精品解析：江苏省南京市联合体2024-2025学年上学期数学九年级第二次月考试卷

九年级数学调研 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 包含 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：A． 2. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得，， 即该圆锥母线的长为3cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 3. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式可算出的值，由多边形外角和的定义和性质即可求解． 【详解】解：一个正边形的内角和为， ∴，解得，， ∵正六边形的外角和为， ∴每个外角的度数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查多边形内角和、外角和的综合运用，掌握内角和公式，正多边形外角和为的计算方法是解题的关键． 4. 函数的大致图像是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项． 【详解】解：函数自变量的取值范围为． 对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意； 对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除． 5. 如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（ ） A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 内 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，求三角形的面积，当圆心在边上，与另外两边相切时，半圆最大，再依次分析面积的值，可得答案． 【详解】当圆心在三角形的边上，圆与另外两边相切时，半圆最大． 圆心在上时，连接，， ∴，且，． 设半径是， 则； 同理设半径为，， 则， ， ∴， ∴， ∴面积最大的半圆的圆心在边上． 故选：A． 6. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误； 将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是____万元． 年薪/万元 50 30 20 10 8 6 5 员工数/人 1 1 2 3 11 9 3 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查中位数．根据表格中的数据，可以先计算出总的员工数，再根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：员工人数为：（人， 则中位数为：（万元）， 故答案为：8． 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，将方程整理后，根据，构建不等式求解． 【详解】解：， 整理得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 甲、乙两名同学进行了5轮投篮比赛，得分情况如表（单位：分）： 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 10 10 10 12 乙 14 10 12 12 12 设甲、乙同学得分的方差分别是，，则__．（填“”“ ”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据方差的定义列式计算即可得出答案． 【详解】解：甲的平均数为， 方差， 乙的平均数为， 方差， ∴， 故答案为：=． 11. 如图，正八边形的半径为4，则它的面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，作，求出的面积，乘以8即可得出正八边形的面积． 【详解】解：连接，作， ∵正八边形的半径为4， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为：； 故答案为：． 12. 若实数m满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 13. 如图，在正六边形中，经过点的与边分别相切于点G，H，与边交于点M，连接交于点N，则的度数为__． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键． 连接、、，根据切线的性质求出，再求出，再在圆内接四边形中，求出，再根据内角和定理解答即可． 【详解】解：连接、、，如图， ∵与边分别相切于点， ∴， ∴， ∵正六边形的内角和为，每个内角为， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， ∴， 在圆内接四边形中， ， ， ， 故答案为：60． 14. 如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 15. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，，设，则利用换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：，， ∴关于y的方程的两根为，， ∴； 故答案为：． 16. 如图，是的直径，弦与交于点，若，，则的半径为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等，把式子进行变形是解题的关键．过点作， 连接，根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径． 【详解】解：设的半径为R，过点作， 连接， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴的半径为2． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用十字相乘法进行因式分解，求解即可； （2）将看作一个整体，利用十字相乘法进行因式分解，求解即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴； 【小问2详解】 或， ∴． 18. 如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形，若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽． 【答案】矩形的长与宽分别是， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设一边增加的长度为，则另一边增加的长度为，依题意得．计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】解：设一边增加的长度为，则另一边增加的长度为， 依题意得． 解得，（不合题意，舍去）． ∴，． 答：矩形的长与宽分别是，． 19. 人口老龄化是全球性人口发展大趋势，也是我国发展面临的重大挑战．阅读以下统计图并回答问题． （1）2020年，全国老年人口约为 亿（精确到0.1）； （2）1990～2020年间，全国人口增长最快的时间段是 （填序号）； ①1990～2000； ②2000～2010； ③2010～2020． （3）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口老龄化相关的结论． 【答案】（1） （2）① （3）1990至2020年我国老年人口数量不断增长（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和折线统计图，解题的关键是根据统计图正确获取信息． （1）根据条折线统计图和条形统计图数据解答即可； （2）根据条形统计图数据判断即可； （3）根据折线统计图信息解答即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，2020年，全国老年人口约为：（亿． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，年间，全国人口增长最快的时间段是，增速为． 故答案为：①； 【小问3详解】 解：由统计图可知， ①我国人口老龄化逐年增长； ②2000全国老年人口达到：（亿）． 20. 某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆， （1）甲从A 通道进入博物馆的概率是 ； （2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为 【解析】 【分析】本题考查的是利用概率的定义求解概率，列表法或树状图法求解概率，熟练掌握概率的定义，以及列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键． （1）直接利用概率公式求解可得答案； （2）先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：进入博物馆总共有三个通道，即三种可能的结果，并且他们发生的可能性相等， 而甲从A 通道进入博物馆是三种可能结果中的一种结果，其概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意列表如下： 甲 乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种， 则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 ， 答：甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为． 21. 已知，试说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值、不等式的性质以及非负数的性质，先作差，然后根据完全平方公式化简，根据不等式的性质可得到结果，掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】解：， 又，， ， ， ． 22. 已知周长为（为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示． （1）的值为 ； （2）当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，该矩形的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出与之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据矩形的周长公式得出，再把代入求出的值即可； （2）根据（1）中的值，用表示出的值，利用矩形的面积公式得出与的函数关系式，求出的最大与最小值即可． 