第1章 1.1 集合的概念与表示（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第一章 预备知识 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） §1　集　合 §1.1　集合的概念与表示 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（一） Part 03 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 全体 A，B，C，… 对象 a，b，c，… 不相同 高一(6)班是这个集合的元素，高二(3)班不是这个集合的元素． 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） a属于集合A a∈A a∉A a属于集合A 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） N N＋ N* Z Q R 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 一一列举 一般符号 范围 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 空集 ∅ [a，b] 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a) R 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 答案：BD 答案：D 答案：{x|2≤x≤6} 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 答案：A 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 答案：B 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 课时 作业 点击进入word 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1. 通过实例了解集合的含义． 2. 理解元素与集合的属于关系． 3. 能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合． 4.理解区间的概念． 1.通过集合概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.通过根据元素与集合的关系解决相关问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　元素与集合的相关概念 [问题1]　 高一(2)班的全体男同学能构成一个集合吗？高一(2)班的全体高个子同学能构成一个集合吗？ 答：________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 构成集合的元素应是确定的，不能含混不清，全体男同学是确定的，能构成一个集合；而“高个子”标准不明确，故全体高个子同学不能构成一个集合． [问题2]　构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？ 答：________________________________________________________ 2个．集合中的元素不能重复． ►知识填空 1．集合：把指定的某些对象的____称为集合．通常用大写英文字母______________表示． 2．元素：集合中的每一个____叫作这个集合的元素．通常用小写英文字母______________表示． 3．规定：一个集合中的任何两个元素都______． 知识点二　元素与集合的关系 [问题]　某中学2022年高一年级30个班构成一个集合．高一(6)班是这个集合中的元素吗？高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 答：______________________________________________________________ ►知识填空 1．属于：如果元素a在集合A中，就说____________，记作______． 2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说______________，记作______． 知识点三　常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 __ __或__ __ __ __ 知识点四　集合的表示及分类 [问题]　 “高铁、支付宝、共享单车和网购”被誉为中国新四大发明，你能用集合表示吗？ 答：____________________________________________________________ 能，可以一一列举出，表示为{高铁，支付宝，共享单车，网购}． ►知识填空 1．列举法：把集合中的元素________出来写在花括号内的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}． 2．描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法，一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写上集合中元素的________及____，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．集合的分类 集合 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(有限集（含有有限个元素的集合）,无限集（含有无限个元素的集合）)) 4．空集 把不含任何元素的集合叫作____，记作__． 知识点五　区间 ►知识填空 1．区间的概念及表示 设a，b是两个实数，且a<b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ______ {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) 续表 {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) _________ (－∞，a] _______ (－∞，＋∞) 定义 {x|x≥a} {x|x＞a} ________ {x|x＜a} ________ [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　) (2)接近于0的数可以组成集合．(　　) (3){x∈Z|x＝2k，k∈Z}与{x∈Z|x＝2k，k∈N}是相等的集合．(　　) (4)集合{(1，2)}和{1，2}表示同一个集合．(　　) (5){x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．0∈N＋　　　　　　　B． eq \r(2)－ eq \r(7)∉Q C．0∉Q D．8∈Z 3．已知集合M＝{1，a}，则实数a满足的条件是(　　) A．a∈R B．a∈Q C．a＝1 D．a≠1 4． 区间[2，6)可用描述法表示为__________． 题型一　元素与集合的概念 [例 1]　(多选)下列结论正确的是(　　) A．所有的等腰三角形构成一个集合 B．倒数等于它自身的实数构成一个集合 C．质数的全体构成一个集合 D．由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合 解析：选ABC　A正确．B正确，若 eq \f(1,a)＝a，则a2＝1，所以a＝±1，能构成集合．C正确，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在．D不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合只能含有4个元素．故选A、B、C. eq \a\vs4\al([反思感悟]) 判断元素能否构成集合，关键是看是否有一个明确的标准来衡量这些对象，如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合． 　下列说法中，正确的是(　　) A．“不超过20的非负数”构成一个集合 B．用实数2，0，2，1组成的集合有4个元素 C．“ eq \r(3)的近似值的全体”构成一个集合 D．由甲、乙、丙三人组成的集合与丙、乙、甲三人组成的集合不同 题型二　元素与集合的关系、集合中元素的特征 [例 2]　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；② eq \r(3)∉Q；③0∈N＋；④|－4|∉N＋. A．1　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 解析：(1)π是实数，故①正确； eq \r(3)是无理数，故②正确；③0是自然数，但0∉N＋，③不正确；|－4|＝4∈N＋，故④不正确． (2)因为－3∈A， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1， 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3和－1，符合要求； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时，集合A含有两个元素－4，－3，符合要求． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 答案：(1)B　(2)0或－1 eq \a\vs4\al([反思感悟]) 由集合中元素的特性求解字母取值 (范围)的步骤 1．设不等式3－2x<0的解集为M，下列结论正确的是(　　) A．0∈M，2∈M B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M 2．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 解析：选B　由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾；当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0，2，3，故选B. 题型三　集合的表示方法 [例 3]　(1)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________． (2)用适当的方法表示下列集合． ①方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合． ②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合． ③不等式x－2>6的解的集合． ④大于0.5且不大于6的自然数构成的集合． 解析：(1)当m＝0时，方程mx2＋2x＋m＝0为2x＝0，解得x＝0，A＝{0}； 当m≠0时，若集合A只有一个元素，则一元二次方程mx2＋2x＋m＝0有相等实根，所以判别式Δ＝22－4m2 ＝0，解得m＝±1； 综上，当m＝0或m＝±1时，集合A只有一个元素． 所以m的值组成的集合B＝{－1，0，1). 答案：(1){－1，0，1} (2)①方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1，2}． ②{x|x＝2n＋1且x<1000，n∈N). ③{x|x>8}． ④{1，2，3，4，5，6}． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 1．在用列举法表示集合时的关注点 (1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么． (2)元素不重复，元素无顺序． 2．用描述法表示集合应注意的四点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内，例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．　　 1．有下面六种表示方法： ①{x＝－1，y＝2}；② eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1((x，y)\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))))； ③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}； ⑥{x，y|x＝－1，或y＝2}，其中能正确表示方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,x－y＋3＝0))的解集的是________(填序号). 答案：②⑤ 2．用适当的方法表示下列集合： (1)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (2)函数y＝2x－1的图象与坐标轴的交点组成的集合； (3)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 解：(1)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}． (2)函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，与y轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1((0，－1)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)))). (3)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}． (4)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． [课堂小结] 1．集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求． 2．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，应分类讨论时，必须明确分类标准，才能做到不重不漏． 3．在用描述法表示集合时应注意弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式． $$