精品解析：2025年山东省青岛六十一中中考数学三模试卷　

2025年山东省青岛六十一中中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求解实数的绝对值和倒数，熟练掌握绝对值和倒数的定义是解题的关键． 先利用绝对值的定义计算出绝对值的大小，再去计算其倒数． 【详解】解： ， 的倒数为． 故选：C 2. 下列图案中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：图形两部分沿对称轴折叠后可重合，对各图形逐一判断即可得答案． 【详解】第一个图形是轴对称图形， 第二个图形不是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形是轴对称图形， 综上所述，是轴对称图形的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3. 2022年2月，北京冬奥会的成功举办，我国已实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标．数据显示，全国居民参与过冰雪运动的人数为3.46亿人，冰雪运动参与率24.56%．数据“3.46亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3.46亿=3.46×108． 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式的计算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. 如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点B按顺时针方向旋转，得到，将向下平移2个单位，得，那么点C的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，分别利用旋转变换，平移变换的性质画出图形可得结论． 【详解】解：如图， 由题意，， 点C绕点B顺时针旋转得到，再向下平移2个单位得到， 故选：C． 6. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数． 【详解】解：连接AD，则AD=AG=3， ∵BC与圆A相切于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==， ∴∠BAD=60°， ∵∠CDE=18°， ∴∠ADE=90°﹣18°=72°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=72°， ∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°， ∴∠GAC=36°+60°=96°， ∴∠GFE=∠GAC=48°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键． 7. 如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长． 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB, ∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°，∠EOH=60°， 由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， ∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°， ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， ∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE=， ∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力． 8. 二次函数y＝ax2﹣bx和一次函数y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数表达式可知图像过原点，所以排除A、B，再分别讨论开口和对称轴，即可判断最后答案． 【详解】解：A、由二次函数y＝ax2﹣bx可知，图象过原点，故本选项错误； B、由二次函数y＝ax2﹣bx可知，图象过原点，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x＝＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，x＝＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像判断，熟练掌握每个系数与图像的关系是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算÷3×的结果是___． 【答案】1 【解析】 【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题关键是熟记二次根式乘除法则，准确进行计算． 10. 三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可． 【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出：EQ=AB， ∵EG=14cm，∠EGF=30°， ∴EQ=AB=×14=7（cm）． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出EQ=AB是解题关键． 11. 某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求出第三年的可变成本为(7.146-4)万元，再用x表示出第三年的可变成本，即可列出等式，即得出答案． 【详解】设可变成本平均每年增长的百分率为x， 则可列方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 12. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】k≤4且k≠0 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0， 即k≤4， 原方程为一元二次方程， k≠0， 综上：k的取值范围是k≤4且k≠0 故答案为k≤4且k≠0． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的应用，掌握“方程有两个实数根，则”是解题的关键. 13. 