第3章 3.1 第1课时 指数函数的概念 指数函数的图象和性质（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象及性质，通过细胞分裂实例引入，从具体问题抽象出函数关系，引导学生自主梳理定义，再结合y=2^x与y=(1/2)^x等画图探究，构建从实例到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动学习，结合自主检验与题型分类，通过实例培养数学眼光的抽象能力，画图探究发展几何直观，定义域值域问题提升数学运算素养。学生能循序渐进构建知识，教师可直接利用结构化内容提升教学效率。

　第三章 指数运算与指数函数 §3　指数函数 第1课时　指数函数的概念　指数函数的图象和性质 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（二十一） Part 03 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 唯一 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） R (0，＋∞) (0，1) 0<y<1 y>1 y>1 0<y<1 增 正无穷大 0 减 0 正无穷大． 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） B 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业 （二十一） 点击进入word 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第三章 指数运算与指数函数 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1. 理解指数函数的概念，能画出指数函数的图象． 2.初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域问题． 1.通过指数函数的图象和性质的探究，培养直观想象的核心素养． 2.通过求指数函数的定义域、值域，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　指数函数的定义 [问题]　细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系？ (2)上述对应关系是函数关系吗？为什么？ 答：________________________________________________ ►知识填空 　当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有____确定的正数y与之对应．因此，y＝____是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． (1)y＝2x，x∈N＋. (2)是．符合函数的定义． ax � EMBED Word.Document.8 \s ��� _1796796300.doc 知识点二　指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 [问题]　分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)的图象及y＝3x与y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)的图象，并回答下列问题： (1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ 答：_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ (2)图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ 答：______________________________________________________ 它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于 1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数． 不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0，1). (3)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) 答：_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 定义域为R，值域为{y|y>0)，过(0，1)点，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数， 没有最值，既不是奇函数也不是偶函数． ►知识填空 指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 续表 性 质 ． (1)定义域：__． (2)值域：____________ (3)过定点：__________，即x＝0时，y＝1. (4)当x<0时，__________；当x>0时，______． (4)当x<0时，______；当x>0时，__________ (5)在R上是__函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于________；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于__． (5)在R上是__函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于__；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于________． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x5是指数函数．(　　) (2)y＝2ax+2(a>0，且a≠1)是指数函数．(　　) (3)y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)是单调递减函数．(　　) (4)若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则函数的解析式为________． 4．函数y＝4x＋2的值域是________． 答案：f(x)＝2x 答案：(2，＋∞) 题型一　指数函数的概念 [例 1]　(1)(多选)下列函数中不是指数函数的是(　　) A．y＝x eq \s\up16(\f(1,3))　　　　　　　B．y＝(－3)x C．y＝－3x D．y＝(π－3)x 解析：选ABC　由于y＝x eq \s\up16(\f(1,3))自变量出现在底数位置，因而不是指数函数；y＝(－3)x的底数是－3，不符合定义，因而不是指数函数；y＝－3x中，3x前面的系数不是1，因而不是指数函数，只有D是指数函数． (2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________． 解析：由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得a＝2. 答案：2 eq \a\vs4\al([反思感悟]) 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求(大于0且不等于1). (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求． 　若指数函数y＝f(x)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,16)))，则 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝________． 解析：设f(x)＝ax，则a-2＝ eq \f(1,16)＝4-2，解得a＝4，则f(x)＝4x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝4－ eq \f(3,2)＝2-3＝ eq \f(1,8). 答案： eq \f(1,8) 题型二　指数函数的图象问题 [例 2]　(1)如右图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c (2)函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？ 解析：(1)选B　法一：①②中函数的底数小于1且大于0，在y轴右边，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有b<a，③④中函数的底数大于1，在y轴右边，底数越大，图象向上越靠近y轴，故有d<c.故选B. 法二：作直线x＝1，与函数①，②，③，④的图象分别交于：A，B，C，D四点，将x＝1代入各个函数可得函数值等于底数值，所以交点的纵坐标越大，则对应函数的底数越大，由图可知b<a<1<d<c.故选B. (2)∵y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(－x)，x＜0，)) ∴其图象由y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)(x≥0)和y＝2x(x＜0)的图象合并而成． 而y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)(x＞0)和y＝2x(x＜0)的图象关于y轴对称，所以原函数的图象关于y轴对称． 由图象可知值域是(0，1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 1．函数y＝ax－ eq \f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 2．若函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b为实数)的图象在第一、三、四象限，则有(　　) A．0<a<1，b>1 B．0<a<1，b<1 C．a>1，b<1 D．a>1，b>1 答案：D 解析：选D　由题意，画出函数的草图， 结合图象可得a>1，1－b<0， ∴a>1，b>1. 题型三　指数函数的定义域、值域问题 [例 3]　求下列函数的定义域与值域． (1)y＝2 eq \s\up16(\f(1,x－4))；(2)y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|). 解： (1)∵由x－4≠0，得x≠4， ∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠4}． ∴ eq \f(1,x－4)≠0，∴ eq \f(1,2x－4)≠1. ∴y＝2 eq \s\up16(\f(1,x－4))的值域为(0，1)∪(1，＋∞). (2)函数的定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(|x|)≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(0)＝1. 故y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)的值域为[1，＋∞). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝af(x)型还是y＝f(ax)型，前者的定义域与f(x)的定义域一致，求后者的定义域时，往往转化为解指数不等式(组). (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．　 　求下列函数的定义域和值域． (1)y＝3 eq \r(x2－2x)； (2)y＝2 eq \s\up16(\f(x,x－1)) . 解：(1)∵y＝3 eq \r(x2－2x)， ∴x2－2x≥0， ∴x≤0或x≥2， ∴定义域为{x|x≤0或x≥2}， 由于 eq \r(x2－2x)≥0， ∴y＝3 eq \r(x2－2x)≥30＝1，即y≥1， ∴值域为[1，＋∞). (2) ∵y＝2 eq \s\up16(\f(x,x－1))， ∴x－1≠0，∴x≠1， ∴定义域为{x|x≠1}， 由于 eq \f(x,x－1)＝ eq \f((x－1)＋1,x－1)＝1＋ eq \f(1,x－1)≠1， ∴2 eq \s\up16(\f(x,x－1))≠2，且2 eq \s\up16(\f(x,x－1))＞0， 即y>0且y≠2， ∴值域为(0，2)∪(2，＋∞). [课堂小结] 1．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1. 2．指数函数y＝ax(a＞1且a≠1)的性质分底数a＞1，0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的． $$