精品解析：2025年吉林省长春市第一〇八学校九年级6月中考模拟数学试题

数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分，下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的） 1. 的相反数为（ ） A. -4 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先计算，再根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. .下列函数中，自变量x的取值范围为的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件分别判定即可． 【详解】解：A中分式分母不能为零．所以1-x≠0.则x取值范围为x≠1.同理，B中x≠0. C中根号下的数值要为非负数，易知1-x≥0.则x取值范围为x≤1.而D中只判断根号x的取值范围与C相似，但由于根号的位置为分式分母．故舍去1-x=0的情况，则x的取值范围为x＜1. 选D． 【点睛】本题，主要考查学生解函数自变量取值范围的学习，需要结合分式即实数的意义等知识点． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式和积的乘方等计算法则求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式和积的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. 我国航天技术攀登于世界巅峰，下列为航天领域的图片，下列即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离（无法直接测出），两位同学提供了不同的测量方案： 方案I：如图①，在平地上取一个可以直接到达A和B的点O，连结，并延长到点C，使 ；连结，并延长到点D，使；连结，测量的长度即可． 方案II：如图②，在平地上选定一点E，使；再选一点F（点A、F在的两侧），使；用视线确定和的交点G，测出、、的长度，可求得池塘两端A、B的距离． 对于方案I、II，下列说法正确的是（ ） A. I可行、II不可行 B. I不可行、II可行 C. I、II都不可行 D. I、II都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，相似三角形的应用，关键是判定，．方案Ⅰ：判定，推出；方案Ⅱ：判定，推出，即可求出的长，于是得到答案． 【详解】解：方案Ⅰ： 在和中， ， ， ； 方案Ⅱ： ，， ， ， ， ， 、、的长度可以测出， 可求出的长， 可求得池塘两端A、B的距离， 方案Ⅰ、Ⅱ都可以． 故选：D． 7. 如图所示，有一架静止的秋千，将秋千向前推1米（米）到达的位置时，秋千与竖直方向的夹角，若绳索始终拉直，则秋千的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据题意可得：米，即可解答． 【详解】解：在中，，， （米）， 由题意，得米， 秋千的长度是米． 故选：A． 8. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和不等式的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，根据判断即可解答，解题的关键在于熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征与性质． 【详解】解：点和点均在反比例函数是常数，图象上， ，， ， ，即， 当，可得，解得， 当，可得恒成立， 或 故答案为：D 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：＝______________． 【答案】mn(m－n) 【解析】 【详解】分析:找出多项式中的公因式mn，再进行提取公因式进行分解即可． 详解：m2n-mn2=mn（m-n）． 故答案为mn（m-n）． 点睛：本题考查了提公因式法分解因式，是基础题，准确找出公因式是解题的关键． 10. 一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，解答关键是明确十位上的数字表示几个十．一个两位数，十位上的数字是y，表示y个十，即，个位上的数字是x，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为． 故答案为：． 11. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 我国明代数学家程大位编著的《算法统宗》中有“以碗知僧”趣题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：某古寺用餐，3名僧人合吃一碗饭，4名僧人合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少名僧人？设寺内有名僧人，则可列方程______． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“三人共食一碗饭，四人共进一碗羹，一共用了364只碗”，列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意，有：． 故答案为： ． 13. 如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握正多边形的内角和公式和扇形面积公式是解题的关键． 先根据正多边形的内角公式：每个内角度数，求出正五边形内角，再利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆， ∴， ∴阴影部分面积． 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是_______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】利用菱形的性质可以判断①的结论正确；利用等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值求出相应边的长度，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式求得和四边形的面积，即可判断②的结论不正确；利用相似三角形的判定与性质和等量代换可以判断③的结论正确；利用特殊角的三角函数值可以判断④的结论不正确；利用含a的代数式分别表示出的长度即可判断⑤的结论正确． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴． ∵， ∴ 又即， ∴，故①正确； 设菱形的边长为a， ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 又∵， ∴是等边三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故②的结论不正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③的结论正确； ∵， ∴，故④的结论不正确； ∵， ∴，故⑤的结论正确． 综上，结论正确的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 美育是指通过培养人们认识美、体验美、感受美、欣赏美和创造美的能力，从而使我们具有美的理想、情操、品格和素养．某校为践行美育教育，组织全校师生开展中国名画鉴赏活动，共有如图所示的、、、共幅名画供师生选择．小长和小春参加了本次活动，两人分别从这幅名画中随机选择一幅进行鉴赏．（两人选择哪一幅名画相互不受影响） 请用列表法或画树状图的方法求小长和小春选择同一幅名画的概率． 【答案】小长和小春选择同一幅名画的概率是． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列表法或画树状图求概率，解题关键是熟练掌握列表法或画树状图求概率． 先画出树状图，再求出总的情况和符合题意的情况即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有种情况，其中小长和小春选择同一幅名画的情况有种， 故小长和小春选择同一幅名画的概率是． 17. 一服装厂要在学校开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多了，结果提前4天完成任务，问原计划每天能完成多少套校服？ 【答案】原计划每天能完成125套校服 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天能完成x套校服，则实际每天能完成套校服，根据题意列方程即可． 【详解】解：设原计划每天能完成x套校服 ∵现每天完成的校服比原计划多了， ∴实际每天能完成套校服 由题意得： 解得： ∴原计划每天能完成125套校服 18. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的线段上找一点M，连接，使． （2）在图②中的线段、上分别找一点P、Q（点P、Q不在格点上），连接、，使． （3）在图③中，点D在边上，且，在线段上找一点N，连接，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据 是等腰直角三角形可取边的中点解决问题． （2）根据的对称性可在对称轴上取一点连接延长即可． （3）根据和都是角分线可利用三角形三个角的角分线交于一点解题． 本题考查等腰直角三角形的性质，对称性及三角形三个角的角分线交于一点，灵活使用以上知识点是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：∵ 是等腰直角三角形， ∴ 取 边的中点M即可使得 如图 ． 【小问2详解】 由(1)可知 所在直线为 的对称轴， ∴ 在 上任取点D连接和．并延长与、分别 交于 、 两点如图． 由图形的对称性可得 ， ∴． 【小问3详解】 将与 的交点记为N点如图． ∵ 且M是 的中点 ， ∴ 平分 ， 又∵ 即 平分 ， ∴ 点N为 的内心 ， ∴ 平分 即 ． 20. 本学期希望中学和育才中学各随机抽查了本校24名学生，对他们的读书情况进行了统计，并分别绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．设希望中学抽查的学生中读书册数是5册的人数为． （1）求的值，并直接写出希望中学学生读书册数的中位数； （2）分别求育才中学读4册、5册、6册、7册的人数，并写出该中学学生读书册数的众数； （3）两校随后又各补查了本校另外的名学生，统计得知都读了6册，将其与本校之前的数据合并后，发现希望中学这些册数的中位数变成了另外的数，而育才中学这些册数的众数没改变，直接写出的值． 【答案】（1）8，中位数为5册 （2） 读4册的人数为； 读5册的人数为； 读6册的人数为； 读7册的人数为． ∴育才中学学生读书册数的众数为册； （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，以及中位数和众数，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键． （1）根据总人数求出5册的人数，即可得到中位数； （2）根据扇形统计图圆心角的度数进行计算即可； （3）根据希望中学这些册数的中位数发生变化，可得，再由育才中学这些册数的众数没变，可得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 即希望中学学生读书册数的中位数为5册； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：补查后希望中学学生读书册数的中位数变了，而原来位于第12位，13位，14位的均为5册，15位的是6册， ∴至少增加2人，中位数会发生变化， 即． 由（2）得：原来育才中学学生读书册数的众数为5册，人数为9人，且读6册的人数为6人， 育才中学学生读书册数的众数没变， ∴补查后读6册的人数低于9人， ， ∴， ∵n为正整数， ． 21. 无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是_______千米/时； （2）求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______． 【答案】（1） （2） （3） 或小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （2）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解； （3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，千米/时； 故答案为：． 【小问2详解】 解：乙车的速度为千米/时； 而， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：由题意设， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：当时，， ∴， 设乙车的行驶小时后，两车距B的路程之和是千米， 当乙未过时， 解得： 当乙经过B后， ， （舍） 当甲到达后， 答：乙车的行驶 或小时后两车距B的路程之和是千米． 22. 问题发现： （1）如图1，点是半径为2的上一点，直线是圆外一条直线，于点，圆心到直线的距离为3，则线段的最小值为______； 问题探究： （2）如图2，在中，，，，点是边上一动点，点是边上一动点，且满足，点是的中点，当点在运动中，用圆规和无刻度的直尺在图2中作出点的轨迹圆，并作出，使的面积最小，求此时面积的最小值． 