期末综合测试卷 同步练 2025-2026学年 苏科版九年级数学上册

期末综合测试卷 (时间：120分钟　满分：150分) 一、 选择题(每小题3分，共24分) 1. 用配方法解方程x2＋4x－1＝0，变形正确的是(　　) A. (x＋2)2＝5　　 B. (x＋4)2＝5　　 C. (x＋2)2＝1　　 D. (x＋4)2＝1 2. (2024连云港海州月考)一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是(　　) A. 3，2 B. 3，3 C. 4，2 D. 4，3 3. 若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为(　　) A. －9　　 B. －　　 C. 　　 D. 9 4. 如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于(　　) A. 140°　　 B. 120°　　 C. 110°　 D. 70° (第4题) (第6题) (第7题) (第8题) 5. (2024盐城大丰月考)某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为(　　) A. 2% B. 5% C. 10% D. 20% 6. 如图，O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是(　　) A. 　 B. 　　 C. 　　 D. 7. 如图，I为△ABC的内心，有一直线通过点I且分别与AB，AC相交于点D，E.若AD＝DE＝5，AE＝6，则点I到BC的距离为(　　) A. 　　 B. 　　 C. 2　　 D. 3 8. (2024南通海门月考)如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、 填空题(每小题3分，共24分) 9. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝________． 10. 学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩(百分制).小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是________分． 11. 用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的高是________． 12. 如图，边长为的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是________． (第12题) (第14题) (第16题) 13. (2024南通崇川月考)若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝________． 14. 如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD.若AB＝5，AC＝4，则BD＝________，CD＝________． 15. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4，max{－2，－4}＝－2.按照这个规定，若max{x，－x}＝，则x的值是________． 16. (2024盐城盐都月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为________． 三、 解答题(共102分) 17. (12分)用适当方法解下列方程： (1) 4(x－5)2＝16；　　　　 (2) 3x2＋2x－3＝0； (1) 3(x－1)2＝x(x－1)； (4) 3x2－6x－2＝0. 18. (8分)(2024常州)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． (1) 从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； (2) 甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 19. (10分)(2024淮安)张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时，其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： (1) 根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 18 2.4 5 路线二 15.6 11 18.04 (2) 请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由． 20. (10分)如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上的一点，且∠ADE＝40°. (1) 求的长； (2) 若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线． 21. (8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0. (1) 求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2) 若x1，x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值． 22. (10分)某宾馆共有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满. 每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间. 入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天． (1) 当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有________间； (2) 若该宾馆每天的收入要达到11 350元，每间房间定价为多少元/天？(宾馆每天的收入＝入住的房费－维护费) 23. (10分)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD. (1) 求证：PD是⊙O的切线； (2) 当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数． 备用图 24. （10分）（2024常州天宁期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）. (1) 如图1，若M是半圆的中点，且与点C在同一侧，画出∠ACB的平分线CN.并说明理由； (2) 如图2，若DE∥AB，画出∠ACB的平分线CP； (3) 在(2)的作图下，已知AC＝4，BC＝3，CP交直径AB于点F，则AF＝　　　　． 图1 图2 25. （12分）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNPQ上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ.已知BC＝24 m，AB＝40 m．设AM＝x m. (1) 当种花的面积为440 m2时，求x的值； (2) 种花的面积能否达到520 m2？请说明理由； (3) 设种花的面积为a m2，当x的值有且只有一个时，试求出a的取值范围． 26. （12分）（2024盐城盐都期中） 【发现结论】 一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后，也有了他自己的新发现：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，a)，B(－b，c)，以AB为直径作⊙M.若⊙M与x轴交于点P(s，0)，Q(t，0)，则s，t为关于x的方程x2＋bx＋ac＝0的两个实数根． 【探究思考】 (1) 由题意，得∠APB＝90°，AP2＝s2＋a2，BP2＝(－b－s)2＋c2，AB2＝b2＋(a－c)2. 在Rt△ABP中，由AP2＋BP2＝AB2，得s2＋a2＋(－b－s)2＋c2＝b2＋(a－c)2， 化简，得　　　　　　　　，同理可得　　　　　　　　． 所以s，t为方程x2＋bx＋ac＝0的两个实数根． 【灵活运用】 (2) 如图2，x1，x2为方程　　　　　　的两个实数根． (3) 在图3中所给网格图的x轴上画出以方程x2－3x－2＝0两根为横坐标的点P，Q. (4) 已知点A(0，－8)，B(8，－2)，以AB为直径作⊙C.根据小聪的发现判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由． 图1 图2 图3 期末综合测试卷 1. A　2. A　3. C　4. A　5. D　6. B　7. A　8. B 9. 9　10. 87　11. 4　12. 1－　13. －1 14. 　　15. －1或　16. 6－3 17. (1) x1＝7，x2＝3 (2) x1＝，x2＝ (3) x1＝1，x2＝ (4) x1＝1＋，x2＝1－ 18. 解：(1) (2) 列表如下： 甲 乙 石头 剪子 布 石头 (石头，剪子) (石头，布) 剪子 (剪子，石头) (剪子，布) 布 (布，石头) (布，剪子) 共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：(石头，剪子)，(剪子，布)，(布，石头)，共3种， 所以甲取胜的概率为＝. 19. 解：(1) 路线一：18，18； 路线二：15，11. (2) 路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二．(答案不唯一，合理即可) 20. (1) 解：如图，连接OE. 因为∠ADE＝40°， 所以∠AOE＝2∠ADE＝80°， 所以∠EOB＝180°－∠AOE＝100°. 因为AB＝4，所以⊙O半径长是2， 所以的长＝＝. (2) 证明：因为∠EAB＝∠EOB＝50°， 所以∠BAC＝∠EAD－∠EAB＝76°－50°＝26°. 因为∠C＝64°，所以∠C＋∠BAC＝90°， 所以∠ABC＝180°－(∠C＋∠BAC)＝90°， 所以AB⊥BC，又AB为⊙O的直径， 所以CB为⊙O的切线． 21. (1) 证明：因为Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0， 所以方程总有实数根． (2) 解：由题意知，x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. 因为＋＝＝－2＝－， 所以－2＝－， 整理，得5m2－7m＋2＝0，解得m＝1或m＝. 22. 解：(1) 34 (2) 设每间房间定价为x元/天． 根据题意，得x(40－)－20×(40－)－5×＝11 350， 整理，得x2－715x＋126 000＝0， 解得x1＝315，x2＝400. 当x＝315时，未入住房间为1.5间，不符合题意， 故每间房间定价为400元/天． 23. (1) 证明：如图1，连接OD. 因为PA切⊙O于点A， 所以PA⊥AB，即∠PAO＝90°. 因为BD∥OP， 所以∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP. 因为OD＝OB，所以∠BDO＝∠DBO， 所以∠DOP＝∠AOP. 在△AOP和△DOP中， 所以△AOP≌△DOP(SAS)，所以∠PDO＝∠PAO. 因为∠PAO＝90°，所以∠PDO＝90°，即OD⊥PD. 因为OD为⊙O的半径，所以PD是⊙O的切线． (2) 解：由(1)，得△AOP≌△DOP，则PA＝PD. 如图2，因为四边形POBD是平行四边形，所以PD＝OB. 因为OB＝OA，所以PA＝OA，所以∠APO＝∠AOP. 因为∠PAO＝90°，所以∠APO＝∠AOP＝45°. 图1 图2 24. 解：(1) 如图1，射线CN即为所求．理由如下： 因为＝，MN是直径， 所以＝， 所以∠ACN＝∠BCN， 即CN平分∠ACB. (2) 如图2，射线CP即为所求． (3) 　解析：如图2，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N.因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以AB＝＝＝5.因为CF平分∠ACB，FM⊥BC，FN⊥AC，所以FM＝FN.因为＝＝＝，所以AF＝AB＝. 图1 图2 25. 解：(1) 根据题意，得24×40－2×(40－x)(24－x)－2×x2＝440， 整理，得x2－32x＋220＝0，即(x－22)(x－10)＝0， 解得x1＝22，x2＝10， 则x的值为22或10. (2) 种花的面积不能达到520 m2，理由如下： 根据题意，得24×40－2×(40－x)(24－x)－2×x2＝520， 整理，得x2－32x＋260＝0. 因为b2－4ac＝322－4×260＝1 024－1 040＝－16＜0， 所以此方程无解，故种花面积不能达到520 m2. (3) 根据题意，得24×40－2×(40－x)(24－x)－2×x2＝a， 整理，得x2－32x＋＝0. ①当方程有两个相等根时，满足x的值有且只有一个， 所以Δ＝322－4×＝0， 即2a＝1 024，解得a＝512； ②当方程有两个不等根时，0＜x＜24，a为面积， 所以Δ＝322－4×＞0，解得0＜a＜512， 解得x1＝16＋，x2＝16－， 所以x1≥24， 所以≥8，解得0＜a≤384. 综上，a＝512或0＜a≤384. 26. 解：(1) s2＋bs＋ac＝0　t2＋bt＋ac＝0 (2) x2－5x＋3＝0 (3) 由题意，得－b＝3，ac＝－2， 取a＝1，则c＝－2， 即点A(0，1)，B(3，－2)， 以AB为对角线作正方形ATBS，正方形对角线的交点为圆心R， 以AR为半径作圆R，交x轴于点P，Q即为所求点． (4) ⊙C与x轴的位置关系为相切，理由如下： 由点A，B的坐标知，a＝－8，b＝－8，c＝－2， 则对应的方程为x2－8x＋16＝0， 解得x＝4， 即方程有两个相等的解， 故⊙C与x轴的位置关系为相切． 学科网（北京）股份有限公司 $$