课时梯级训练(11) 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(11)　基本不等式 1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是 (　　) A．a－b<0 B．0<<1 C．< D．ab>a＋b C　解析：∵a>b>0，∴由基本不等式知，<一定成立．故选C. 2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是 (　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C．＋＞ D．＋≥2 D　解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，ab＞0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2，即＋≥2恒成立．故选D. 3．已知a，b∈(0，1)，且a≠b，下列各式中最大的是 (　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b D　解析：∵a，b∈(0，1)，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b. 又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大．故选D. 4．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是 (　　) A．＋<1 B．＋≥1 C．＋<2 D．＋≥2 B　解析：因为ab≤()2≤()2＝4， 所以＋≥2≥2×＝1， 当且仅当＝且ab＝4，即a＝b＝2时等号成立．故选B. 5．(多选)下列选项正确的是 (　　) A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab B．对任意a，b∈R，a＋b≥2均成立 C．若a≠0，则a＋≥2＝2 D．若a>0，b>0，则ab≤()2 AD　解析：任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，所以选项A正确；当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立，所以选项B错误；只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立，所以选项C错误；因为a>0，b>0，≤，所以ab≤()2，所以选项D正确．故选AD. 6．(多选)设a，b是正实数，则下列各式中成立的是 (　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≤ ABC　解析：对于A，a>0，b>0，由基本不等式得a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，故A成立； 对于B，a>0，b>0，则＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故B成立； 对于C，a>0，b>0，则≥＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故C成立； 对于D，a>0，b>0，因为－＝≥0， 所以≥，故D不成立． 故选ABC. 7．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______．(填序号) ①≥； ②a－b≥2； ③a2＋b2≥2ab; ④a2－b2≥2ab. 答案：③　解析：根据≥ab，≥成立的条件，知①②④错误，只有③正确． 8．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________________． 答案：≤　解析：∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立，即≤. 9．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明：由均值不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.当且仅当a2＝b2＝c2时等号成立． 10．已知a>0，b>0，则“a＋b≤2”是“ab≤1”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：当a>0，b>0时，a＋b≥2， 则当a＋b≤2时，有2≤a＋b≤2，解得ab≤1，充分性成立； 当a＝2，b＝时，满足ab≤1，但此时a＋b＝>2，必要性不成立． 综上所述，“a＋b≤2”是“ab≤1”的充分不必要条件． 故选A. 11．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b(a≠b)；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b，则______车先到达B地． 答案：甲　解析：设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2， 则t1＝，t2＝＋. 方法一　因为t1－t2＝－(＋)＝＝－<0，即t1<t2，所以甲先到达B地． 方法二　＝，因为a≠b，所以(a＋b)2>4ab，从而<1，即t1<t2，所以甲先到达B地． 12．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：(－1)(－1)(－1)≥8. 证明：因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，得(－1)(－1)(－1)≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 13．若实数a，b满足2a2＋2b2－3ab＝1，则 (　　) A．a＋b≥2 B．a＋b≤2 C．a2＋b2≤1 D．a2＋b2≥2 B　解析：a，b∈R，由2a2＋2b2－3ab＝1，得a2＋b2－＝ab，于是(a＋b)2－＝ab≤×()2，整理得(a＋b)2≤4，当且仅当a＝b时等号成立， 解得－2≤a＋b≤2，A错误，B正确； 又a2＋b2－＝ab≤×，即a2＋b2≤2，当且仅当a＝b时等号成立，C，D错误．故选B. 14．已知a，b，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c). 证明：因为≤，所以≥＝(a＋b)(当且仅当a＝b时，等号成立)； 同理，≥(b＋c)(当且仅当b＝c时，等号成立)；≥(c＋a)(当且仅当c＝a时，等号成立). 三式相加得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时，等号成立). 学科网（北京）股份有限公司 $$