第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高频考点一遍过 1 高频考点一：求三角形面积（定值问题） 1 高频考点二：根据三角形面积求其它元素 5 高频考点三：求三角形面积最值 8 高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围） 11 高频考点五：求三角形面积取值范围（锐/钝角三角形面积取值范围） 14 第一部分：基础知识 1、三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 2、三角形面积最值： 核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围： 核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：求三角形面积（定值问题） 典型例题 例题1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. (1)求A及的周长； (2)求的面积． 例题2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 例题3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，AC边上的高等于. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积. 精练高频考点 1．在中，角的对边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：边上的中线长为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2．在中，角，的对边分别为，且满足． (1)求； (2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，求的面积． 条件①；条件②；条件③． 注：如果选择多个组合分别解答，按第一组解答计分． 3．已知的内角的对边分别为，且，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：，为锐角； 条件②： 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 高频考点二：根据三角形面积求其它元素 典型例题 例题1．在中，内角所对的边分别为，已知，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长 例题2．设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)若点在线段上，，，的面积为，求的长度. 例题3．在中，角、、所对的边分别为、、，且． (1)求角； (2)若，三角形的面积为．求． 精练高频考点 1．在中，已知，，． (1)求及的正弦值； (2)沿射线方向延长至点，使得的面积为，求． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 3．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边的中点，的面积为，求CD. 高频考点三：求三角形面积最值 典型例题 例题1．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，___________．在①，，且；②，且中任选一个条件填在上面横线中，并解答下列问题． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值． 注：若选择两个条件分别作答，则按第一个解答计分． 例题2．在中，角的对边分别为.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若是的中点，，求面积的最大值. 例题3．在中，已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 精练高频考点 1．已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 2．已知的内角的对边分别为，且的周长为. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值. 高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围） 典型例题 例题1．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 例题2．已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 例题3．中角所对的边分别为，其面积为，且. (1)求； (2)已知，求的取值范围. 精练高频考点 1．已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围． 2．已知在，角所对的边分别是，且． (1)求的大小； (2)若，求面积的取值范围． 3．在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，求角的值； (2)若外接圆的周长为，求面积的取值范围． 高频考点五：求三角形面积取值范围（锐/钝角三角形面积取值范围） 典型例题 例题1．在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 例题2．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 例题3．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 例题4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 精练高频考点 1．已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 2．已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值； (3)若，求面积的取值范围. 3．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 4．已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 5．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 6．在中，角的对边分别为，若． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． (3)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高频考点一遍过 1 高频考点一：求三角形面积（定值问题） 1 高频考点二：根据三角形面积求其它元素 8 高频考点三：求三角形面积最值 13 高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围） 18 高频考点五：求三角形面积取值范围（锐/钝角三角形面积取值范围） 24 第一部分：基础知识 1、三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 2、三角形面积最值： 核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围： 核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：求三角形面积（定值问题） 典型例题 例题1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. (1)求A及的周长； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理得，再根据正弦定理求得的值即可； （2）根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因，则，      由余弦定理得，，         因，则. 又因为，由正弦定理 得，又 ，∴.           所以的周长为. （2）由得，， 由（1），所以，得， 故. 例题2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简题中所给条件，得，再根据，得； （2）由正弦定理得，因此求出，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，，由正弦定理及得， ．所以，， 在中，，所以． （2）由正弦定理得，，所以．所以， ． 例题3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，AC边上的高等于. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的面积公式得出；再利用正弦定理将边化为角得出；最后根据两角和的余弦公式及诱导公式可求解. （2）结合（1）中及余弦定理可得；再根据三角形面积公式可求解. 【详解】（1） 因为AC边上的高等于 所以，即 由正弦定理得， 又因为， 所以． 又因为， ， 所以， 故 （2）由（1）知. 因为， 所以. 因为， 所以由余弦定理可得：， 即， 则，即，解得， 所以△ABC的面积. 精练高频考点 1．