第05讲 正弦定理和余弦定理的应用（知识+真题+5类高频考点)( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 2 高频考点一：测量距离问题 2 高频考点二：测量高度问题 4 高频考点三：测量角度问题 6 高频考点四：求平面几何问题 8 高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题 10 第一部分：基础知识 1、基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2、仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 3、方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是. 4、方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 5、坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：测量距离问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·辽宁丹东·阶段练习）甲、乙骑自行车同时从地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去往地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，且地与地相距10km，则地与地相距 km．（参考数据：取） 例题3．（2025高三·全国·专题练习）在一个很大的湖边（可视湖岸为直线）停着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成角，速度为，同时岸上一人从同一地点开始追小船，已知他在岸上跑的速度为，在水中游的速度为，问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被追上的最大速度是多少？ 精练高频考点 1．（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 2．（24-25高一下·四川内江·期中）在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为 h．（参考数据：，，） 3．（24-25高一下·甘肃白银·期中）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为 ．    高频考点二：测量高度问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（   ） A．m B．15m C．m D．30m 例题2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 例题3．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 精练高频考点 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 2．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（   ） A． B． C． D． 高频考点三：测量角度问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 例题2．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 例题3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）      精练高频考点 1．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    3．（23-24高三上·四川广安·阶段练习）如图所示，在地面上有一旗杆OP，测得它的高度10m，在地面上取一基线，在A处测得P点的仰角，在B处测得P点的仰角，则 ．    高频考点四：求平面几何问题 典型例题 例题1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 精练高频考点 1．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 3．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. (1)求函数在上的值域； (2)在中，角的对边分别为，若，且，求. 例题2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)在中，角所对的边分别为，已知且，若是的中点，求的最大值. 精练高频考点 1．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象. (1)求函数的解析式； (2)设锐角的内角所对的边分别为，若，且，求面积的最大值. 2．（2025·全国·二模）设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数． (1)求解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数在上的图象； (2)在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域． 3．（2024·山西吕梁·二模）已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：测量距离问题 3 高频考点二：测量高度问题 8 高频考点三：测量角度问题 12 高频考点四：求平面几何问题 16 高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题 21 第一部分：基础知识 1、基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2、仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 3、方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是. 4、方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 5、坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：测量距离问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 例题2．（24-25高一下·辽宁丹东·阶段练习）甲、乙骑自行车同时从地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去往地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，且地与地相距10km，则地与地相距 km．（参考数据：取） 【答案】 【分析】画出示意图，由余弦定理即可求解. 【详解】 由题意可设，， 由余弦定理可得：， 解得，所以. 故答案为：. 例题3．（2025高三·全国·专题练习）在一个很大的湖边（可视湖岸为直线）停着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成角，速度为，同时岸上一人从同一地点开始追小船，已知他在岸上跑的速度为，在水中游的速度为，问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被追上的最大速度是多少？ 【答案】此人能追上小船，小船能被追上的最大速度为． 【分析】设岸边停放小船处为A，此人在岸边跑到B点后下水，在C处追上小船，人追上船所用时间为，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，则人、船运动的路线构成一个三角形，由余弦定理可得，要使此关于的方程在内有实数解，解得，从而即可得答案. 【详解】如图，设小船的速度为，追上小船所用的时间为，人在岸上跑的时间为． 在中，，，， 由余弦定理得， ∵ ∴ 即． 设. 易知. （1）若，则必存在，使得. 此时，，解得. （2）若，要使在内有解， 则 解得 故. 综上，当时，人可以追上船. 因此，船速为时，能追上小船，小船能被人追上的最大速度是. 精练高频考点 1．（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【答案】D 【分析】在中用已知条件和正弦定理表示的长，再在中用正弦定理表示的长最后即可表示的长，即可知道为了测出隧道的长度，还需直接测出哪些值. 【详解】在中， 由正弦定理有：，所以， 在中， 由正弦定理有：， 所以， 因为， 所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值. 故选：D 2．（24-25高一下·四川内江·期中）在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为 h．（参考数据：，，） 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解. 【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则， 依题意，，，， 在中， ， 由正弦定理得，即，解得， 所以我方军舰大约需要4小时到达C岛． 故答案为：4 3．（24-25高一下·甘肃白银·期中）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，假设小艇与轮船在点相遇，      由题意得，，． 由余弦定理得，得， 解得或4．故的最小值为2． 故答案为：2 高频考点二：测量高度问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（   ） A．m B．15m C．m D．30m 【答案】D 【分析】由余弦定理求解． 【详解】设，由得， 又，，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 故选：D． 例题2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中求出，然后在中利用正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数的定义可求得结果. 