如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得． 【详解】解：连接AC，延长AP，交BC于E， 在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2， ∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， 在△APB和△APC中， ， ∴△APB≌△APC（SSS）， ∴∠PAB＝∠PAC， ∴AE⊥BC，BE＝CE＝1， ∵△BPC为等腰直角三角形， ∴， 在Rt△ABE中，AE＝AB＝， ∴AP＝﹣1， ∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得PA、PE是解题的关键． 14. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=_________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得出∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称，证出∠EAH=∠BAD=∠GHA=45°，设DF交AH于点N，由折叠性质可知AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH，得出∠DHF=90°，连接BD，证明△ABE≌△BCM，得出BE=CM，根据三角形BDM的面积可求出答案． 【详解】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处， ∴∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称， ∴AG⊥BF， ∴∠AGF=90°， ∵AH平分∠DAF， ∴∠FAH=∠FAD， ∴∠EAH=∠GAF+∠FAH=∠BAF+∠FAD=（∠BAF+∠FAD）=∠BAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠EAH=∠BAD=45°， ∴△AGH是等腰三角形， ∴∠EAH=∠GHA=45°， 如图，设DF交AH于点N， ∵AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH， ∴AH⊥DF，FN=DN， ∴DH=HF，∠FNH=∠DNH=90°， 又∵∠GHA=45°， ∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN， ∴∠DHF=90°， 连接BD， 由折叠可知AE⊥BF， ∴∠ABG+∠CBM=90°，∠ABG+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBM， ∴Rt△ABE≌Rt△BCM， ∴BE=CM=1，AE=BM， ∴DM=2， ∴S△BDM=DM•BC=3， ∵AE2=AB2+BE2， ∴， ∴AE=BM=， S△BDM=BM•DH=3， ∴DH=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，线段a，求作：等腰，使得顶角，上的高为a． 【答案】 为所求的三角形． 【解析】 【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交的两边于B，C． 【详解】作法：(1)作， (2)作的平分线，并在射线上截取， (3)过点D作直线分别交的两边于B，C， 则为所求的三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图． 16. （1）化简：． （2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】（1）；（2）；非负整数解：0，1，2 【解析】 【分析】（1）先把括号内通分，再把除法转化为乘法约分化简即可； （2）先求出不等式组的解集，然后找出其中的非负整数解即可． 【详解】（1） = = = =； （2）， 解①得x<3， 解②得x≥-1， ∴-1≤x<3， ∴非负整数解为：0，1，2． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算法则以及一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 17. 元旦联欢会上，明明和磊磊玩掷骰子的游戏．现有一枚均匀的正方体骰子，每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．游戏规则是：明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，否则磊磊获胜． （1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果； （2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由． 【答案】（1）列表得： 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 故共有36种等可能结果． （2）不公平，理由如下： 由表可知共有36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种结果，不是3的倍数的有24种结果， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则对明明和磊磊不公平． 【解析】 【分析】(1)列表即可得出所有等可能结果； (2)从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了游戏的公平性以及概率的求法，主要是通过列表或画树状图列举出所有的可能结果是解决问题的关键． 18. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？ （2）“篮球运球”的中位数落在_______等级； （3）将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩； （4）青岛市今年参加体育中考的人数约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）300人；165人；（2）良好；（3）7.71分；（4）能，29750人 【解析】 【分析】（1）先求得参加“篮球运球”的人数，占本次测试人数的35%，可求出本次测试的人数；再求得参加“足球运球”的人数，即可求得参加“排球垫球”测试的人数； （2）根据中位数的意义，确定处在53位是什么等级即可； （3）利用加权平均数的概念计算平均分； （4）估计总体8.5万人中大约有35%的人选择“篮球运球”，计算即可． 