在中，角的对边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：边上的中线长为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换得即可求解； （2）选条件①，说明即可说明①不符合题意；选条件②，由余弦定理依次算得即可说明存在且唯一，结合三角形面积公式计算的面积即可；选条件③，，结合以及余弦定理得，解得，故③符合题意. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以； （2）若选条件①：，则， 此时，但这与三角形内角和矛盾，此时不存在； 若选条件②：边上的中线长为， 设，由题意，，， 由余弦定理有，即， 解得或舍去， 由余弦定理得，， 此时存在且唯一，且的面积； 若选条件③：，， 即， 因为，所以由余弦定理有，即， 即， 因为，所以， 即，解得, 则，此时三角形是唯一存在的， 所以的面积为. 2．在中，角，的对边分别为，且满足． (1)求； (2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，求的面积． 条件①；条件②；条件③． 注：如果选择多个组合分别解答，按第一组解答计分． 【答案】(1)． (2)答案见解析 【分析】（1）由题意结合辅助角公式可得，再结合，从而可求解； （2）当选择①③：利用余弦定理可求得，，从而可求得面积；当选择②③：利用正弦定理可求得，从而可求得面积；当选择①②：得到，再由，可得，从而不满足题意. 【详解】（1）因为，则得，则可得， 因为，则， 所以，解得． （2）选择条件①③： 由（1）可知， 在中，由余弦定理可得， 因为，得， 解得，所以，所以． 选择条件②③： 在中，因为，所以， 又因为，所以． 因为，在中，由正弦定理可得， 则，所以． 选择条件①②不满足题意，原因如下： 在中，因为，所以， 由（1）可得，则，所以， 故，与矛盾，此时不存在符合题意的． 3．已知的内角的对边分别为，且，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：，为锐角； 条件②： 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2)选①，；选②， 【分析】（1）由，可得为锐角，利用二倍角公式求解即可； （2）选①，由正弦定理可得，从而得，即可求得，代入求解即可；选②，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，代入求解即可. 【详解】（1）因为，所以为锐角， 由，可得， 故； （2）选①，，为锐角，，， 由正弦定理，可得，即， 所以， 所以， 所以； 选②，，，，， 由正弦定理，可得，即， 由余弦定理，可得，即， 解得(负根舍去)， 所以. 高频考点二：根据三角形面积求其它元素 典型例题 例题1．在中，内角所对的边分别为，已知，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，结合正弦定理及和角的正弦求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形周长. 【详解】（1）由，，且，得， 在中，由正弦定理得， 整理得，而，则，又， 所以. （2）由的面积为，得，即， 由余弦定理得，解得， 所以的周长. 例题2．设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)若点在线段上，，，的面积为，求的长度. 【答案】(1)3 (2)1或2 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）根据题设，结和三角形的面积公式及余弦定理易得，设，再利用列方程即可求解. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得：． 所以 则． 因为，所以. （2）由题意，，则， 由余弦定理得，则，解得， 则，设，， 由， 则， 则，解得或2，即或2. 例题3．在中，角、、所对的边分别为、、，且． (1)求角； (2)若，三角形的面积为．求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角形的面积公式可求出的值，再利用余弦定理可求出的值，即可求出的值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得： ， 所以． 由，得，所以． 因为，故． （2）由已知及（1）的结论得，， 则，即．    由余弦定理可得， 即，即， 所以， 故. 精练高频考点 1．在中，已知，，． (1)求及的正弦值； (2)沿射线方向延长至点，使得的面积为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据两角和正弦公式得出，再应用正弦定理求出边长； （2）先应用面积公式求出，再应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）在中，，， 所以， ， 所以． 由正弦定理可得， 所以． （2）由题意可知，，， 所以，得， 由余弦定理可得， 所以（负值舍去）． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解； （2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以. （2）因为，，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 3．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边的中点，的面积为，求CD. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，在结合余弦定理即可得解； （2）利用三角形的面积和余弦定理可得到和，再结合向量即可求解. 【详解】（1），利用正弦定理得， 化简得，， ，； （2） 的面积为，，， 在中，，由余弦定理得， 即，， 为边的中点，， ， . 高频考点三：求三角形面积最值 典型例题 例题1．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，___________．在①，，且；②，且中任选一个条件填在上面横线中，并解答下列问题． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值． 注：若选择两个条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)选择见解析， (2) 【分析】（1）选①，根据平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式、余弦定理结合题设化简求解即可； 选②，根据题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可； （2）根据余弦定理、基本不等式可得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）若选①，因为向量， 所以， 即， 即， 即， 即， 可得，即． 由余弦定理得， 又，所以． 若选②，由，得，即， 又，即，根据正弦定理得， 所以，即， 所以，因为，所以， 因为，所以． （2）由（1）知，由余弦定理得， 即，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以， 故的面积的最大值为． 例题2．在中，角的对边分别为.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若是的中点，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用向量平行的坐标表示可得，再根据正弦定理边化角化简求解即可； （2）由是的中点可得，再利用向量数量积的运算律可得，结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理得， 因为在中，，所以，， 所以， 又，所以； （2）因为是的中点，所以， ， 因为，所以，化简得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为. 例题3．在中，已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用辅助角公式将化成，结合角的取值范围，可求角. （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求的最大值，再利用三角形的面积公式，可求三角形面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以 又因为. 所以，故. （2）由余弦定理，，所以． 又因为，所以，即. 当且仅当时取等号． 所以面积. 所以面积的最大值为. 精练高频考点 1．已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 2．已知的内角的对边分别为，且的周长为. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形周长公式和正弦定理表示已知条件，对等式进行变形，根据余弦定理得到，即可求； （2）根据外接圆面积求外接圆半径，利用正弦定理求的值，结合余弦定理和基本不等式求得最大值，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）的周长为， 根据正弦定理，， 依题意，，即，， ，，， 根据余弦定理，，且， 故. （2）设外接圆的半径为，依题意，解得， 根据正弦定理，，即， 根据余弦定理，， 即，， 根据基本不等式，，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 因此，面积，当且仅当时取等， 综上，当时，面积取最大值. