精品解析：2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学中考一模数学试题

2025年陕西省初中学业水平考试模拟试卷（一） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法法则进行计算后判断即可． 【详解】解：； 故选：A． 2. 如图，，，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质、三角形外角性质等知识，熟记平行线性质及三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键． 由，根据两直线平行内错角相等得到，在中，是的一个外角，代值求解即可得到答案， 【详解】解：， ， 在中，是的一个外角，则， ∵， ， 故选：C． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，由单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，勾股定理，正弦函数，由勾股定理得，再由正弦函数定义即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， 故选：C． 5. 对于正比例函数和一次函数，若，则这两个函数图象的交点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图像的交点与二元一次方程组的解，判断点所在象限，解题的关键是求出交点坐标． 联立函数解析式，解二元一次方程组，求出交点坐标 ，根据，判断交点所在象限即可． 【详解】解：由， 解得，， ∴正比例函数和一次函数的交点坐标为， ∵， ∴，， ∴这两个函数图象的交点一定在第四象限， 故选：． 6. 如图，在中，对角线，相交于点，，，过点作交于点，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质．先根据平行四边形性质和中位线定理求出的长度，再通过相似三角形的性质求出的长度，最后用减去得到的长度． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， ∴， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直径所对圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得的度数，根据平行线的性质，可得的度数，从而可得的度数，根据圆周角定理，即可得的度数． 【详解】解：∵在中，是的直径，是上的一点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理． 8. 已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次函数的性质，由二次函数的性质得，，求出、的值，代值计算即可． 【详解】解：时，函数取最大值3， ， ， 解得：，， ， 故选：A． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若一个无理数大于－3且小于1，则这个无理数是_____．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义、大小举例即可． 【详解】解：大于且小于1的无理数可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐标为，再根据平移后点O的对应点的坐标为，得点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵矩形的顶点， ∴点A的坐标为， ∵平移后点O的对应点的坐标为， ∴点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 11. 如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为_____． 【答案】##72 度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴五边形的各边都相等， ∴的度数为， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且．若一反比例函数的图象交边于点，过点作轴，垂足为．当时，这一反比例函数的图象交边于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先求出反比例函数解析式，再联立方程组求出点E坐标，根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：∵为直角三角形，且， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵为直角三角形，且 ∴， 由条件可知直线的解析式为， 联立方程组， 解得（负值已舍去）， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，，点为菱形内的一点，且的面积为12．当时，的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求，可得点P在上，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E，于H， ∵， ∴， ∵的面积为12，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在上， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算和负整数指数幂，化简绝对值等知识．先化简绝对值，计算负整数指数幂、二次根式的乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 15. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将解集表示在数轴上如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先去括号，再移项、合并同类项，系数化为1，得到解集，然后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， ， ． 将解集表示在数轴上如图所示． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 17. 如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作角平分线．作的平分线，由等腰三角形的性质以及勾股定理即可得解． 【详解】解：由作图知，是的平分线， ∵， ∴，， ∴． 18. 如图，在同一条直线上，点在上，．求证：． 【答案】 证明：如图所示：   根据三角形的外角性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，先根据三角形的外角性质证明∠DEF=∠ACF，再根据得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 19. 月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 【答案】甲、乙两组家庭共植树棵． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵， 根据题意得：， 解得． ∴． 答：甲、乙两组家庭共植树棵． 20. 李华和张丽相约一起到图书馆学习，她们被分到同一张书桌，书桌有四个座位，如图所示． （1）李华被随机分到A座位的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求李华和张丽被随机分到相邻座位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中李华被随机分到A座位的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及李华和张丽被随机分到相邻座位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中李华被随机分到A座位的结果有1种， ∴李华被随机分到A座位的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 张丽 李华 A B C D A B C D 由上表知，共有12种等可能结果，其中李华和张丽被随机分到相邻座位的结果有8种． 李华和张丽被随机分到相邻座位的概率为． 21. 已知：当人体在进行中等强度运动时，心率将从静息心率逐渐上升到稳态心率．在这一过程中，心率(单位：次/)与运动时间(单位：)大致存在一次函数关系．热爱运动的小李同学通过佩戴的心率传感器记录了自己运动一段时间内的数据，如下表： 运动时间 心率(次/) （1）根据上表数据，请求出小李的心率与运动时间之间的函数关系式； （2）求小李从运动开始多久时心率达到次/． 【答案】（1） （2）小李从运动开始时心率达到次/ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）当时，求出对应t的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设小李的心率与运动时间之间的函数关系式为． 将(1,69)和(3,87)代入，得 ． 【小问2详解】 当时，．解得． 小李从运动开始时心率达到次/． 22. 校航模队的成员宇轩同学参加了暑期“红色之旅”研学活动，在取得相关部门对于研学活动的准许后，宇轩计划利用航模搭载的扫描仪测量延安宝塔山上岭山寺塔的高度，采集的数据如下：宇轩在塔前的水平地面处，先将航模竖直上升至距离水平地面点的点处，测得塔顶处的仰角为；再将航模竖直上升至距离点的点处，测得塔顶处的俯角为．已知图中各点均在同一平面内．请根据上述数据，计算岭山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：） 【答案】岭山寺塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作交于点，根据题意可得，从而可得，然后利用锐角三角函数的定义求出和的长，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点． ， ． ． 由题可知． 在中，， ． 在中，， ． 即． ． 又． ， ． ， ． 又四边形为矩形． ， 即岭山寺塔的高度约为． 23. 某校在3月5日开展了“学习雷锋精神”的主题教育活动，向全校2400名学生发起了“学习雷锋好榜样，人人助力福利院”爱心捐款活动．为了解学生的献爱心情况，校学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中“5元”所对应扇形的圆心角度数是_____，本次调查学生捐款金额的众数为_____元； （3）估计该校本次爱心捐款的总金额． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2），5 （3）估计该校本次爱心捐款的总金额为10176元 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据“2元”的人数和所占百分比可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组人数可得“1元”的人数，进而补全条形统计图； （2）用乘“5元”所占百分比即可得出扇形统计图中“5元”所对应扇形的圆心角度数，再根据众数的定义进行求解即可； （3）用总人数乘本次调查获取的样本数据的平均数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人）， “1元”的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：扇形统计图中“5元”所对应扇形的圆心角度数是：， ∵5元出现了20次，出现的次数最多， ∴本次调查获取的样本数据的众数是5元； 故答案为：，5； 【小问3详解】 解：（元）， 答：估计该校本次爱心捐款的总金额10176元． 24. 如图，内接于，，连接，，延长交于点，交的切线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接并延长交于点． 与相切于点， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于G点，如图，先判断垂直平分，再根据切线的性质得到，然后根据平行线的判定方法得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再计算出，接着证明，则利用相似比可求出的长；然后证明，利用相似三角形的性质得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：且， ， 由勾股定理，得， ， ， ，即， ， ， ，． ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 25. 周末，小明与几个同学去户外玩弹力球．小明站在点处并在距地面高的处抛出一个弹力球，弹力球的运动路线可看作抛物线的一部分，弹力球在距离小明水平距离处时到达最高点，此时弹力球距离地面，当弹力球落在斜坡上的点处时回弹，回弹后的运动路线可看作抛物线的一部分；其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处到达最高点．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡底部点与点的距离为，为． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）若弹力球从点回弹后，落在地面点处，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的表达式的求法，二次函数的图象与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意可得点A，D坐标分别为，，设抛物线的函数表达式为，将点坐标代入即可，过点B作轴于点F，由题意得，求出，从而可得点B的坐标； （2）由抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，顶点纵坐标为3，以及点B坐标可求出抛物线的表达式，进而求出点E坐标，即可得的长． 【小问1详解】 解：由题意得点A，D坐标分别为，， 设抛物线的函数表达式为， 则有， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 如图1，过点B作轴于点F， ∵， ∴， 由勾股定理得： ∴， ∴， ∴点B坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意，得抛物线顶点的纵坐标为3， 又开口大小和方向与抛物线相同， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得：（舍）， 抛物线的表达式为， 令得， 解得：（舍去）， 的长为． 26. 问题提出 （1）如图①，线段，点为平面内一动点，连接．若，则线段的最小值为_____（用含的式子表示）． 问题探究 （2）如图②，某村街道的右侧有一块开阔的空地，当地政府为了弘扬传统文化、打造当地旅游特色村，将在此处建设一处文化街区．已知：空地边界与街道的夹角为，且，，，计划在空地的一角打造以“非遗文化创意手工展”为主题的长廊，长度为，若空地边界上的点为出入口，点分别为两个休息点，且为的中点，出入口到休息点各有一条通道．请问：是否存在满足条件的点，使得通道的长度之和最短？若存在，求此时的长度之和；若不存在，请说明理由．（图中各点均在同一平面内，街道与通道的宽、休息点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可； （2）如图所示，延长，交于点O，连接，求出，得到点N在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动，在上取点，使，连接交于点，连接，得到，如图，当点，P，N，O四点共线时，取得最小值，即的长度，然后解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵线段，点为平面内一动点，， ∴ ∴当点A，C，B三点共线时，有最小值，即； （2）如图所示，延长，交于点O，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为的中点 ∴ ∴点N在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动 在上取点，使，连接交于点，连接， ∵ ∴点和点M关于对称 ∴ ∴ ∴如图，当点，P，N，O四点共线时，取得最小值，即的长度 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，求圆外一点到圆上最值问题，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省初中学业水平考试模拟试卷（一） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图，，，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 对于正比例函数和一次函数，若，则这两个函数图象的交点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，在中，对角线，相交于点，，，过点作交于点，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若一个无理数大于－3且小于1，则这个无理数是_____．（写出满足条件的一个即可） 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为_____． 11. 如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且．若一反比例函数的图象交边于点，过点作轴，垂足为．当时，这一反比例函数的图象交边于点，则的长为_____． 13. 如图，在菱形中，，，点为菱形内的一点，且的面积为12．当时，的长为_____． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在同一条直线上，点在上，．求证：． 19. 月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 20. 李华和张丽相约一起到图书馆学习，她们被分到同一张书桌，书桌有四个座位，如图所示． （1）李华被随机分到A座位的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求李华和张丽被随机分到相邻座位的概率． 21. 已知：当人体在进行中等强度运动时，心率将从静息心率逐渐上升到稳态心率．在这一过程中，心率(单位：次/)与运动时间(单位：)大致存在一次函数关系．热爱运动的小李同学通过佩戴的心率传感器记录了自己运动一段时间内的数据，如下表： 运动时间 心率(次/) （1）根据上表数据，请求出小李的心率与运动时间之间的函数关系式； （2）求小李从运动开始多久时心率达到次/． 22. 校航模队的成员宇轩同学参加了暑期“红色之旅”研学活动，在取得相关部门对于研学活动的准许后，宇轩计划利用航模搭载的扫描仪测量延安宝塔山上岭山寺塔的高度，采集的数据如下：宇轩在塔前的水平地面处，先将航模竖直上升至距离水平地面点的点处，测得塔顶处的仰角为；再将航模竖直上升至距离点的点处，测得塔顶处的俯角为．已知图中各点均在同一平面内．请根据上述数据，计算岭山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：） 23. 某校在3月5日开展了“学习雷锋精神”的主题教育活动，向全校2400名学生发起了“学习雷锋好榜样，人人助力福利院”爱心捐款活动．为了解学生的献爱心情况，校学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中“5元”所对应扇形的圆心角度数是_____，本次调查学生捐款金额的众数为_____元； （3）估计该校本次爱心捐款的总金额． 24. 如图，内接于，，连接，，延长交于点，交的切线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 周末，小明与几个同学去户外玩弹力球．小明站在点处并在距地面高的处抛出一个弹力球，弹力球的运动路线可看作抛物线的一部分，弹力球在距离小明水平距离处时到达最高点，此时弹力球距离地面，当弹力球落在斜坡上的点处时回弹，回弹后的运动路线可看作抛物线的一部分；其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处到达最高点．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡底部点与点的距离为，为． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）若弹力球从点回弹后，落在地面点处，求的长． 26. 问题提出 （1）如图①，线段，点为平面内一动点，连接．若，则线段的最小值为_____（用含的式子表示）． 问题探究 （2）如图②，某村街道的右侧有一块开阔的空地，当地政府为了弘扬传统文化、打造当地旅游特色村，将在此处建设一处文化街区．已知：空地边界与街道的夹角为，且，，，计划在空地的一角打造以“非遗文化创意手工展”为主题的长廊，长度为，若空地边界上的点为出入口，点分别为两个休息点，且为的中点，出入口到休息点各有一条通道．请问：是否存在满足条件的点，使得通道的长度之和最短？若存在，求此时的长度之和；若不存在，请说明理由．（图中各点均在同一平面内，街道与通道的宽、休息点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $