1.5.1等腰三角形-等腰三角形（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版（2024）同步教学课件

第1章 三角形 1.5.1 等腰三角形-等腰三角形 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解等腰三角形的性质定理 02 理解等腰三角形的判定定理 等腰三角形 01 课堂导入 问 题 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征？ ✂️ 这个三角形有两条边相等，有两个角相等。 02 知识精讲 等腰三角形的定义： 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰。 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC。 B C A 作边BC的中线AD。 在△ABD和△ACD中， AB = AC， BD = CD， AD = AD， 通过“SSS”，可以证明△ABD≌△ACD， ∴∠B = ∠C。 等腰三角形中两个相等的角叫作底角。 02 知识精讲 也可以用等腰三角形对称性证明 B C A D 02 知识精讲 等腰三角形的性质定理： 于是，我们得到等腰三角形的性质定理1： 等腰三角形的两底角相等 ( 简称“等边对等角” )。 符号语言：如图，∵AB = AC，∴∠B = ∠C。 B C A 根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD = ∠CAD， ∴AD是△ABC的角平分线。 根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB = ∠ADC， ∵∠ADB + ∠ADC = 180°， ∴∠ADB = ∠ADC = 90°， ∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高。 02 知识精讲 B C A D 02 知识精讲 等腰三角形的性质定理： 于是，我们得到等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 ( 简称“三线合一” )。 符号语言：如图， ∵AB = AC，AD⊥BC，∴BD = CD，AD平分∠BAC； ∵AB = AC，BD = CD，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC； ∵AB = AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD = CD。 B C A D 讨 论 还可用什么方法证明“三线合一” ？ 02 知识精讲 解：作顶角的平分线，用“SAS” 证明。 也可以作底边上的高，用“HL”证明。 尝 试 如图，已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC， 使底边BC = a，高AD = h。 02 知识精讲 作法 图形 1. 作线段BC = a； 2. 作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D； 3. 在MN上截取线段DA，使DA = h； 4. 连接AB、AC； △ABC就是所求作的等腰三角形。 a h B C D M N A 证明：∵AB = AC，AD = BD， ∴∠B = ∠C，∠B = ∠BAD ( 等边对等角 )。 ∴∠C = ∠BAD。 ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠ADB = ∠C + ∠CAD。 ∴∠ADB = ∠BAD + ∠CAD。 ∴∠ADB = ∠BAC。 例1 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且AD = BD。 求证：∠ADB = ∠BAC。 02 知识精讲 B C A D 01 课堂导入 问 题 我们知道，等腰三角形的两底角相等。 反过来，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗？ 如图，在△ABC中，∠B = ∠C。 作 △ABC的角平分线AD。 由∠BAD = ∠CAD，∠B = ∠C，AD = AD， 可得△ABD≌△ACD ( AAS )。 ∴AB = AC。 B C A D 02 知识精讲 等腰三角形的判定定理： 于是，我们得到等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ( 简称“等角对等边”)。 符号语言：如图，在△ABC中， ∵∠B = ∠C，∴AB = AC。 B C A 证明：∵AD // BC， ∴∠EAD =∠B，∠DAC = ∠C。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD = ∠DAC。 ∴∠B = ∠C。 ∴AB = AC ( 等角对等边 )。 例2 如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD // BC。 求证：AB = AC。 02 知识精讲 B C A D E 探 究 如图，如果AB = AC，AD // BC，那么AD平分∠EAC吗？ 请证明你的结论。 02 知识精讲 B C A D E 解：AD平分∠EAC，证明如下： ∵AB = AC ， ∴∠B = ∠C ( 等边对等角 )， ∵AD // BC， ∴∠B = ∠EAD，∠C = ∠CAD， ∴∠EAD = ∠CAD，即AD平分∠EAC。 讨 论 若三角形一边上的高线与中线重合，则这个三角形是等腰三角形吗？ 高线与角平分线重合呢？中线与角平分线重合呢？ 02 知识精讲 ① 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD = CD，证明：AB = AC。 证明：∵AD⊥BC，BD = CD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB = AC。 若三角形一边上的高线与中线重合，则这个三角形是等腰三角形。 