【详解】由题意得，， 在中，，，则， 在中，， 则， 由正弦定理得，，得， 在中，，则， 所以. 故选：C 例题3．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 【答案】 【分析】在以及中，根据三角形正弦定理用高度表示，，在中，由余弦定理列出等式，解出即可. 【详解】设高度为，在中，根据正弦定理有：，即， 在中，根据正弦定理有：，即， 由余弦定理可知： ， 解得：. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【答案】D 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 2．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别在与中用正弦定理，化简可得解. 【详解】由题意可得，，， 则在中，，即， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以. 故选：A. 3．（多选）（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件即可. 【详解】由题意，因为, 且平面,平面, 所以平面, 对于A，在中，借助直角三角形用表示出，然后在中由余弦定理解三角形求得，故A正确； 对于B，在中，根据,可利用正弦定理求得，再根据求得，故B正确； 对于C，由，借助直角三角形和余弦定理，用和表示出，然后结合在中利用余弦定理列方程，解方程求得，故C正确； 对于D，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故D错误； 故选：ABC. 高频考点三：测量角度问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【分析】根据方向角的概念判断即可 【详解】如下图所示：    因为点在点的南偏东，点在点的北偏西， 故选：A. 例题2．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【分析】先用正弦定理解三角形得，再利用求取最小值来求仰角正切值的最大值即可. 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 例题3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）      【答案】 【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答. 【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图，    则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设，则 ， 当点与不重合时，在 中， ， 当点与重合时，上式也成立， 在 中，   ， 当时， 取最大值， 综上，的最大值为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得. 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 2．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    【答案】 2 / 【分析】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，即可得到，，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解得到x，从而得到，再利用正弦定理得到. 【详解】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.        根据余弦定理得，解得， 故，. 根据正弦定理得，解得， 故答案为：2；. 3．（23-24高三上·四川广安·阶段练习）如图所示，在地面上有一旗杆OP，测得它的高度10m，在地面上取一基线，在A处测得P点的仰角，在B处测得P点的仰角，则 ．    【答案】/ 【分析】分别在直角三角形和直角三角形中，求得，，进而在中，由勾股定理得到结论． 【详解】 在直角中，得． 在直角中，得， 在中，，． 故答案为：． 高频考点四：求平面几何问题 典型例题 例题1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长. 【详解】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 例题2．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合的取值范围可得出角的值，结合及正弦定理可求得的值，然后利用正弦定理可求得、的长，即可得出的周长； （2）根据已知条件分析可知四边形为等腰梯形，，即可得出梯形的面积. 【详解】（1）因为， 所以  因为，所以． 又因为，所以， 所以， 因为，故，所以，， 且 ， 由正弦定理，所以， 则， 故， 所以的周长为. （2）连接， 因为，，， 所以，，所以，且， 所以四边形为等腰梯形，所以，， 则， 又因为，即，设， 所以四边形的面积 . 精练高频考点 1．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 【答案】/ 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解. 【详解】（1）设，，所以，， 在中，， 在中，， 因为，解得，所以BO的长为； （2）由（1）知，设,，， 在中，， 在中，， 所以， 若，则与全等，所以， 所以，所以， 不成立，所以 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的值为. 3．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式； （3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. (1)求函数在上的值域； (2)在中，角的对边分别为，若，且，求. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解； （2）根据，可得，再利用余弦定理结合正弦定理即可得解. 【详解】（1）将图象向右平移个单位长度， 得的图象， 再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得的图象， 由，得，所以， 故函数在上的值域为； （2）由（1）得， 因为，所以， 由余弦定理得，又，所以， 由正弦定理得，又， 故. 例题2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)在中，角所对的边分别为，已知且，若是的中点，求的最大值. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）先由二倍角的正弦，降幂公式，辅助角公式，以及图象平移的性质得到，再由偶函数的性质求出表达式，然后整体代入求解正弦函数的单调递减区间即可； （2）先由正弦函数的最值求出，然后由余弦定理得到，最后再由向量的数量积和模长的计算求出. 【详解】（1）因为， 所以. 因为是偶函数， 所以. 又，所以， 所以. 因为， 所以的单调递减区间是. （2）因为， 所以，即. 又，所以， 所以，解得. 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，则的最大值是. 精练高频考点 1．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象. (1)求函数的解析式； (2)设锐角的内角所对的边分别为，若，且，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式，化简函数，再借助平移变换求出的解析式. （2）由和为锐角三角形，求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求出最大面积. 【详解】（1）依题意，. 所以. （2）由（1）知，解得， 在锐角中，，即，则，解得， 由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，于是， 所以面积的最大值为. 2．（2025·全国·二模）设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数． (1)求解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数在上的图象； (2)在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域． 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）根据的最小正周期为，求得，再利用平移变换，得到函数，再根据函数是偶函数求得，从而得到，然后利用“五点法”作图求解； （2）由，利用正弦定理，结合恒等变换求得，再根据是锐角三角形，求得角B的范围，再利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：因为函数的最小正周期为， 所以，则， 由图象向左平移后得到的函数为， 因为函数是偶函数，所以，则， 因为，所以，所以． 由五点法，列表如下： 0 0 1 0 -1 0 的图象，如图所示： （2）由，利用正弦定理得， 即， 即， 因为，所以，， 所以； 因为是锐角三角形， 所以 ，即，解得 因为，所以， 所以， 所以的值域是. 3．（2024·山西吕梁·二模）已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出，再根据图像平移得到 ，求得结果； （2）由得出三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简，再利用导数求函数单调区间得出结果. 【详解】（1）已知的图象相邻对称轴间的距离为，则. 由周期公式得，， 所以， （2）由题意得，，， 所以. 所以或（舍），所以. 因为在钝角中，所以， 所以，则 令，， 当时，；当时，； 可得在单调递减，在单调递增. 所以当，即时，有最小值； ，所以 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$