第三章 指数运算与指数函数（单元测试·提升卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 指数运算与指数函数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知：，：，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C． D． 5．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．，则实数a的取值范围是 B．恒成立，则实数a的取值范围是 C． D．，则实数a的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知实数，函数若，则的值为 ． 13．幂函数在上单调递增，则的图像过定点 . 14．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）计算： (1)； (2)若，，求的值. 16．（15分）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 17．（15分）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 18．（15分）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 指数运算与指数函数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知：，：，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简命题，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，即命题； 由，得，即命题， 显然成立，必成立；而成立时，不一定成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 2．已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的单调性和指数的运算性质比较大小即可. 【详解】， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为，，且， 所以，所以， 所以. 故选：C 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知：函数为奇函数，根据题中函数解析式结合奇函数定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：函数为奇函数，当时，， 所以. 故选：A. 5．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 6．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 7．已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围． 【详解】， 当时，， 若，当时，为减函数，此时， 当时，为增函数，且此时，要使有最小值， 则，即，，则； 若，当时为减函数，此时， 当时，为减函数，且，要使有最小值， 则，即，则． 综上所述，或． 实数的取值范围是． 故选：D． 8．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数得图象，根据图象先确定，再由函数确定出的取值范围，再由确定出，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图， 当时，， 由图可知，，即， 得，则． 由，即，得，求得， ， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据根式的化简，分数指数幂的运算性质，即可判断选项. 【详解】，， ，，其中只有B错误. 故选：ACD 10．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．，则实数a的取值范围是 B．恒成立，则实数a的取值范围是 C． D．，则实数a的取值范围是 【答案】BD 【分析】求出在的值域可判断A B； 求出在的值域，，转化为的值域是值域的子集，可判断C；由在的值域可判断D. 【详解】因为，所以时，， 若，则，故A错误； 若恒成立，则实数a的取值范围是，故B正确； 因为在上单调递增，所以在单调递减， 所以， ，所以的值域是值域的子集， 而的值域是，的值域是，故C错误； 因为在的值域是，所以实数a的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.已知实数，函数若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】分别在，时，化简方程求其解可得结论. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍去）． 故的值为． 故答案为：. 12．幂函数在上单调递增，则的图像过定点 . 【答案】 【分析】由幂函数定义得到且，解得，结合指数函数的性质，得到定点坐标. 【详解】由题意得且，解得或-1（舍去）， 故，令，得，此时， 故的图象过定点. 故答案为： 13．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性得到在上单调递增，得到答案. 【详解】设，函数在上单调递增， 函数在单调递增，故在上单调递增，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1)19 (2)6 【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，，所以原式. 16．（15分）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)1 【分析】（1）根据指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （3）令，由指数函数的单调性知二次函数有最小值，进而得，解之即得参数值. 【详解】（1）当时，， 由，得，即，解得， 所以不等式的解集 . （2）当时，， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （3）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得， 即有最大值3时，a为1. 17．（15分）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 18．（17分）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； （2）函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数； （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 19．（17分）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)当时，最小值为，当时，最小值为1 (3) 【分析】（1）配方后得到函数单调区间； （2）分和，得到函数单调性，得到最小值； （3），换元后得到，，从而得到，求出答案. 【详解】（1）， 故在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），， 若时，在上单调递减，故最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为， 故当时，的最小值为，当时，的最小值为1. （3）， 对于任意的，关于x的不等式恒成立， 即， 令，故在上恒成立， ， 由得， 故当时，取得最小值，最小值为， ，解得， 故实数k的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立问题常常利用函数最值解决，可以直接利用函数性质求解最值，也可分离参数后利用易解决的函数性质求解最值，从而解决问题. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 指数运算与指数函数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知：，：，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C． D． 5．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．，则实数a的取值范围是 B．恒成立，则实数a的取值范围是 C． D．，则实数a的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知实数，函数若，则的值为 ． 13．幂函数在上单调递增，则的图像过定点 . 14．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）计算： (1)； (2)若，，求的值. 16．（15分）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 17．（15分）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 18．（17分）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 指数运算与指数函数·提升通关（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C A C A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1)19(2)6 【详解】（1）原式 .（6分） （2）原式 ，（11分） 因为，，所以原式.（13分） 16．（15分） (1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)1 【详解】（1）当时，，（1分） 由，得，即，解得， 所以不等式的解集 .（4分） （2）当时，，（5分） 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是．（9分） （3）令，，（10分） 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，（14分） 即有最大值3时，a为1.（15分） 17．（15分） (1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，.（4分） （2）由（1）得，即，（6分） 因为.又因为，则，所以， 则 .（9分） （3）由题， 令，则，则，（11分） 当，即时，在上单调递减，；（12分） 当，即时，在上单调递增，；（13分） 当，即时，.（14分） 综上：当时，；当时，； 当时，.（15分） 18．（15分） (1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以；（5分） （2）函数在上是减函数， （6分） 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数；（10分） （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为，（12分） 因为函数在上是减函数，故，即 ，（14分） 因为， 因为，所以有最大值9，所以，（16分） 故的取值范围为：．（17分） 19．（17分） (1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)当时，最小值为，当时，最小值为1 (3) 【详解】（1）， 故在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.（3分） （2），， 若时，在上单调递减，故最小值为，（5分） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为，（7分） 故当时，的最小值为，当时，的最小值为1.（8分） （3）， 对于任意的，关于x的不等式恒成立， 即，（10分） 令，（11分） 故在上恒成立，（12分） ， 由得，（14分） 故当时，取得最小值，最小值为， ，解得，（16分） 故实数k的取值范围为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$