第3章 3.1 第2课时 指数函数的图象和性质的应用（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数图象和性质的应用，课前通过自主梳理底数互为倒数的指数函数关系及自主检验夯实基础，课堂围绕比较指数幂大小、解指数不等式、综合应用（奇偶性、单调性）展开，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算为核心，通过分类讨论（如比较大小的三种类型）、定义应用（奇偶性证明）等方法，结合实例归纳解题策略。课堂小结提炼反思感悟，助力学生系统掌握，提升分析解决问题能力，也为教师提供清晰教学流程与典型例题，提高教学效率。

　第三章 指数运算与指数函数 第2课时　指数函数的图象和性质的应用 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（二十二） Part 03 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） y轴 反 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） B 3 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业 （二十二） 点击进入word 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1. 能利用指数函数的性质和图象比较大小、解不等式． 2.掌握指数函数图象和性质的综合应用． 1.通过指数幂的大小比较，主要提升逻辑推理、数据分析的核心素养． 2.通过图象和性质的综合应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　指数函数y＝ax和y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)(a>0且a≠1)的图象与性质 [问题]　对于函数y＝ax和y＝bx；当a>b>0(a≠1，且b≠1)时，对一个实数x0，什么时候ax0>bx0？什么时候ax0<bx0？什么时候ax0＝bx0? 答：_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 由图象可知：①当a>b>1时，x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)， ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0； ②当1>a>b>0时，x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)，ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 综上可知，对a>b>0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；xo∈(－∞，0)，ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0. ►知识填空 底数互为倒数的两个指数函数的图象与性质的联系 　指数函数y＝ax和y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)(a>0且a≠1)的图象关于____对称，且它们在R上的单调性相__． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象都在x轴的上方．(　　) (2)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.(　　) (3)对于任意的x∈R，一定有3x>2x.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．若y1＝40.9，y2 ＝80.48，y3＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1.5)，则(　　) A．y1>y2>y3　　　　B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y1>y2 3．若指数函数f(x) ＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值等于3a，则a＝________． 4．函数y＝ax-1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 解析：由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，因而在函数y＝ax-1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax-1－1的图象恒过点(1，0). 答案：(1，0) 题型一　比较指数幂的大小 [例 1]　(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2.5)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　　　B．b<c<a C．c<b<a D．b<a<c (2)比较下列各组数的大小： ①0.80.5与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))) eq \s\up12(－0.4)；②20.3， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－0.4)，80.2； ③0.6-2与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up12(－\f(2,3)). 解析：(1)选D　因为a＝20.3，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2.5)＝22.5. 所以c>a>1.又因为b＝0.32<1， 所以c>a>b. (2)① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))) eq \s\up12(－0.4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(0.4)＝0.80.4， 因为函数y＝0.8x在定义域R内是减函数，又因为0.5>0.4，所以0.80.5<0.80.4，即0.80.5＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))) eq \s\up12(－0.4). ②∵ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－0.4)＝20.4，80.2＝20.6， 又y＝2x在定义域R上为增函数， ∴20.6>20.4>20.3，即80.2> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－0.4)>20.3. ③因为0. 6-2>0.60 ＝1， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up12(－\f(2,3))＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up12(0)＝1， 所以0.6-2> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up12(－\f(2,3)). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 比较幂值大小的三种类型及处理方法 　　 　比较下列各题中两个值的大小． (1)1.7-2.5，1.7-3；(2)1.70.3，1.50.3； (3)1.70.3，0.83.1. 解：(1)∵1.7>1， y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又－2.5>－3，∴1.7-2.5>1.7-3. (2)法一：∵1.70.3>0，1.50.3>0， 且 eq \f(1.70.3,1.50.3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,1.5))) eq \s\up12(0.3)， 又 eq \f(1.7,1.5)>1，0.3>0，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,1.5))) eq \s\up12(0.3)>1， ∴1.70.3>1.50.3. 法二：幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增， 又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3. (3)∵1.70.3>1.70＝1，0.83.1<0.80＝1， ∴1.70.3>0.83.1. 题型二　简单的指数不等式 [例 2]　(1)函数y＝ eq \r(32x-1－\f(1,9))的定义域为________； (2)解不等式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3x＋2)>22x+3. 解析：(1)由题意32x-1≥ eq \f(1,9)＝3-2， 故原不等式等价于2x－1≥－2， 解得x≥－ eq \f(1,2)， 因此原函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋∞)). 答案： eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) (2)原不等式等价于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3x＋2)> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2x－3)， 所以3x＋2<－2x－3，化简得5x<－5，解得x<－1. 所以原不等式的解集为(－∞，－1). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 解指数不等式问题时需注意的三点 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b(b>0)的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图象求解．　　 　解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5(a>0，且a≠1). 解：①当0<a<1时，∵a2x+1≤ax-5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. ②当a>1时，∵a2x+1≤ax-5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}． 题型三　指数函数性质的综合应用 [例 3]　已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝ eq \f(5,2)，f(2)＝ eq \f(17,4). (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x)的值域． 解：(1)∵ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(1)＝\f(5,2)，,f(2)＝\f(17,4)，)) ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(1)＝2＋2a＋b＝\f(5,2)，,f(2)＝22＋22a＋b＝\f(17,4)，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0.)) 故a，b的值分别为－1，0. (2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (3)设任意x1<x2，且x1，x2∈[0，＋∞)， 则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2－x1)－(2x2＋2－x2)＝(2x1－2x2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x1)－\f(1,2x2)))＝(2x1－2x2)· eq \f(2x1＋x2－1,2x1＋x2). 因为x1<x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，所以2x1－2x2<0，2x1＋x2>1， 所以2x1＋x2－1>0， 则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞). 　 eq \a\vs4\al([反思感悟]) 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质． 1．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)－2x，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是减函数 C．是偶函数，且在R上是增函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 答案：B 2．已知定义在R上的函数f(x)＝m－ eq \f(2,5x＋1). (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)若f(x)是奇函数，求m的值； (3)若f(x)的值域为D，且D⊆[－3，1]，求m的取值范围． 解：(1)判断：函数f(x)在R上单调递增． 证明如下： 设x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝m－ eq \f(2,5x1＋1)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2,5x2＋1))) ＝ eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x1－5x2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x2＋1))). ∵x1<x2， ∴5x1＋1＞0，5x2＋1＞0，5x1－5x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增 (2)∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(x)＋f(－x)＝m－ eq \f(2,5x＋1)＋m－ eq \f(2,5－x＋1)＝0， 即2m－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5x＋1)＋\f(2×5x,5x＋1)))＝0， 整理得2m－2＝0， ∴m＝1. (3)由5x>0⇒0< eq \f(2,5x＋1)<2⇒m－2<m－ eq \f(2,5x＋1)<m， 则D＝(m－2，m)， ∵D⊆[－3，1]， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－2≥－3，,m≤1，))解得－1≤m≤1， ∴m的取值范围是[－1，1]. [课堂小结] 指数函数性质的主要应用 一是单调性的应用(大小比较和解简单的指数不等式)；二是指数函数图象与性质的综合应用(研究函数的奇偶性、单调性等都要回归定义来解决). $$