【详解】（1）参加“篮球运球”测试的人数为：10+25+40+30=105(人)， 参加测试的人数为：1050.35%=300人， 参加“足球运球”测试的人数为：30010%=30(人)， 参加“排球垫球”测试的人数为：300-105-30=165人； （2）将参加“篮球运球”测试的105名学生的成绩从大到小排列后，处在第53位的两个数都是良好等级，因此中位数是良好等级， 故答案为：良好； （3）参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩为：（分）； （4）估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有：（人）． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图的意义，中位数的概念，平均数的定义，样本估计总体等知识，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的前提． 19. 周末爬山、郊游是现代市民常见的健康休闲生活方式．小丁和小亮两家相约周末一起去“天然氧吧”大青山游玩．如图，他们从大青山西坡的B点出发，沿坡角为37°的山坡走了300米到达山腰E点处休息；然后又沿着坡角为45°的山坡走了150米到达山顶A处．求大青山的海拔高度。（结果精确到个位，参考数据：） 【答案】大青山的高度约为285米 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，则四边形EGDF为矩形， ， 在中， ∴ 在中， ∴ 答：大青山的高度约为285米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 20. 某商场计划在年前用40000元购进一批新款衬衫进行销售，由于进货厂商促销，实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件． （1）该商场实际购进每件衬衫多少元？ （2）该商场打算在进阶的基础上，每件衬衫加价50%进行销售．由于接近年底，可能会出现滞销，因此会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，应至少再购进衬衫多少件？ 【答案】（1）该商场实际购进每件衬衫100元 （2）应至少再购进衬衫172件，商场获得不低于20000元的利润 【解析】 【分析】（1）设该商场原计划多购进每件衬衫x元, 根据等量关系实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件，列方程，解方程即可； （2）解：设再购进y件衬衫，根据不等关系每件衬衫加价50%进行销售，会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，列不等式100×50%×（400+ y）×80%+[100（1+50%）×0.5-100]×（400+ y）×20%≥20000，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商场原计划多购进每件衬衫x元， 根据题意， 解得x=125， 经检验x=125是原方程的根，并符合实际， ∴125×0.8=100元， 答该商场实际购进每件衬衫100元； 【小问2详解】 解：设再购进y件衬衫， 根据题意100×50%×（400+ y）×80%+[100（1+50%）×0.5-100]×（400+ y）×20%≥20000， 整理得40（400+y）-5(400+y)≥20000， 解得y≥， ∵y为整数， ∴应至少再购进衬衫172件，商场获得不低于20000元的利润． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，列不等式解应用题，掌握列分式方程和列不等式解应用题方法与步骤，抓住等量关系与不等关系列方程与不等式是解题关键． 21. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相较于点O，∠EAC=∠BAC，CE⊥AE，交AD于点F，连接DE、OF． （1）求证：OF⊥AC； （2）当∠BAC与∠ACB满足什么数量关系时，四边形AODE是菱形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵CE⊥AE， ∴∠AEC=90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC=90°，AD∥BC， 在△AEC和△ABC中， ， ∴△AEC≌△ABC（AAS）， ∴∠ECA=∠BCA， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA=∠ECA, ∴AF=CF， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴AO=CO， ∴OF⊥AC； （2）当∠BAC=2∠ACB时，四边形AODE是菱形， 理由如下： ∠BAC=2∠ACB， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°， ∵∠BAC=2∠ACB， ∴2∠ACB+∠ACB=90°， ∴∠ACB=30°， ∴∠BAC=2∠ACB=60°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AO=CO=BO=DO， ∴△ABO为等边三角形，∠DAO=∠ADO=∠ACB=30°， ∴AB=AO， 由（1）知△AEC≌△ABC， ∴AE=AB=AO=DO，∠EAC=∠BAC=60°， ∴∠EAD=∠EAC-DAO=60°-30°=30°， ∴∠EAD=∠ADO=30°， ∴AE∥OD， ∵AE=OD， ∴四边形AODE为平行四边形， ∵AE=AO， ∴四边形AODE为菱形， ∴当∠BAC=2∠ACB时，四边形AODE是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据CE⊥AE，得出∠AEC=90°，根据四边形ABCD为矩形，得出∠ABC=90°，AD∥BC，可证△AEC≌△ABC（AAS），再证AF=CF即可； （2）先证△ABO为等边三角形，∠DAO=∠ADO=∠ACB=30°，得出AB=AO，由（1）知△AEC≌△ABC，得出AE=AB=AO=DO，∠EAC=∠BAC=60°，再证AE∥OD，得出四边形AODE为平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形全等判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，菱形的判定，掌握以上知识点是解题关键． 