章末检测卷(1) 预备知识（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(一)　预备知识 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B等于(　　) A．{－4，1}　　　　　　B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3} 解析：选D　∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1<x<4}，B＝{－4，1，3，5}， ∴A∩B＝{1，3}． 2．满足{1}⊆X{1，2，3，4}的集合X有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 解析：选D　集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7个． 3．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＝N B．M<N C．M≤N D．M>N 解析：选B　∵x>0，y>0， ∴x＋y＋1>1＋x>0，1＋x＋y>1＋y>0， ∴<，<， 故M＝＝＋<＋＝N，即M<N. 4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　) A．对任意x∈R，都有x2<1 B．不存在x∈R，使得x2<1 C．存在x∈R，使得x2≥1 D．存在x∈R，使得x2<1 解析：选D　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1.故选D. 5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A．充要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选A. 6．已知(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－或a>1 B．－＜a＜1 C．－＜a≤1或a＝－1 D．－＜a≤1 解析：选D　a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，由Δ＝(a－1)2 ＋4(a2－1)＜0，解得－<a<1.综上可知－＜a≤1. 7．已知a>0，b>0，且a＋2b＝8，那么ab的最大值等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：选B　a>0，b>0，且a＋2b＝8， 则ab＝a·2b≤ ＝×16＝8. 当且仅当a＝2b＝4，取得等号，则ab的最大值为8.故选B. 8．定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0).当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 解析：选B　由新定义运算知， x⊗y＝， (2y)⊗x＝. 因为x>0，y>0， 所以x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时等号成立， 所以x⊗y＋(2y)⊗x的最小值是. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．设a，b，c为实数，且a<b<0，则下列结论不正确的是(　　) A．< B．ac2<bc2 C．> D．a2>ab>b2 解析：选ABC　对于A，令a＝－2， b＝－1， 则＝－，＝－1，故A错误； 对于B，当c＝0时，ac2＝bc2 ＝0， 故B错误； 对于C，令b＝－1，a＝－2， 则＜，故C错误； 对于D，∵a<b<0，∴a2>ab且ab>b2， 即a2>ab>b2，故D正确． 10．设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的所有可能取值是(　　) A．2 B．8 C．4 D．3 解析：选AB　∵A∪(∁UA)＝U， ∴|a－5|＝3，解得a＝2或8. 11．下列命题正确的是(　　) A．“a>1”，是“<1”的充分不必要条件 B．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析：选ABD　若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确，故选ABD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}，则((∁RS)∪T＝________． 解析：(∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}＝{－4，1}． 所以((∁RS)∪T＝{x|x≤－2或x＝1}． 答案：{x|x≤－2或x＝1} 13．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的范围是________． 解析：命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1； ∴a≤1. 答案：(－∞，1] 14．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－36(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝－x＋18－＝－＋18≤－2＋18＝－12＋18＝6，当且仅当x＝6时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为6万元． 答案：6　6 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|1<x<a}，其中a为实常数． (1)若a＝，求A∩B； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时，B＝， 又A＝{x|1<x<2}， ∴A∩B＝. (2)当a≤1时，集合B＝∅满足B⊆A； 当a>1时，要使得B⊆A，则需满足a≤2，即满足此种情况的a的取值范围为1<a≤2. 综上可知，当B⊆A时，实数a的取值范围为{a|a≤2}． 16．(15分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}． (1)若a＝3，求(∁RP)∩Q； (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0. (1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}， ∁RP＝{x|x<4，或x>7}， Q＝{x|－2≤x≤5}， 所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}． (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则PQ， 即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2， 即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}． 17．(15分)已知函数f(x)＝(m＋1)x2－mx＋1. (1)当m＝5时，求不等式f(x)>0的解集； (2)若不等式f(x)>0的解集为R，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝5时，f(x)＝6x2－5x＋1， 不等式f(x)>0即为6x2－5x＋1>0， 解得该不等式的解集为. (2)由题意得(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R. 当m＝－1时，该不等式的解集为(－1，＋∞)，不符合题意，舍去； 当m<－1时，不符合题意，舍去； 当m>－1时，Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0. 解得2－2<m<2＋2. 综上所述，实数m的取值范围是(2－2，2＋2). 18．(17分)已知函数y＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，试求函数(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式y≤a成立，试求a的取值范围． 解：(1)依题意得＝＝x＋－4. 因为x>0，所以x＋≥2. 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，所以≥－2. 故当x＝1时，的最小值为－2. (2)因为y－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对于任意的x∈[0，2]，不等式y≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”． 不妨设z＝x2－2ax－1， 则只要z≤0在[0，2]上恒成立． 所以 解得a≥. 所以a的取值范围是. 19．(17分)已知集合S＝{1，2，…，n}(n≥3且n∈N*)，A＝{a1，a2，…，am}，且A⊆S.若对任意ai∈A，aj∈A(1≤i≤j≤m)，当ai＋aj≤n时，存在ak∈A(1≤k≤m)，使得ai＋aj＝ak，则称A是S的m元完美子集. (1)判断下列集合是否是S＝{1，2，3，4，5}的3元完美子集，并说明理由． ①A1＝{1，2，3}； ②A2＝{2，4，5}． (2)若A＝{a1，a2，a3}是S＝{1，2，…，7}的3元完美子集，求a1＋a2＋a3的最小值． 解：(1)①因为2＋2＝4<5，且4∉A1， 所以A1不是S的3元完美子集． ②因为2＋2＝4<5，且4∈A2， 而5＋5>4＋5>4＋4>2＋5>2＋4>5， 所以A2是S的3元完美子集． (2)不妨设a1<a2<a3. 若a1＝1，则a1＋a1＝2∈A，1＋2＝3∈A，1＋3＝4∈A，且4<7， 则集合A的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾； 若a1＝2，则a1＋a1＝4∈A，2＋4＝6∈A，而2＋6>7，符合题意， 此时a1＝2，a2＝4，a3＝6，即A＝{2，4，6}， 此时a1＋a2＋a3＝12. 若a1≥3，则a1＋a1≥6，于是a2≥4，a1＋a2≥7，若存在3元完美子集， 则a1＋a1＝a3或a1＋a2＝a3，即a3≥6，所以a1＋a2＋a3≥13. 综上，a1＋a2＋a3的最小值是12. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$