章末检测卷(3) 指数运算与指数函数（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(三)　指数运算与指数函数 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．指数函数y＝ax的图象经过点，则a的值是(　　) A．　　　　　　　　B． C．2 D．4 解析：选B　因为y＝ax的图象经过点，所以a3＝，解得a＝. 2．若3x－2y＝2，则＝(　　) A． B． C．5 D．25 解析：选B　＝52y-3x＝5-2＝. 3．已知函数f(x)＝4＋ax+1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0) 解析：选A　当x＋1＝0，即x＝－1时，ax+1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1，5). 4．，，的大小关系是(　　) A．＜＜ B．＜＜ C.＜＜ D．＜＜ 解析：选B　由y＝在R上单调递减， 知＜， 而＜1＜， 所以＜＜. 5．设a2＝b4＝m(a＞0，b＞0)，且a＋b＝6，则m等于(　　) A．16 B．10 C．2 D．81 解析：选A　∵a2＝b4＝m(a>0，b>0)， ∴a＝m，b＝m，a＝b2. 由a＋b＝6得b2＋b－6＝0, 解得b＝2或b＝－3(舍去). ∴m＝2，m＝24＝16. 6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 解析：选A　由f(x)的图象知，0<a<1，b<－1，故g(x)＝ax＋b的图象为A. 7．已知函数f(x)＝若f＝4，则b等于(　　) A．1 B． C． D． 解析：选D　由题意得f＝ f＝f. 当－b<1，即b>时， 3×－b＝4，解得b＝(舍). 当－b≥1，即b≤时， 2－b＝4， 解得b＝. 7．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，1) B．(－4，3) C．(－1，2) D．(－3，4) 解析：选C　∵(m2－m)·4x－2x<0在x∈(－∞，－1]时恒成立， ∴m2－m<＝在x∈(－∞，－1]时恒成立． 由于f(x)＝在x∈(－∞，－1]时单调递减， 又x≤－1，∴f(x)≥2， ∴m2－m<2，∴－1<m<2. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列运算结果不正确的是(　　) A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝－a6 解析：选ABC　a2·a3＝a5；(－a2)3＝(－1)3·(a2)3＝－a6，而(－a3)2＝a6，∴在a≠0时(－a2)3≠(－a3)2；若a＝1，则(－1)0无意义，所以只有D正确． 10．已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 解析：选ABC　根据题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以选项A正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，所以选项B正确； 当0<k<1时，若3a＝6b＝k，则a<b<0，所以选项C正确． 11．设函数f(x)＝|3x－1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，则下列式子一定成立的是(　　) A．3c<3b B．3b<3a C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2 解析：选ABD　因为y＝3x为R上的增函数，且c<b<a，所以3c<3b<3a，所以AB正确；作出函数f(x)＝|3x－1|的图象，如图所示，由图可知要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，需有c<0且a>0， 所以3c<1<3a， 所以f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1， 又f(c)>f(a)，所以1－3c>3a－1， 即3c＋3a<2. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知f(x)＝3－x，若f(a)＋f(－a)＝3，则f(2a)＋f(－2a)＝________． 解析：若f(a)＋f(－a)＝3， 则3－a＋3a＝3， 所以f(2a)＋f(－2a)＝3-2a＋32a＝(3－a＋3a)2－2＝7. 答案：7 13．若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[－1，1]上最大值与最小值的差是1，则底数a＝ ________． 解析：当0<a<1时，y＝ax在[－1，1]上单调递减，则a-1－a＝1，即a2＋a－1＝0， 解得a＝； 当a>1时，y＝ax在[－1，1]上单调递增， 则a－a-1＝1，即a2－a－1＝0， 解得a＝舍去， 所以a＝或. 答案：或 14．下列说法中，正确的是________(填序号). ①任取x>0，均有3x>2x； ②当a>0，且a≠1时，有a3>a2； ③y＝()－x是增函数； ④y＝2|x|的最小值为1； ⑤在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称． 解析：任取x>0，均有3x>2x，即①正确； 当a>1时，a3>a2，当0<a<1时，a3<a2，②错误； y＝()－x是减函数，③错误； y＝2|x|的最小值为1，④正确； 在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x＝的图象关于y轴对称，⑤正确．故正确的是①④⑤. 答案：①④⑤ 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)求下列各式的值： (1) ＋－； (2)＋. 