22. [提出问题]正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？ [探索发现] 为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形-------正三角形入手 如图①，是正三角形，边长是是内任意一点，到各边距离分别为，确定的值与的边及内角的关系． 如图②，五边形是正五边形，边长是是正五边形内任意一点，到五边形各边距离分别为， 参照的探索过程，确定的值与正五边形的边及内角的关系． 类比上述探索过程： 正六边形(边长为)内任意一点 到各边距离之和 正八边形(边长为)内任意一点到各边距离之和 [问题解决]正边形(边长为)内任意-一点P到各边距离之和 【答案】（1）；（2）；（3），；[问题解决] 【解析】 【分析】（1）设的面积为，显然，过点作，垂足为，易知，可知，根据面积相等可得，化简可得. （2）设正五边形的面积为，显然，设正五边形的中心为，连接，它们将正五边形分成五个全等的等腰三角形，过点作，垂足为，易知，同样表示出五边形的面积，再利用面积相等法即可求得. （3）根据（1）（2）中发现的规律可得答案. [问题解决]总结上面的规律即可. 【详解】解：（1）设的面积为， 显然 设的中心(正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心)为， 连接， 它们将分成三个全等的等腰三角形， 过点作，垂足为，易知 所以 那么， 所以 解：设正五边形的面积为， 显然 设正五边形的中心为， 连接， 它们将正五边形分成五个全等的等腰三角形， 过点作， 垂足为，易知 所以 那么 所以 若图形为正六边形，则其面积可表示为S=，也可表示为， 根据面积相等法可得，即 同理得：当图形为正八边形时，. 故答案为：，； [问题解决] 根据上面题目的规律可得正边形(边长为)内任意一点P到各边距离之和=， 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用和面积相等法的应用，找到规律问题即可得解. 23. 高尔夫球场各球洞因地形变化而出现不等的距离，因此每次击球受地形的变化影响很大．如图，OA表示坡度为1：5山坡，山坡上点A距O点的水平距离OE为40米，在A处安装4米高的隔离网AB．在一次击球训练时，击出的球运行的路线呈抛物线，小球距离击球点30米时达到最大高度10米，现将击球点置于山坡底部O处，建立如图所示的平面直角坐标系（O、A、B及球运行的路线在同一平面内）． （1）求本次击球，小球运行路线的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）通过计算说明本次击球小球能否越过隔离网AB？ （3）小球运行时与坡面OA之间的最大高度是多少？ 【答案】（1） （2）小球不能飞越隔离网AB （3）小球运行时与坡面OA之间的最大高度是4.9米 【解析】 【分析】（1）设小球运行的函数关系式为y=a（x-30）2+10，把原点的坐标代入即可； （2）由OE=40可得小球的高度，再利用坡度求出AE，比较即可； （3）设小球运行时与坡面 OA 之间的高度是w米，求出解析式，再利用顶点式求出最大值即可． 【小问1详解】 设小球运行的函数关系式为y=a（x-30）2+10， 把（0，0）代入解析式得：900a+10=0， 解得：a=− ， ∴解析式为y=−（x-30）2+10； 【小问2详解】 小球不能飞越隔离网AB，理由如下： 将x=40代入解析式为：y=-×（40-30）2+10= ， ∵坡度为i=1：5，OE=40， ∴AE=8，AB=4， ∴BE=12，＜12， ∴小球不能飞越隔离网AB． 【小问3详解】 设OA的解析式为y=kx， 把（30，6）代入得：6=30k，解得k= ， ∴OA的解析式为y=x， 设小球运行时与坡面 OA 之间的高度是w米， w=−（x-30）2+10-x=-x2+ x=-（x-21）2+4.9， ∵a＜0， ∴当x=21时，w最大是4.9， 答：小球运行时与坡面OA之间的最大高度是4.9米． 【点睛】本题考查了点的坐标求法，一次函数、二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系． 24. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s；点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为0.5cm/s；点P、Q、E同时出发．对角线AC的中点为O，连接AP、PQ、QE．设运动时间为t(s)(0＜t≤4)，解答下列问题： （1）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （2）连接OP、OE，设四边形OPQE的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式； （3）在直线AD上作点E关于CD的轴对称点F，是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点共线？若存在，直接写出t的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在，t＝2 （2） （3）存在，t的值为10﹣2 【解析】 【分析】(1)存在．证明△QDE∽△ABP，推出，由此构建方程求出t即可； (2)根据，求解即可； (3)存在．过点P作PG⊥AD于G．证明△QDF∽△PGF推出，由此构建方程求解即可 【小问1详解】 解：存在． 理由如下： BP=t，CQ=2t，DQ=8-2t，DE=0.5t， ∵， ∴∠DEQ＝∠DAP， ∵， ∴∠APB＝∠DAP， ∴∠DEQ＝∠APB， 又∵∠B＝∠D＝90°， ∴△ABP∽△QDE， ∴， ∴ ， 解得t＝2． 故当t＝2时，使； 【小问2详解】 解：延长PO，交AD于点K；过点O，作OH⊥AD于H， ∵O是AC的中点， ∴OA=OC， ∵， ∴∠OAK＝∠OCP， 在△AOK与△COP中， ∴△AOK≌△COP(ASA)， ∴AK=CP， ∴DK＝BP＝t． ∵， ∴ ． 故y与t的函数关系式为 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 过点P作PG⊥AD于G． ∴， ∵点E与点F关于CD对称， ∴， ∵P、Q、F三点共线，， ∴△QDF∽△PGF ∴， ∴， 整理得：， 解得：(舍弃)或． ∴满足条件的t的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用相似三角形的性质构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省青岛六十一中中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 2022年2月，北京冬奥会的成功举办，我国已实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标．数据显示，全国居民参与过冰雪运动的人数为3.46亿人，冰雪运动参与率24.56%．数据“3.46亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点B按顺时针方向旋转，得到，将向下平移2个单位，得，那么点C的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 7. 如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数y＝ax2﹣bx和一次函数y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算÷3×的结果是___． 10. 三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为_______． 11. 某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为_____． 12. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是_______． 13. 如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=_________． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，线段a，求作：等腰，使得顶角，上的高为a． 16. （1）化简：． （2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 17. 元旦联欢会上，明明和磊磊玩掷骰子的游戏．现有一枚均匀的正方体骰子，每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．游戏规则是：明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，否则磊磊获胜． （1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果； （2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由． 18. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？ （2）“篮球运球”的中位数落在_______等级； （3）将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩； （4）青岛市今年参加体育中考的人数约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由． 19. 周末爬山、郊游是现代市民常见的健康休闲生活方式．小丁和小亮两家相约周末一起去“天然氧吧”大青山游玩．如图，他们从大青山西坡的B点出发，沿坡角为37°的山坡走了300米到达山腰E点处休息；然后又沿着坡角为45°的山坡走了150米到达山顶A处．求大青山的海拔高度。（结果精确到个位，参考数据：） 20. 某商场计划在年前用40000元购进一批新款衬衫进行销售，由于进货厂商促销，实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件． （1）该商场实际购进每件衬衫多少元？ （2）该商场打算在进阶的基础上，每件衬衫加价50%进行销售．由于接近年底，可能会出现滞销，因此会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，应至少再购进衬衫多少件？ 21. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相较于点O，∠EAC=∠BAC，CE⊥AE，交AD于点F，连接DE、OF． （1）求证：OF⊥AC； （2）当∠BAC与∠ACB满足什么数量关系时，四边形AODE是菱形？请说明理由． 22. [提出问题]正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？ [探索发现] 为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形-------正三角形入手 如图①，是正三角形，边长是是内任意一点，到各边距离分别为，确定的值与的边及内角的关系． 如图②，五边形是正五边形，边长是是正五边形内任意一点，到五边形各边距离分别为， 参照的探索过程，确定的值与正五边形的边及内角的关系． 类比上述探索过程： 正六边形(边长为)内任意一点 到各边距离之和 正八边形(边长为)内任意一点到各边距离之和 [问题解决]正边形(边长为)内任意-一点P到各边距离之和 23. 高尔夫球场各球洞因地形变化而出现不等的距离，因此每次击球受地形的变化影响很大．如图，OA表示坡度为1：5山坡，山坡上点A距O点的水平距离OE为40米，在A处安装4米高的隔离网AB．在一次击球训练时，击出的球运行的路线呈抛物线，小球距离击球点30米时达到最大高度10米，现将击球点置于山坡底部O处，建立如图所示的平面直角坐标系（O、A、B及球运行的路线在同一平面内）． （1）求本次击球，小球运行路线的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）通过计算说明本次击球小球能否越过隔离网AB？ （3）小球运行时与坡面OA之间的最大高度是多少？ 24. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s；点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为0.5cm/s；点P、Q、E同时出发．对角线AC的中点为O，连接AP、PQ、QE．设运动时间为t(s)(0＜t≤4)，解答下列问题： （1）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （2）连接OP、OE，设四边形OPQE的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式； （3）在直线AD上作点E关于CD的轴对称点F，是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点共线？若存在，直接写出t的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $