精品解析：2025年福建省 泉州市第六中学九年级最后一考数学试题

2025年泉州六中中考模拟测试（数学） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图1，鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，由多根木条通过榫卯咬合而成，也是一种广泛流传的益智玩具．如图2是鲁班锁中的一个构件，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的中线，下列说法错误的是（ ） A. 和全等 B. 若平分，则是等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若点到和的距离相等，则 5. 为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班50名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 86 88 90 92 94 95 96 98 99 100 人数 ■ 2 ■ 1 4 5 6 6 10 7 下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是（ ） A. 中位数和众数 B. 中位数和平均数 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，点是的中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是，其中（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 10. 已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是___________． 12. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：_____． 13. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 14. 在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在第二象限，且，反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为______． 15. 将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 16. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图1，将等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个面积为16的正方形（如图2），则该等腰三角形底边上的高为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中x＝－2． 20. 国家卫健委发布的《体重管理指导原则（2024年版）》明确用身体质量指数来判断人体的健康状况，若一个人的体重w（千克），身高h（米），其计算公式是：，数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为了了解学生的身体健康情况，从学生体检的数据中随机抽取了部分学生的身高体重数据，计算他们的值，并填写在如下的表格．请根据表中提供的信息，回答问题． 数值 频数 12 55 9 d 频率 a b c （1）求的值及抽查的学生人数； （2）在抽查的学生中，身体肥胖的学生依次用，…表示，学校决定从这些身体肥胖的学生中，随机抽查两名学生了解他们的减肥计划，请用画树状图或列表法求恰好抽到学生和的概率． 21. 已知实数a，b，c满足． （1）求证：； （2）若，且，求的值． 22. 如图，在中，，于点D，为锐角． （1）将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 23. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果 如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，，且点C、D位于直线l的同侧，连接，交于点E，则线段的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　　； 依据2：　　； （2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长； （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知和R，求的一种作图方法，如图④，作，过点B作的垂线，并在垂线上截取，使点D与点A在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点E，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由． 24. 已知抛物线的图象经过点、． （1）求a，b满足的关系式； （2）若，该二次函数的图象与x轴交于C、D两点，点P是抛物线上点C，D之间的动点（不包括点C、D）． ①求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； ②点M、N是该二次函数图象上位于x轴两侧的两点（点M在点N的右侧且不在坐标轴上），点Q的坐标为，连接、、．若直线平分，求证：M、O、N三点共线． 25. 如图，锐角三角形内接于，，点平分，连接，，． （1）求证：． （2）过点作，分别交，于点，，交于点． ①若，，求线段的长（用含，的代数式表示）． ②若，试用一个等式表示，，，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年泉州六中中考模拟测试（数学） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图1，鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，由多根木条通过榫卯咬合而成，也是一种广泛流传的益智玩具．如图2是鲁班锁中的一个构件，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．利用俯视图的定义：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，找到从上面看所得到的图形即可，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线． 【详解】解：图2的俯视图如下： 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、积的乘方、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 4. 如图，是的中线，下列说法错误的是（ ） A. 和全等 B. 若平分，则是等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若点到和的距离相等，则 【答案】A 【解析】 【分析】仅根据无法证明和全等，选项说法错误；延长至点，使，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形性质得到，，结合平分，可证是等腰三角形，则选项说法正确；利用“边角边”证明，由全等三角形性质即可证是等腰三角形，则选项说法正确；若点到和的距离相等，即平分，根据选项可得是等腰三角形，结合三线合一定理即可证，则选项说法正确． 【详解】解：是的中线， ， 此时，但不一定等于， 无法证明和全等， 选项说法错误，符合题意，选项正确； 平分， ， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， 选项说法正确，不符合题意，选项错误； ， ， 在和中， ， ， ，即是等腰三角形， 选项说法正确，不符合题意，选项错误； 若点到和的距离相等， 点在的角平分线上，平分， 则根据选项可得是等腰三角形， 结合三线合一定理即可证， 选项说法正确，不符合题意，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三线合一、角平分线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形下的判定与性质． 5. 为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班50名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 86 88 90 92 94 95 96 98 99 100 人数 ■ 2 ■ 1 4 5 6 6 10 7 下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是（ ） A. 中位数和众数 B. 中位数和平均数 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算成绩为86、90分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择． 【详解】解：由表格数据可知， 成绩为86分、90分的人数为50-（2+1+4+5+6+6+10+7）=9（人）， 成绩为99分的，出现次数最多，因此成绩的众数是99， 成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数分别是96分、96分，因此中位数是96分， 因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，而平均数和方差均与被遮盖的数据相关， 故选：A． 【点睛】本题考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提． 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 7. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．如图，过作于，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 圆的内接正八边形的圆心角为，， ， ， 这个圆的内接正八边形的面积为， 故选：． 8. 如图，四边形内接于，点是的中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，平行线的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形，对角互补得，因为点是的中点，所以，结合圆周角定理，得，最后由两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：B 9. 已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是，其中（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的两根为，，可得，根据可得：；一元二次方程的两根为，，可得：，，从而可得：，根据平方的非负性可知的最小值为. 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ， ， ， ； 故是真命题； 一元二次方程的两根为，， ，， ，，， ，， ， 的最小值是， 故②是假命题． 故选：A． 10. 已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点关于对称， ①当时，则点关于对称轴对称， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 本题要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据球的总数和白球对应频率即可求得白球的个数． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右， ∴袋中白球的个数约为（个）， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在第二象限，且，反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，由，，可得，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，证得，根据相似三角形的性质得，设，求出，，利用反比例函数上点的坐标特征解决问题即可，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：∵，， ， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N， ，， ， ， ∴， ， 设， ，， ， ， 点B恰好在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 15. 将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图1，将等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个面积为16的正方形（如图2），则该等腰三角形底边上的高为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形的剪拼、等腰三角形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是利用转化思想．等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，设根据题意， ，解出，再求出正方形的边长与等腰三角形的底边上的高的比，再根据正方形的边长为4，即可求出答案． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ， 解得，（负值舍去）， 正方形的边长与等腰三角形的底边上的高的比为： ． ∵正方形的边长为 ∴等腰三角形的底边上的高为： 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值，零指数幂，算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关系．先利用绝对值，零指数幂，算术平方根化简，再进行加减即可． 【详解】解： 18. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，即可推出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中x＝－2． 【答案】解：原式=，． 【解析】 【详解】试题分析：先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后代x的值，进行二次根式化简． 解：原式=． 当x＝－2时，原式. 20. 国家卫健委发布的《体重管理指导原则（2024年版）》明确用身体质量指数来判断人体的健康状况，若一个人的体重w（千克），身高h（米），其计算公式是：，数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为了了解学生的身体健康情况，从学生体检的数据中随机抽取了部分学生的身高体重数据，计算他们的值，并填写在如下的表格．请根据表中提供的信息，回答问题． 数值 频数 12 55 9 d 频率 a b c （1）求的值及抽查的学生人数； （2）在抽查的学生中，身体肥胖的学生依次用，…表示，学校决定从这些身体肥胖的学生中，随机抽查两名学生了解他们的减肥计划，请用画树状图或列表法求恰好抽到学生和的概率． 【答案】（1）的值为，本次抽查的学生数为80； （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，新定义，频数除以频率＝总数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合频率之和为进行列式计算得，再运用频数除以频率得出总数，即可作答． （2）理解题意，然后画树状图，得出共有12种等可能结果，其中抽到和的结果有2种，再进行求解概率，即可作答． 【小问1详解】 解：由表格可知， ∴抽查的学生数为． 答：的值为，本次抽查的学生数为80； 【小问2详解】 解：依题意，身体肥胖的学生数． ∴从4名身体肥胖的学生中随机抽查两名学生，画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中抽到和的结果有2种， ∴P（恰好抽到和． 21. 已知实数a，b，c满足． （1）求证：； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题意可得，结合已知得倒，由不等式的性质可得，即可证明； （2）根据，得到，结合（1）中，求出，再根据，求出，进而得到，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在中，，于点D，为锐角． （1）将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）以点C为圆心，的长为半径画弧，以点A为圆心，的长为半径画弧与前弧交于点E，点E即为所求； （2）证明，推出，在中，，设，，由，推出，可得，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，点E即为所求； 【小问2详解】 解：连接， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果 如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，，且点C、D位于直线l的同侧，连接，交于点E，则线段的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　　； 依据2：　　； （2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长； （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知和R，求的一种作图方法，如图④，作，过点B作的垂线，并在垂线上截取，使点D与点A在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点E，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由． 【答案】（1）两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； （2）详见解析 （3）小明的方法正确，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解已知证明过程是解题关键． （1）根据相似三角形的判定和性质分析即可； （2）根据已知证明过程和图形作图即可； （3）证明，得到，再结合，，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； 【小问2详解】 如图，线段表示R的长． 在上取点M，使，在上取点N，使，连接，交于点E，过点E作于点F，则线段为所求线段． 【小问3详解】 小明的方法正确． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 24. 已知抛物线的图象经过点、． （1）求a，b满足的关系式； （2）若，该二次函数的图象与x轴交于C、D两点，点P是抛物线上点C，D之间的动点（不包括点C、D）． ①求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； ②点M、N是该二次函数图象上位于x轴两侧的两点（点M在点N的右侧且不在坐标轴上），点Q的坐标为，连接、、．若直线平分，求证：M、O、N三点共线． 【答案】（1） （2）①的面积的最大值为，；②见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出a，b满足的关系式即可； （2）①求出时的函数解析式，根据三角形的面积公式得到当点为顶点时，的面积最大，进行求解即可；②设，，作关于对称轴的对称点，易得，作轴，作轴，根据，得到，进而推出，设直线的解析式为，直线的解析式为，得到，结合，求出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过点、， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①由（1）知：，， ∴当时，， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于C、D两点， ∴， ∵， ∵点P是抛物线上点C，D之间的动点（不包括点C、D）， ∴当为抛物线的顶点时，即点坐标为：时，最大； ②设，，作关于对称轴的对称点， 则：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 作轴，作轴，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M、N是该二次函数图象上位于x轴两侧的两点， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． 25. 如图，锐角三角形内接于，，点平分，连接，，． （1）求证：． （2）过点作，分别交，于点，，交于点． ①若，，求线段的长（用含，的代数式表示）． ②若，试用一个等式表示，，，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由点平分得，则，推出，则，即可得证； （2）①证明四边形是菱形，则，，证明，则，代入数据求解即可； ②等式：．由得，，由得，证明，则，即，如图，连接，，说明，则，则结论得证． 【小问1详解】 证明：∵点平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：由（1）知：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴线段的长为； ②解：用等式表示，，为：． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等角对等边，掌握圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $