第1章 2.1 第2课时 充要条件（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第一章 预备知识 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 第2课时　充要条件 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（六） Part 03 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） p⇒q q⇒p 充要条件 p⇔q p⇒q，q⇒p 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 答案：B 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 课时 作业 （六） 点击进入word 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.理解充要条件的意义． 2.掌握判断、证明充要条件的一般方法． 1.借助充要条件的理解、判定与证明，提升直观想象、逻辑推理的核心素养． 2.通过充要条件的应用，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　充要条件 [问题1]　若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A是B的真子集吗？ 答：不一定，A⊆B.充分条件包括充分必要条件和充分不必要条件． [问题2]　若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？ [问题3]　如何证明“p是q的充要条件”？ 答：A＝B 答：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和 “若q，则p”都是真命题． ►知识填空 1．充要条件 一般地，如果 ，且 ，那么称p是q的充分且必要条件，简称 ，记作 2．常见的四种条件 (1)充分不必要条件，即，而 (2)必要不充分条件，即 ． (3)充要条件，即 ． (4)既不充分又不必要条件，即 [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)若 和有一个成立，则p一定不是q的充要条件． (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件． 3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x＜0，y＜0　　　　　B．x＜0，y＞0 C．x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0 4．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空： (1)a＋b＝0是a2＋b2＝0的___________________________________ (2)x＝1或x＝2是x－1＝ eq \r(x－1)的_____________________________ 答案：(1)必要不充分条件 (2)充要条件 题型一　充分、必要、充要条件的判断 [例 1]　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x＞1，q：x2＞1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab＞0. 解：(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab＞0”， 即p不能推出q. 而当ab＞0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 　下列各题中，p是q的什么条件(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)? (1)p：四边形对角形互相平行，q：四边形是矩形； (2)p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0； (3)p：m＞0，q：方程x2＋x－m＝0有实根． 解：(1)∵四边形对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形对角线互相平行， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵x＝1或x＝2⇒x2－3x＋2＝0，x2－3x＋2⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件． (3)∵m＞0⇒方程x2＋x－m＝0的Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0 ⇒/ m＞0， ∴p是q的充分不必要条件． 题型二　充要条件的证明 [例 2]　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. (1)充分性(p⇒q)：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. (2)必要性(q⇒p)： 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. 所以有a×12＋b×1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. eq \a\vs4\al([反思感悟]) 充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 　已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明：充分性：若a2－b2＝1成立， 则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1， 所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件． 必要性：a4－b4－2b2＝1成立， 则a4－(b2＋1)2＝0， 即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0. 因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0， 所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 题型三　充要条件的应用 [例 3]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，)) 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 利用条件的充要性求解参数问题，关键是将条件属性转化为适当的解题思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解．　　 1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB. 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.)) 解不等式组得m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 2．已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：设A＝{x|x＜－2或x＞3}，B eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,4)))))， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－ eq \f(m,4)≤－2，即m≥8. 所以m的取值范围是[8，＋∞). [课堂小结] 1．要证明充要条件，首先要分清哪是条件，哪是结论，然后用条件推结论，再由结论推条件，最后下结论． 2．利用充要条件求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． 3．端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． $$