B C A D 讨 论 ② 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，证明：AB = AC。 02 知识精讲 证明：∵∠ADB = ∠ADC = 90°，AD = AD，∠BAD = ∠CAD， ∴△ABD≌△ACD ( ASA )， ∴AB = AC。 若三角形一边上的高线与对应的角平分线重合，则这个三角形是等腰三角形。 B C A D 讨 论 ③ 如图，在△ABC中，BD = CD，AD平分∠BAC，证明：AB = AC。 02 知识精讲 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F， ∵BD = CD，∴S△ABD = S△ACD， ∴AB•DE = AC•DF，即AB·DE = AC·DF， ∵AD平分∠BAC，∴DE = DF， ∴AB = AC。 若三角形一边上的中线与对应的角平分线重合，则这个三角形是等腰三角形。 E F B C A D 02 知识精讲 等腰三角形的有关结论： 从①等腰、②底边上的高线、③底边上的中线、④顶角平分线 中任取2个作为条件，则剩下的2个即为结论。 03 典例精析 题型一 根据等腰三角形的定义求线段长： 例1、已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是________。 解：分两种情况： ① 当腰为4时，4 + 4 < 9，不能构成三角形； ② 当腰为9时，4 + 9 > 9，能构成三角形，周长为：9 + 9 + 4 = 22。 22 题型二 根据等腰三角形的性质1求角度： 例2-1、若等腰三角形中有一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为____________。 解：分两种情况： ① 50°为顶角； ② 50°是底角，则顶角为：180° - 50° × 2 = 80°； 综上，顶角的度数为50°或80°。 50°或80° 03 典例精析 题型二 根据等腰三角形的性质1求角度： 例2-2、如图，在△ABC中，E为AB上一点，连接CE，EC = BC， 过点C作CD = AC，连接DE，∠1 = ∠2。若∠B = 75°，求∠3的度数。 解：∵∠1 = ∠2，∴∠1 + ∠ACE = ∠2 + ∠ACE，即∠DCE = ∠ACB， 在△DCE和△ACB中，， ∴△DCE≌△ACB ( SAS )，∴∠DEC = ∠B = 75°， ∵EC = BC，∴∠CEB = ∠B = 75° ( 等边对等角 )， ∴∠DEB = ∠DEC + ∠CEB = 150°，∴∠3 = 180° - ∠DEB = 30°。 C D A B E 1 2 3 03 典例精析 题型三 根据等腰三角形的性质2求角度： 例3、如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE = BD，∠ABC = 70°，则∠ACE的度数为________。 解：∵AB = AC，∠ABC = 70°， ∴∠ABC = ∠ACD = 70° ( 等边对等角 )， ∵AD⊥BC，∴BD = CD ( 三线合一 )， ∵DE = BD，∴BD = CD = DE， ∴∠EBD = ∠BED = ∠ECD = ∠CED = 45°， ∴∠ACE = ∠ACD - ∠ECD = 70° - 45° = 25°。 25° B C A D E 03 典例精析 题型四 判断等腰三角形的个数： 例4-1、如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为________。 3 B A 03 典例精析 题型四 判断等腰三角形的个数： 例4-2、如图，在△ABC中，∠A = 36°，∠B = 72°，CD平分∠ACB，DE // AC，则图中共有________个等腰三角形。 5 解：∵∠A = 36°，∠B = 72°，∴∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 72°， ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD = ∠BCD = ∠ACB = 36°， ∴∠CDB = ∠A + ∠ACD = 72°， ∵DE // AC， ∴∠EDB = ∠A=36°，∠CDE = ∠ACD = 36°，∠DEB = ∠ACB = 72°， ∴∠A = ∠ACD = ∠BCD = ∠CDE = 36°，∠B = ∠ACD = ∠DEB = ∠CDB = 72°， ∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形 ( 等角对等边 )。 B C A D E 03 典例精析 题型五 根据判定定理证明等腰三角形： 例5、如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F。 ( 1 ) 证明：BA = BC； ( 2 ) 求证：△AFC为等腰三角形。 ( 1 ) 证明：在△ABD和△CBE中，， ∴△ABD≌△CBE ( AAS )，∴BA = BC； ( 2 ) 证明：∵BA = BC，∴∠BAC = ∠BCA ( 等边对等角 )， ∵∠BAD=∠BCE，∴∠FAC = ∠FCA， ∴FA = FC ( 等角对等边 )，即△AFC为等腰三角形。 B C A D E F 03 典例精析 课后总结 等腰三角形的定义： 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰。 等腰三角形的性质定理： 1. 等腰三角形的两底角相等 ( 简称“等边对等角” )。 2. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 ( 简称“三线合一” )。 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ( 简称“等角对等边”)。 等腰三角形的有关结论： 从①等腰、②底边上的高线、③底边上的中线、④顶角平分线 中任取2个作为条件，则剩下的2个即为结论。 1.5.1 等腰三角形-等腰三角形 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$