第01讲 平面向量的概念及其线性运算 ( 精练+相遇模拟）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第01讲 平面向量的概念及其线性运算 A夯实基础 B相遇高考模拟 C素养提升 A夯实基础 1．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，正确的是（     ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，则 C．“”是，共线”的充要条件 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 3．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 7．（多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）对于任意向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，满足，且，反向，则 B． C． D． 8．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．的充要条件是且 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D． 9．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知是两个单位向量，且，则的取值范围是 . 10．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 11．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．    (1)化简：； (2)求证：为定值； 12．（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. B相遇高考模拟 1．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 2．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则 . 3．（2024·天津河西·二模）在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为 ； . 4．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为 ． C素养提升 1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 ． 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 . 4．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念及其线性运算 A夯实基础 B相遇高考模拟 C素养提升 A夯实基础 1．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共线向量的模的特点得到答案. 【详解】使得成立的充分条件是和反向且， 对于A，和是同向，所以A错误， 对于B，和可能同向，可能反向，所以B错误， 对于C，由，得，则和反向且，所以C正确， 对于D，由可得和的方向不能确定，所以D错误. 故选：C． 2．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，正确的是（     ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，则 C．“”是，共线”的充要条件 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【分析】根据向量共线的定义可判定A；由向量数量积的性质及运算可判定B；由向量共线的性质可判定C；由向量相等的定义可判定D. 【详解】对于A，当或时，有， 但与方向相同或相反不一定成立，故A错误； 对于B，若，则， 则，即，故B正确； 对于C，由，可得，共线， 若，，则，但不存在实数，使得， 故“”是，共线”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，两个单位向量互相平行，它们的方向可能相同也可能相反， 则这两个单位向量不一定相等，故D错误． 故选：B. 3．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】在正方形中，，即， 则. 故选：A.    4．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 5．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 6．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【详解】法一：， 即； 法二 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 7．（多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）对于任意向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，满足，且，反向，则 B． C． D． 【答案】BD 【分析】向量之间无法比较大小，可判断A；利用数量积的概念与性质可判断B，举反例可判断C；根据向量减法的几何意义可判断D. 【详解】对于A选项，向量之间无法比较大小，A错误， 对于B选项，，B正确， 对于C选项，当，时，，， 则，，此时，C错误， 对于D选项，取平面内三点A，B，C，令，，则， 而由可得，D正确， 故选：BD． 8．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．的充要条件是且 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D． 【答案】ABC 【分析】通过举反例可判断A，B，C项；根据向量的加减法的几何意义易得D项正确. 【详解】对于A，当且都不为零向量时，满足且，但，故A错误； 对于B，当时，满足，但得不到与的关系，故B错误； 对于C，当且时，满足，但不满足，故C错误； 对于D，由向量加减法的几何意义，结合图形可知， 当且仅当与共线同向时，与成立， 当且仅当与共线反向时，与成立，故D正确. 故选：ABC. 9．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知是两个单位向量，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，再根据向量相关性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为是两个单位向量，且， 所以，则， 又，当且仅当方向相反时，等号成立， ，当且仅当方向相同时，等号成立， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 【答案】 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 11．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．    (1)化简：； (2)求证：为定值； 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）利用向量的运算法则求解； （2）由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 又是的中点，所以， 所以. （2）由题，可得，， ， 因为三点共线，所以， 所以. 12．（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)9. 【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【详解】（1）由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. B相遇高考模拟 1．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】设，，则， 若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得， 所以； 设，，则， 又B，M，D三点共线，则，得， 因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理，得， 解得，或（舍去）．故． 故答案为：、 2．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则 . 【答案】1 【分析】结合图形，由平面向量线性运算和平面向量的基本定理求解即可. 【详解】如图， ，所以，所以. 故答案为：1. 3．（2024·天津河西·二模）在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为 ； . 【答案】 【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定及与，的夹角，代入数量积的计算公式即可求出第二个空. 【详解】 由题意得，,, 由分别为线段、的中点，知，， 因此， ； 延长、交一点,由,，，,且. , 又，,,，则 . 故答案为：； 4．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取和，转化为，得到三点共线，得到的最小值，即为中边上的高，在中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求解. 【详解】在中，因为， 如图所示，取的中点，可得， 再延长到点，使得，可得 ， 因为， 因为，所以三点共线， 所以的最小值，即为中边上的高， 在中，由余弦定理得 ，所以， 又由， 可得，即，解得， 所以的最小值为. 故答案为：. C素养提升 1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则 ． 【答案】或7 【分析】先由题意得平面向量两两的夹角为或，再由向量模长公式结合数量积定义直接计算即可得解. 【详解】由题可设平面向量两两的夹角为， 则或， 则由题 或． 故答案为：7或 2．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】先判断的形状，确定其内切圆半径，明确相关线段的长度，用为基底，表示即可. 【详解】如图：因为，所以为直角三角形. 设内切圆半径为． 则. 设内切圆与边，的切点分别为. 则. 又， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解 【详解】在中，，且，则， 可得 ， 又，，所以，， 可得. 因为D，E，F三点共线，且点A在线外，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为三点共线，则，且， 且，，即，， 可得， 又因为，则， 可得，则，可得， 显然，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$