解：(1)原式＝＋－ ＝－－＝. (2)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x， 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)， ∴原式＝ 16．(15分)已知函数f(x)＝ax-1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1. (1)求a的值； (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域． 解：(1)函数图象经过点， 所以a2-1＝，则a＝. (2)由(1)知函数为f(x)＝(x≥0)， 由x≥0，得x－1≥－1. 于是0<≤＝2， 所以函数的值域为(0，2]. 17．(15分)已知四个函数f(x)＝2x，g(x)＝，h(x)＝3x，p(x)＝，其中y＝f(x)，y＝g(x)的图象如下图所示． (1)请在坐标系中画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象，并根据这四个函数的图象总结出指数函数具有哪些性质？ (2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由． 解：(1)画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象如下图所示． 4个函数都是y＝ax(a>0，且a≠1)的形式，它们的性质包括： ①定义域为R. ②值域为(0，＋∞). ③都过定点(0，1). ④当a>1时，函数在定义域内单调递增； 当0<a<1时，函数在定义域内单调递减． ⑤当a>1时，若x<0，则0<y<1，若x>0，则y>1； 当0<a<1时，若x>0，则0<y<1，若x<0，则y>1. ⑥对于函数y＝ax(a>0，且a≠1)，y＝bx(b>0，且b≠1)，当a>b>1时，若x<0，则0<ax<bx<1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x>0，则ax>bx>1. 当0<a<b<1时，若x<0，则ax>bx>1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x>0，则0<ax<bx<1. (2)举例：细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，这两个细胞分裂成4个…若原来有1个细胞，经过x次分裂，细胞个数为y，则y＝2x是一个指数函数． 18．(17分)已知函数f(x)＝-4x+3 . (1)若a＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最大值为3，求实数a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求实数a的值． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝-4x+3， 令g(x)＝x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 而y＝在R上为减函数， 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 即函数f(x)的单调递减区间是(2，＋∞)，单调递增区间是(－∞，2). (2)令h(x)＝ax2－4x＋3， 则f(x)＝， 因为f(x)的最大值为3，所以h(x)的最小值为－1， 当a＝0时，f(x)＝，无最大值； 当a≠0时，有解得a＝1， 所以当f(x)的最大值为3时，实数a的值为1. (3)由指数函数的性质，知要使f(x)＝-4x+3的值域为(0，＋∞)， 应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 当a＝0时，h(x)＝－4x＋3，值域为R，符合题意； 当a≠0时，h(x)为二次函数，其值域不为R，不符合题意． 故当f(x)的值域是(0，＋∞)时，实数a的值为0. 19．(17分)对于定义在D上的函数f(x)，如果对于任意的x∈D，存在常数M>0都有|f(x)|≤M成立，则称M为函数f(x)在D上的一个上界．已知函数f(x)＝＋a－1. (1)当a＝1时，试判断函数f(x)在(－∞，0)上是否存在上界，若存在请求出该上界，若不存在请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上的上界为3，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝＋－1， 因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝1， 即f(x)在(－∞，0)的值域为(1，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立， 所以函数f(x)在(－∞，0)上不存在上界． (2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立， 即－3≤f(x)≤3，－2－≤a≤4－， 所以－2×2x－≤a≤4×2x－在[0，＋∞)上恒成立， 所以≤a≤ . 设2x＝t，则h(t)＝－2t－，p(t)＝4t－，由x∈[0，＋∞)，得t≥1. 设1≤t1<t2，则h(t1)－h(t2)＝>0， p(t1)－p(t2)＝<0， 所以h(t)在[1，＋∞)上递减，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－3， 而p(t)在[1，＋∞)上递增，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝3， 所以实数a的取值范围为[－3，3]. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$