第02讲 平面向量基本定理及坐标表示( 精练+相遇真题）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【详解】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案. 【详解】如图，由题，， ， 所以. 故选：A.    3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，若为线段的中点，并且，则的最大值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由向量模的计算可得的关系，利用三角函数性质可得最大值. 【详解】因为向量满足，， 设， 因为，则，从而. 因为为线段的中点，所以 由得， 设，，， 则， 当时，取最大值． 故选：A． 4．（24-25高二下·广东广州·期末）已知向量，向量，若向量，则实数m=（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】C 【分析】计算出，根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】，又， 故，解得. 故选：C 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，且，则（    ） A．或 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为向量，且， 所以，即，解得或． 故选：A． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）若向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解可得. 【详解】由，得，解得. 故选：A. 7．（多选）（24-25高一下·山东淄博·期末）已知向量，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．若，则的值为 C．若与的夹角为锐角，则 D．若，则与的夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】由向量的坐标运算可逐项判断. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与的夹角为锐角，所以， 又时，与的夹角为0， 所以与的夹角为锐角，，故C错误； 对于D，，，，故D正确； 故选：ABD. 8．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A，由向量平行坐标表示可得答案；对于B，由向量垂直坐标表示可得答案；对于C，由向量模坐标计算公式可得答案；对于D，由向量数量积坐标表示可得答案. 【详解】对于A，因，则，故A错误； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 9．（2025·江西·模拟预测）已知向量满足，则 . 【答案】 【分析】先根据数量积的坐标运算求得，再根据向量的线性坐标运算求解即可. 【详解】因为，解得， 则，所以. 故答案为： 10．（24-25高一下·山东威海·期末）已知向量，，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量坐标的线性运算先求，利用共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以， 故答案为：2. 11．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 12．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）平面内给定三个向量. (1)求与的夹角的余弦值； (2)求满足的实数m，n. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量的坐标公式求出的值. 【详解】（1）因为， 所以，所以. （2）因为，且， 所以， ，解得. B相遇高考 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． C素养提升 1．（2025高三·全国·专题练习）已知是上三点，射线与的延长线（不包括点）交于点，若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量三点共线的推论与向量共线的性质即可得解. 【详解】因为三点共线，不妨设，其中，，    又三点共线，且反方向，不妨设， 所以， 又，则， 所以， 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）若是直线上不同的三点，点在直线外，且使得关于实数的方程有解，则此方程的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据向量的线性运算转化为，再根据平面向量基本定理的推论，即可列式求解. 【详解】由于题设条件为“是直线上不同的三点”，点在直线外， 则， 从而，即． 因为三点共线，所以， 得（舍去），. 故选：D． 3．（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】解法1应用相似得出比例关系结合平面向量基本定理求出即可求解；解法2应用向量的数乘运算结合三点共线即可计算求解. 【详解】解法1：根据题意可知，所以， 故 ，所以， 所以． 解法2：因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，所以． 故选：A． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【详解】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹是 ． 【答案】直线 【分析】方法1：利用向量的方法证明三点共线即可. 方法2：设，求点的轨迹方程，与直线比较可得结论. 【详解】方法1：因为，， 所以. 所以三点共线. 所以点的轨迹是直线. 方法2：设，因为， 所以. 因为，所以，化简得：. 又直线的方程为：，化简得：. 所以点的轨迹是直线. 故答案为：直线 6．（24-25高一下·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则 . 【答案】/ 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，若为线段的中点，并且，则的最大值为（    ）． A． B． C． D．1 4．（24-25高二下·广东广州·期末）已知向量，向量，若向量，则实数m=（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，且，则（    ） A．或 B．3 C． D． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）若向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·山东淄博·期末）已知向量，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．若，则的值为 C．若与的夹角为锐角，则 D．若，则与的夹角的余弦值为 8．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（2025·江西·模拟预测）已知向量满足，则 . 10．（24-25高一下·山东威海·期末）已知向量，，若，则 ． 11．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 12．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）平面内给定三个向量. (1)求与的夹角的余弦值； (2)求满足的实数m，n. B相遇高考 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． C素养提升 1．（2025高三·全国·专题练习）已知是上三点，射线与的延长线（不包括点）交于点，若，则（    ）. A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若是直线上不同的三点，点在直线外，且使得关于实数的方程有解，则此方程的解是（    ）． A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹是 ． 6．（24-25高一下·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$