问题解决： （3）如图3，有一边长为20米的菱形参观展览区，点为的中点，点是上一点，，根据实际情况，需要在右侧建造一个与对称的茶歇区，点的对应点为，连接交于，连接，展方为了增加展区的总体收益，欲在茶歇区斜对面位置内出售高品质茶具，决定在上选取一点，使，划定为茶具售卖区，已知茶具售卖区每平方米元，问该售卖区最少需要多少元？（） 【答案】（1）1； （2） 如图2，记中点为，连接， 2； （3）元 【解析】 【分析】（1）由题意知，当，且三点共线时，最小，然后求解即可； （2）如图2，记中点为，连接，由题意知，当在上运动时，是直角三角形，此时，在以为圆心，1为半径的部分圆上运动，作于，交于，此时面积的最小；当在上运动时，在线段上，由题意知，当与重合时，中点到直线的距离最小，此时的面积为整个运动过程中的最小值，如图，连接，根据，计算求解即可； （3）如图3，记的中点为，连接，设到的距离为，则，当最小时，最小，由折叠的性质可知，，则在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，作且与相切，切点为，交于， 作于，连接，交的延长线于，则四边形是矩形，，当在时，最小，为，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当，且三点共线时，最小，最小值为：， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， 如图2，记中点为，连接， 由题意知，当在上运动时，是直角三角形， ∴， ∴在以为圆心，1为半径的部分圆上运动， 作于，交于，此时面积的最小； 当在上运动时，在线段上， 由题意知，当与重合时，中点到直线的距离最小，此时的面积为整个运动过程中的最小值， 如图，连接， ∴， ∴面积的最小值为2． （3）解：如图3，记的中点为，连接， 由题意知，米， ∴， 设到的距离为， ∵， ∴， ∴当最小时，最小， 由折叠的性质可知，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 如图，作且与相切，切点为，交于， 作于，连接，交的延长线于，则四边形是矩形，， ∴当在时，最小，为， ∴， ∴， ∴， ∵（元）， ∴该售卖区最少需要元． 【点睛】本题考查了垂线段最短，圆，切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正弦，正切，矩形的判定与性质，菱形的性质等知识．熟练掌握垂线段最短，圆，切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正弦，正切，矩形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 23. 已知是等边三角形． （1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：； （3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动至点C，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值； （4）如图3，连接，直接写出面积的最大值． 【答案】（1）； （2） 证明：在线段上截取一点，使得，连接，如图所示： 是等边三角形， ， ， 平分， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； （2）在线段上截取一点，使得，连接，由题意得是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证； （3）连接，由题意证，则有，然后可得点在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得的最小值，及此时的长； （4）如图所示，连接，过点N作于点E，得到，，设，则，表示出，，然后得到的面积代入利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示： 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ，是等边三角形， ，，， ，， ， ， ，， ， 点在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当时，最短， 点是的中点， ， ，， ， ； 【小问4详解】 解：如图所示，连接，过点N作于点E 由（3）得， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴的面积 ∵ ∴当时，的面积有最大值． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、二次函数的最值，垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与直线交于、两点（在左侧），点在抛物线上，横坐标为，点不与点和点重合，连接、． （1）点的坐标为_______；点的坐标为_______； （2）当是直角三角形时，求的值； （3）以，为边构造平行四边形． ①当抛物线的图象在平行四边形内部（不包括边界）的部分对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围； ②设点C是抛物线的顶点，平行四边形的边与直线的交点为（点、、、除外），当线段将平行四边形的面积分成时，求的值． 【答案】（1）， （2）； （3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）抛物线解析式中令，即可求解； （2）由题可知，再由勾股定理建立方程求值即可； （3）①数形结合解题即可； ②先求直线的解析式，分别表示出和，可求出它们的比值，根据题意可计算出的长，又点在点左侧，则，代入直线解析式即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵是直角三角形， ∴， ∵点横坐标为， ∴， 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∴或， 解得：或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：①如图，当时，抛物线的图象在平行四边形内部（不包括边界）的部分对应的函数值随的增大而减小； 当时，抛物线的图象在平行四边形内部（不包括边界）的部分对应的函数值随的增大而减小； 综上所述，或； ②由题意知：， 设直线的解析式为：， 代入，可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∵，，设平行四边形的高为， 线段将平行四边形的面积分成的两部分为和， 则有，， ∴， 依题意有：或； 当时，， 解得：， ∴， ∵点在点左侧，则， 代入直线解析式有：， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，时，线段将平行四边形的面积分成． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分，下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的） 1. 的相反数为（ ） A. -4 B. C. 2 D. 4 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. .下列函数中，自变量x的取值范围为的是 A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国航天技术攀登于世界巅峰，下列为航天领域的图片，下列即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离（无法直接测出），两位同学提供了不同的测量方案： 方案I：如图①，在平地上取一个可以直接到达A和B的点O，连结，并延长到点C，使 ；连结，并延长到点D，使；连结，测量的长度即可． 方案II：如图②，在平地上选定一点E，使；再选一点F（点A、F在的两侧），使；用视线确定和的交点G，测出、、的长度，可求得池塘两端A、B的距离． 对于方案I、II，下列说法正确的是（ ） A. I可行、II不可行 B. I不可行、II可行 C. I、II都不可行 D. I、II都可行 7. 如图所示，有一架静止的秋千，将秋千向前推1米（米）到达的位置时，秋千与竖直方向的夹角，若绳索始终拉直，则秋千的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：＝______________． 10. 一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为______ 11. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______． 12. 我国明代数学家程大位编著的《算法统宗》中有“以碗知僧”趣题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：某古寺用餐，3名僧人合吃一碗饭，4名僧人合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少名僧人？设寺内有名僧人，则可列方程______． 13. 如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为__________． 14. 如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是_______． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 美育是指通过培养人们认识美、体验美、感受美、欣赏美和创造美的能力，从而使我们具有美的理想、情操、品格和素养．某校为践行美育教育，组织全校师生开展中国名画鉴赏活动，共有如图所示的、、、共幅名画供师生选择．小长和小春参加了本次活动，两人分别从这幅名画中随机选择一幅进行鉴赏．（两人选择哪一幅名画相互不受影响） 请用列表法或画树状图的方法求小长和小春选择同一幅名画的概率． 17. 一服装厂要在学校开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多了，结果提前4天完成任务，问原计划每天能完成多少套校服？ 18. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的线段上找一点M，连接，使． （2）在图②中的线段、上分别找一点P、Q（点P、Q不在格点上），连接、，使． （3）在图③中，点D在边上，且，在线段上找一点N，连接，使． 20. 本学期希望中学和育才中学各随机抽查了本校24名学生，对他们的读书情况进行了统计，并分别绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．设希望中学抽查的学生中读书册数是5册的人数为． （1）求的值，并直接写出希望中学学生读书册数的中位数； （2）分别求育才中学读4册、5册、6册、7册的人数，并写出该中学学生读书册数的众数； （3）两校随后又各补查了本校另外的名学生，统计得知都读了6册，将其与本校之前的数据合并后，发现希望中学这些册数的中位数变成了另外的数，而育才中学这些册数的众数没改变，直接写出的值． 21. 无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是_______千米/时； （2）求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______． 22. 问题发现： （1）如图1，点是半径为2的上一点，直线是圆外一条直线，于点，圆心到直线的距离为3，则线段的最小值为______； 问题探究： （2）如图2，在中，，，，点是边上一动点，点是边上一动点，且满足，点是的中点，当点在运动中，用圆规和无刻度的直尺在图2中作出点的轨迹圆，并作出，使的面积最小，求此时面积的最小值． 问题解决： （3）如图3，有一边长为20米的菱形参观展览区，点为的中点，点是上一点，，根据实际情况，需要在右侧建造一个与对称的茶歇区，点的对应点为，连接交于，连接，展方为了增加展区的总体收益，欲在茶歇区斜对面位置内出售高品质茶具，决定在上选取一点，使，划定为茶具售卖区，已知茶具售卖区每平方米元，问该售卖区最少需要多少元？（） 23. 已知是等边三角形． （1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：； （3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动至点C，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值； （4）如图3，连接，直接写出面积的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与直线交于、两点（在左侧），点在抛物线上，横坐标为，点不与点和点重合，连接、． （1）点的坐标为_______；点的坐标为_______； （2）当是直角三角形时，求的值； （3）以，为边构造平行四边形． ①当抛物线的图象在平行四边形内部（不包括边界）的部分对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围； ②设点C是抛物线的顶点，平行四边形的边与直线的交点为（点、、、除外），当线段将平行四边形的面积分成时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $