第1章 3.2 第1课时 基本不等式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第一章 预备知识 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（九） Part 03 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） a2＋b2＞2ab. ≥ a＝b 均值不等式 大于或等于 大于或等于 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） C 2 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） B 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 课时 作业（九） 点击进入word 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.理解基本不等式的证明过程． 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小 1.借助基本不等式的证明过程，培养逻辑推理的核心素养． 2.通过利用基本不等式比较大小或证明不等式，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　基本不等式 [问题1]　我们把“风车”造型抽象成平面图形，如下图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？ 答：____________________ eq \r(a2＋b2)，a2＋b2，2ab. [问题2]　根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？ 答：________________ ►知识填空 1．概念：如果a≥0，b≥0，那么 eq \f(a＋b,2) __ eq \r(ab)，当且仅当______时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中______称为a，b的算术平均值，____称为a，b的几何平均值，因此基本不等式又称为__________． 2．文字叙述：两个非负实数的算术平均值__________它们的几何平均值． 3．几何意义：半径__________半弦． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)成立的条件是相同的．(　　) (2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2 eq \r(ab).(　　) (3)当a＞0，b＞0时，ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2).(　　) (4)函数y＝x＋ eq \f(1,x)的最小值是2.(　　) 2．给出下列条件： ①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中可使 eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2成立的个数是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 3．不等式 eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 解析：选C　根据基本不等式的条件，a，b同号，则①③④符合要求，故选C. 题型一　对基本不等式的理解 [例 1]　给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴ eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴ eq \f(4,a)＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a)＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0， ∴ eq \f(x,y)＋ eq \f(y,x)＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))) ≤－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2. 其中正确的推导为(　　) A①②　　　　　　　　　　B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：选B　①∵a，b为正实数， ∴ eq \f(b,a)， eq \f(a,b)为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴ eq \f(4,a)＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的． ③由xy＜0，得 eq \f(x,y)， eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将整体 eq \f(x,y)＋ eq \f(y,x)提出负号后， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正：a，b均为正数； 二正：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解．　　 　若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞ eq \f(a＋b,2)＞ eq \r(ab) B．a＞ eq \f(a＋b,2)＞ eq \r(ab)＞b C．a＞ eq \f(a＋b,2)＞b＞ eq \r(ab) D．a＞ eq \r(ab)＞ eq \f(a＋b,2)＞b 题型二　利用基本不等式直接求最值 [例 2]　(1)当x>0时，求 eq \f(12,x)＋4x的最小值； (2)当x<0时，求 eq \f(12,x)＋4x的最大值 解：(1)∵x>0，∴ eq \f(12,x)>0，4x>0. ∴ eq \f(12,x)＋4x≥2 eq \r(\f(12,x)·4x)＝8 eq \r(3). 当且仅当 eq \f(12,x)＝4x， 即x＝ eq \r(3)时取最小值8 eq \r(3)， ∴当x>0时， eq \f(12,x)＋4x的最小值为8 eq \r(3). (2)∵x<0，∴－x>0. 则 eq \f(12,－x)＋(－4x)≥2 eq \r(\f(12,－x)·(－4x))＝8 eq \r(3)， 当且仅当 eq \f(12,－x)＝－4x时， 即x＝－ eq \r(3)时取等号． ∴ eq \f(12,x)＋4x≤－8 eq \r(3). ∴当x<0时， eq \f(12,x)＋4x的最大值为－8 eq \r(3). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 在利用基本不等式求最值时的注意点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是检验等号成立的条件是否具备．　　 　已知x>0，y>0，xy＝9，则x＋3y的最小值为(　　) A．8 B．6 C．8 eq \r(3) D．6 eq \r(3) 解析：选D　利用基本不等式，x＋3y≥2 eq \r(x·3y)＝2 eq \r(3xy)＝6 eq \r(3)，当且仅当x＝3y＝3 eq \r(3)时，等号成立，故选D. 题型三　利用基本不等式证明不等式 [例 3]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， 求证： eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＋ eq \f(1,c)＞9. 证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＋ eq \f(1,c) ＝ eq \f(a＋b＋c,a)＋ eq \f(a＋b＋c,b)＋ eq \f(a＋b＋c,c) ＝3＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(c,a)＋ eq \f(a,b)＋ eq \f(c,b)＋ eq \f(a,c)＋ eq \f(b,c) ＝3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c))) ≥3＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2 eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2 eq \r(\f(c,b)·\f(b,c)) ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c时等号成立， 又a，b，c互不相等，∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＋ eq \f(1,c)＞9. eq \a\vs4\al([反思感悟]) (1)条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． (2)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．　　 　设a，b，c都是正数，试证明不等式： eq \f(b＋c,a)＋ eq \f(c＋a,b)＋ eq \f(a＋b,c)≥6. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以 eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2， eq \f(c,a)＋ eq \f(a,c)≥2， eq \f(b,c)＋ eq \f(c,b)≥2， 所以 eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)＋ eq \f(c,a)＋ eq \f(a,c)＋ eq \f(b,c)＋ eq \f(c,b)≥6， 当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(a,b)， eq \f(c,a)＝ eq \f(a,c)， eq \f(c,b)＝ eq \f(b,c)， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以 eq \f(b＋c,a)＋ eq \f(c＋a,b)＋ eq \f(a＋b,c)≥6. [课堂小结] 　应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a＞0，b＞0时，才会有 eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2).对于“当且仅当……时，‘等号’成立．”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时， eq \f(a＋b,2)＝ eq \r(ab)；另一方面，当 eq \f(a＋b,2)＝ eq \r(ab)时，也有a＝b. $$