【小问1详解】 解：周长为(为定值)的矩形的一边长与它的邻边长， ， 当时，， ． 故答案为：44； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， ， 当时，． 答：当时，该矩形的面积最大，最大面积是． 23. 已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】 方法①：如图，作直径，，且；作半径平分；过A，B分别作，的垂线，两条垂线的交点即为点P． 方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的性质， 方法①：作直径，，且；作半径平分；此时，过A，B分别作，的垂线，即，两条垂线的交点即为点P． 方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，此时，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，可知，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，即，点P即为所求． 【详解】略 24. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 【答案】（1） 证明：令，则， ∴， ∴该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，则，根据，作答即可； （2）令，则，即，由，可得，由的面积与的面积相等，可得，即或，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则，即， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，即或， 解得或， ∴或． 25. 如图，在菱形中，点E 在上，连接交于点F，经过A、B、E，点F 恰好在上 ． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，则的长为______． 【答案】（1） 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接并延长交于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行得，由菱形性质得，即可证明； （2）连接并延长交于H，连接，证明，得，根据圆的内接四边形性质得，证明出，再证，证明出，根据三线合一性质得，由平行即可证明出，即可解答； （3）由求出，求出，再由，求出后即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题目主要考查等腰三角形的判定与性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识点，熟练应用圆的相关定理及三角形全等、三角形相似等知识点的应用是本题的解题关键． 26. 阅读下面的问题及其解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题． （1）填写下面的空格． 问题：将函数的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ （2）将函数的图象沿轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 　　． （3）将函数 ，，是常数，的图象先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 【答案】（1），y， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据材料可得将向右平移个单位后，坐标为，再将坐标代入原函数解析式． （2）设函数的图象的任意点坐标为，求出点沿轴翻折后坐标，进而求解． （3）设变换后新的函数图像上任意点的坐标为然后将点绕原点旋转，再沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得出点变换后的坐标代入原解析式求解． 【小问1详解】 解：将向右平移个单位后，坐标为， 平移后的图象对应的函数表达式为， 故答案为：，y，． 【小问2详解】 设函数的图象的任意点坐标为，将关于轴翻折后得到， ∴翻折后的图象对应的函数表达式为． 故答案为：． 【小问3详解】 方法一 设变换后新的函数图像上任意点的坐标为． 将点绕原点旋转，得点． 将点沿轴翻折，得点． 将点向右平移个单位长度，得点． 因为点在函数的图像上， 所以． 即所得到的图像对应的函数表达式是． 方法二 原函数可化为． 将函数的图像向左平移1个单位长度，得函数的图像． 将函数的图像沿y轴翻折，得函数的图像． 将函数的图像绕原点旋转180°，得函数的图像． ∴所得到的图像对应的函数表达式是． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题关键是掌握二次函数图象的几何变换，掌握二次函数与方程的关系． 27. 已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，B、C位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】（1）①；②； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形； （2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可； （3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等． 【小问1详解】 解：①，， ， ． ②连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形中，， ． 【小问2详解】 证明：延长交圆于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． 【小问3详解】 证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 必有一个点的位置始终不变，点即为所求． 【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学调研 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 包含 2. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ ）． A. B. C. D. 3. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图像是( ) A. B. C. D. 5. 如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（ ） A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 内 6. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是____万元． 年薪/万元 50 30 20 10 8 6 5 员工数/人 1 1 2 3 11 9 3 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 __． 10. 甲、乙两名同学进行了5轮投篮比赛，得分情况如表（单位：分）： 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 10 10 10 12 乙 14 10 12 12 12 设甲、乙同学得分的方差分别是，，则__．（填“”“ ”或“” 11. 如图，正八边形的半径为4，则它的面积是____． 12. 若实数m满足，则________． 13. 如图，在正六边形中，经过点的与边分别相切于点G，H，与边交于点M，连接交于点N，则的度数为__． 14. 如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为______． 15. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是________． 16. 如图，是的直径，弦与交于点，若，，则的半径为________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形，若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽． 19. 人口老龄化是全球性人口发展大趋势，也是我国发展面临的重大挑战．阅读以下统计图并回答问题． （1）2020年，全国老年人口约为 亿（精确到0.1）； （2）1990～2020年间，全国人口增长最快的时间段是 （填序号）； ①1990～2000； ②2000～2010； ③2010～2020． （3）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口老龄化相关的结论． 20. 某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆， （1）甲从A 通道进入博物馆的概率是 ； （2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率． 21. 已知，试说明． 22. 已知周长为（为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示． （1）的值为 ； （2）当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 23. 已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 24. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 25. 如图，在菱形中，点E 在上，连接交于点F，经过A、B、E，点F 恰好在上 ． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，则的长为______． 26. 阅读下面的问题及其解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题． （1）填写下面的空格． 问题：将函数的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ （2）将函数的图象沿轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 　　． （3）将函数 ，，是常数，的图象先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 27. 已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，B、C位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $