精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

鹤岗市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考 数学试题 出题人：高二 数学 组 总分：150 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（ ） A. 的极值点一定是最值点 B. 的最值点一定是极值点 C. 在区间上可能没有极值点 D. 在区间上可能没有最值点 【答案】C 【解析】 【分析】 根据连续函数的极值和最值的关系即可判断． 【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确． 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题． 2. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，令可得，变形即可得答案． 【详解】，，，解得. 故选：B. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据求得，再等差数列的性质计算. 【详解】由题意，，解得，所以. 故选：B 4. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则第五天走的路程为（ ）里. A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的前n项和公式即可求出，再根据等比数列的通项公式即可求出结果. 【详解】设此人第天走里路，由题意可知数列是首项为，公比为的等比数列， 由等比数列前n项和公式得：，解得， ∴ 故选：B. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为对数的真数大于0，所以解三角不等式可得答案. 【详解】要使函数的定义域为：， 则，解不等式得：, 所以函数的定义域为. 故选：D 6. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】设扇形圆心角为，则，又，解得. 故选：B. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的形式可构造函数，利用导数可求得函数单调性，从而得到，知；利用导数可证得，采用放缩法可证得，由此可得结果. 【详解】，， 可设，，则， 在上单调递增，，， ，即； ， 设，，则， 在上单调递增，，即，， ，则； 综上所述：. 故选：A. 8. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答. 【详解】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类： 若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法， 最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种， 若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法， 涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种方法， 所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种. 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案. 【详解】由的图象可知： 当，时，；当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，故CD正确. 故选：ACD. 10. 下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数公式和导数运算律，复合函数求导分别判断各个选项即可. 【详解】对于A选项:,故A错误; 对于B选项: 根据导数运算律可得,故B正确; 对于C选项: ,故C错误; 对于D选项:根据复合函数导数运算 ,,故D正确. 故选 :AC. 11. 已知函数有两个不同极值点，则（ ） A. 有两个不同的解 B. 实数的取值范围是 C. 两个极值点同号 D. 极大值大于极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数与极值的关系逐项进行检验即可求解. 【详解】，函数有两个不同的极值点有两个不同的解1有两个不同的交点，故A正确； 如图所示，与切于点，故， 又， 综上可解得，故当或时有两个不同的交点，故B错误； 因为切点，将切线倾斜，与的两个交点即为极值点， 显然在处，与相交，即的一个极值点为0，故C错误； 设的另一个极值点为，当时，有， 当时，，当时； 当时，有，当时，， 当时，故的图象先增后减再增， 数形结合显然极大值大于极小值，故D正确， 故选：AD． 【点睛】求函数极值的步骤： （1） 确定函数的定义域； （2） 求导数； （3） 求方程的解； （4） 检查方程的解的左右两侧导数的符号，确定极值点. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由图中得到，再利用复数的运算规则即可求得表示的复数. 【详解】由图可得，， 则 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，且，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，求得的值，求得数列的通项公式，得到，进而求得的值. 【详解】由题意，等差数列的前项和为，且， 所以，解得， 可得3，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：． 14. 已知数列满足：，且数列是等比数列，数列是等差数列，试写出数列的一个通项公式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】因为数列是等差数列，取为非零常数列，所以令为非0常数且），即可求出是通项公式，再验证数列是等比数列即可. 【详解】解：因为数列是等差数列，取为非零常数列， 令为非0常数且）， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，此时是等比数列，符合题意， 事实上，取皆符合． 例如，则，此时，为等比，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线线垂直； （2）利用等体积公式，转化为，即可求解体积. 【小问1详解】 因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面平面，且平面平面， 因为，，且点是中点，所以平面， 又因为平面，所以； 【小问2详解】 三棱锥, 由条件可知是等腰直角三角形，， 所以，点到平面的距离， . 16. 网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了100名市民，统计了不同年龄的人群网购的人数如下表： 年龄段（岁） （0，20） ［20，40） ［40，60） ［60，100） 网购人数 26 32 34 8 男性人数 15 10 10 5 （1）若把年龄在［20，60）的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的2×2列联表，并判断能否有99％把握认为网购与性别有关？ 网购迷 非网购迷 总计 男性 女性 总计 （2）若从年龄小于40岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于20岁的概率. 附： 0.10 0.05 001 0.001 2.706 3841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）. 【解析】 【分析】(1)分析题意完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论; (2)利用等可能性的概率公式求概率.. 【详解】（1）由题中信息可完善2×2列联表如下表所示： 网购迷 非网购迷 总计 男性 20 20 40 女性 46 14 60 总计 66 34 100 计算得， 故有99％把握认为网购与性别有关； （2）年龄在（0，20）、［20，40）网购男性分别有15人、10人. 按分层抽样的方法随机抽取5人，年龄段（0，20）应抽取3人，分别记为1、2、3；年龄段［20，40）应抽取2人，分别记为a、b，从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共10个：（1，2）、（1，3）、（1，a）、（1，b）、（2，3）、（2，a）、（2，b）、（3，a）、（3，b）、（a，b）. 用A表示“两人年龄都小于20岁”这一事件，则事件A由3个基本事件组成：（1，2）、（1，3）、（2，3）. 故事件A的概率为. 【点睛】(1)独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论,一般较易; (2)等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件,直接套公式求概率. 17. 请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：． 利用上述的想法，结合等式（，正整数）． （1）求的值． （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在等式两边对求导，然后令，，可求得所求代数式的值； （2）由（1）可得出，在此等式两边对求导，然后令可证得结论成立. 【小问1详解】 解：在等式（，正整数）， 两边对求导得：①， 令，，可得. 【小问2详解】 证明：①式两边同时乘以x得②， ②式两边对求导得：， 令，得. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导得到，令，，解不等式即可得到单调区间； （2）把在上单调递增转化成在上大于等于零恒成立，再求出最值即可得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则. 当或时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 在上单调递增， 则在上恒成立. 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以恒成立. 令，， 当时，有最小值为， 故. 所以实数a的取值范围是. 19. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【答案】（1）； （2）小明更容易晋级复赛. 【解析】 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【小问1详解】 对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； 【小问2详解】 由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹤岗市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考 数学试题 出题人：高二 数学 组 总分：150 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（ ） A. 的极值点一定是最值点 B. 的最值点一定是极值点 C. 在区间上可能没有极值点 D. 在区间上可能没有最值点 2. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 4. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则第五天走的路程为（ ）里. A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 7 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同涂色方案数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 下列结论中不正确的是（ ） A B. C. D. 若，则 11. 已知函数有两个不同的极值点，则（ ） A. 有两个不同的解 B. 实数的取值范围是 C. 两个极值点同号 D. 极大值大于极小值 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为______． 13. 已知等差数列前项和为，且，则________________． 14. 已知数列满足：，且数列是等比数列，数列是等差数列，试写出数列的一个通项公式：__________． 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 16. 网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了100名市民，统计了不同年龄的人群网购的人数如下表： 年龄段（岁） （0，20） ［20，40） ［40，60） ［60，100） 网购人数 26 32 34 8 男性人数 15 10 10 5 （1）若把年龄在［20，60）的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的2×2列联表，并判断能否有99％把握认为网购与性别有关？ 网购迷 非网购迷 总计 男性 女性 总计 （2）若从年龄小于40岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于20岁的概率. 附： 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：． 利用上述的想法，结合等式（，正整数）． （1）求的值． （2）求证：． 18 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 19. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$