 解得2≤t≤5． （3）∵抛物线顶点C坐标为（m，3m）， ∴抛物线顶点在直线y＝3x上运动， 如图，点A在直线y＝3x上，点A与抛物线顶点重合时，m＝1， ∴m≥1时满足题意， 把A（1，3）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m得3＝﹣1+2m﹣m2+3m， 解得m＝1或m＝4， 当m＝4时，抛物线同时经过A（1，3），B（7，3）， ∴1≤m＜4满足题意． 当m＞4时，抛物线与AB有一个交点， 把B（7，3）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m得3＝﹣49+14m﹣m2+3m， 解得m＝4或m＝13， ∴4＜m≤13满足题意． 综上所述，1≤m＜4或4＜m≤13． 43．（2023•房山区校级期末）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2． （1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 　②　（只填序号即可），其上确界为 　1　； （2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围； （3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值． 解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0， ∴①无上确界； ②y＝2x﹣3（x≤2）， ∴y≤1， ∴②有上确界，且上确界为1， 答案：②，1； （2）∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小， ∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2， ∵上确界是b， ∴﹣a+2＝b， ∵函数的最小值不超过2a+1， ∴﹣b+2≤2a+1， ∴a≥﹣1， ∵b＞a， ∴﹣a+2＞a， ∴a＜1， ∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1； （3）y＝x2﹣2ax+2的对称轴为直线x＝a， 当a≤1时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a， ∵3为上确界， ∴27﹣10a＝3， ∴a＝2.4（舍）； 当a≥5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a， ∵3为上确界， ∴3﹣2a＝3， ∴a＝0（舍）； 当1＜a≤3时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a， ∵3为上确界， ∴27﹣10a＝3， ∴a＝2.4； 当3＜a＜5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a， ∵3为上确界， ∴3﹣2a＝3， ∴a＝0， 综上所述：a的值为2.4． 44．（2023•通州区校级期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围． 解：（1）∵抛物线与y轴交点为D（0，3）， ∴c＝3， 令y＝0，则x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， 将A（﹣3，0）代入y1＝ax2﹣2x+3， ∴9a+6+3＝0， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由题意A（﹣3，0），B（1，0）， 当∠AMB＝90°时，M（﹣1，﹣2）． 当∠ABM＝90°时，M（1，﹣4）． 综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，﹣4）； （3）∵点E的横坐标xE， ∴E（xE，0）， 由题可知，F（xE，﹣4），G（xE+4，﹣4），H（xE+4，0）， 当F点在抛物线上时，﹣xE2﹣2xE+3＝﹣4， 解得xE＝﹣1+2或xE＝﹣1﹣2， 当G点在抛物线上时，﹣（xE+4）2﹣2（xE+4）+3＝﹣4， 解得xE＝﹣5+2或xE＝﹣5﹣2， ∴﹣5﹣2xE≤﹣1+2时，四边形EFGH与抛物线有公共点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$