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角变换公式和三角形内角和公式，可求，进而确定角的值. （2）根据余弦定理探索边满足的条件，再结合基本不等式和三角形的面积公式求面积的最小值. 【详解】（1），由正弦定理可得 所以 所以 ， 因为，所以 所以，      . （2）如图： 由 得 由 得 （当时等号成立） 故的面积的最小值为. 高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围） 典型例题 例题1．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果； （2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． （2）如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 例题2．已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，结合三角形内角和的性质，即可求解； （2）由（1）得到，作为边上的高，设，根据题意，求得，得到的面积为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以. （2）由（1）知，即， 如图所示，为边上的高，不妨设为锐角， 设， 当为锐角时，则，故， 当为钝角时，则，故， 因为，所以，整理得， 所以的面积为， 因为，可得， 当时，取得最大值，最大值为，且， 所以的面积的取值范围为. 例题3．中角所对的边分别为，其面积为，且. (1)求； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解， （2）根据余弦定理结合不等式即可求解. 【详解】（1）因为三角形的面积为， 则， 所以，又，则； （2）由于，所以， 即，取等号， 故， 故 精练高频考点 1．已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理求角； （2）由三角形的面积结合角平分线的性质可得，再利用基本不等式可得最值. 【详解】（1）由已知， 得， 在中，由正弦定理得， 即， 再由余弦定理得， 又，所以； （2）由是角的平分线， 则， 所以， 又， 所以，即， 所以，解得，即， 当且仅当时等号成立， 所以， 即面积的取值范围是. 2．已知在，角所对的边分别是，且． (1)求的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角得到，知值由范围求角即可； （2）由（1），已知，由一组对边角已知可得，借助这一常数利用正弦定理化边为角，再由三角恒等变换化简面积表达式求解最值. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 整理可得，又，所以． （2）因为，所以由正弦定理得， 所以， 又，所以， 所以 又因为，可得， 所以（当且仅当时，等号成立）， 可得， 由，, 即面积的取值范围是． 3．在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，求角的值； (2)若外接圆的周长为，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据余弦定理和正弦定理可得，结合三角恒等变化即可求解； （2）利用圆的周长公式可得外接圆的半径为，再根据余弦定理和均值不等式求得的范围，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得，解得， 所以由正弦定理可得， 由，得，即， 又因为，，且， 所以，解得． 由知，不是最大边，故． （2）因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 由正弦定理可得，所以， 所以的面积． 因为，所以， 所以． 高频考点五：求三角形面积取值范围（锐/钝角三角形面积取值范围） 典型例题 例题1．在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【详解】（1）因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； （2）由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 例题2．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到； （2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围； 方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时，面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以； （2）方法一：因为是锐角三角形，又， 所以，解得， ， 因为，∴，则， 从而. 方法二： 若为锐角三角形， 所以， 因为，，所以， 所以， 又因为， 所以. 例题3．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【详解】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 且 故面积的取值范围为. 例题4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角公式化简得到，从而求出，由余弦定理得到； （2）由正弦定理，结合为钝角三角形，得到，从而由三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为，所以，即． 因为，，所以，，． ，解得； （2）的面积． 由正弦定理得 ， 因为为钝角三角形，所以或， 即或，故， 所以， 所以． 故面积的取值范围是． 精练高频考点 1．已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理，结合题意可得答案； （2）由正弦定理，可得，则，然后由可得答案. 【详解】（1）由余弦定理，， 结合题意得，即. （2）由题意，为锐角三角形，,则，. 由正弦定理得，即， .. 2．已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值； (3)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式化简整理得，结合三角形内角性质求角的大小； （2）由余弦定理、基本不等式可得，再由及数量积的运算律求模长，即可得； （3）由正弦定理及三角形面积公式、三角恒等变换可得，结合求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知， 所以， 由，则，且，可得； （2）由（1）及余弦定理有， 所以，当且仅当时取等号， D为BC边的中点，则， 所以， 综上，AD长的最大值； （3）由，， 由（1）易知，则， 由为锐角三角形，则，则， 所以. 3．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解； （2）由正弦定理可得，根据面积公式结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以，所以，因为为锐角三角形，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 4．已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边化角及辅助角公式即可求解； （2）利用正弦定理、和差公式、辅助角公式计算可得，根据题意求出角的范围，利用正切函数的性质求出的范围，再根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1），即， 因为， 所以， 所以，即， 因为为三角形的内角， 所以，所以. （2）已知，， 所以 ， 因为，即， 解得， 所以， 所以，所以， . 5．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出，得解； （2）根据三角形面积公式，正弦定理可得，结合，进而求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则，又， 所以，则， 又，所以， 因为，解得． （2）因为是锐角三角形，又， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 从而， 故面积的取值范围是. 6．在中，角的对边分别为，若． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． (3)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得角； （2）根据余弦定理以及已知条件有，，据此可证明，即可得到结论； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，结合锐角三角形条件即可求得取值范围. 【详解】（1）由可知，从而由正弦定理得. 故，这就得到，故. 此即，故，得或，这里. 结合，就知道. （2）因为，由余弦定理可得. 又因为，故. 这就得到 . 所以，即，从而必有是直角三角形． （3）由正弦定理可得，故. 而因为为锐角三角形，故，解得的范围是. 从而的范围是，故的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$