课时分层作业6 充分条件与必要条件（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(六)　充分条件与必要条件 基础达标 一、选择题 1．已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　B 【解析】　解方程x2－5x－6＝0，得x＝－1或x＝6，所以由x＝－1⇒x2－5x－6＝0，但反之不成立，故选B. 2．已知p：－2<x<2，q：－1<x<2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　B 【解析】　p：－2<x<2.q：－1<x<2. ∵{x|－1<x<2}{x|－2<x<2}， ∴p是q的必要不充分条件，选B. 3．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】　当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立； 令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．故选A. 4．使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　) A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤－或x≥3 【答案】　C 【解析】　选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件． 5．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是(　　) A．－1<x≤1 B．x≤1 C．x>－1 D．－1<x<1 【答案】　D 【解析】　由题意可知，x∈A⇔x>－1，x∉B⇔－1<x<1，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是－1<x<1.故选D. 二、填空题 6．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是 ． 【答案】　m>2 【解析】　由题意，得{x|x>m}{x|x>2}，所以m>2. 7．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是 ． 【答案】　0≤a≤2 【解析】　A∩B＝∅⇔解得0≤a≤2. 8．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有根的和为2的充要条件是 ． 【答案】　m＝0 【解析】　当m＝0时，方程为－x＋2＝0，解得x＝2； 当m≠0时，方程为一元二次方程，设x1，x2是方程的解，则x1＋x2＝，若x1＋x2＝2，解方程＝2，得m＝－或1. 当m＝－或1时，Δ＝(m＋1)2－8m2<0，即当m＝－或1时，方程无解．故当m＝0时符合题意． 三、解答题 9．不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的值． 【解】　3x＋a≥0化为x≥－. 由题意＝{x|x≥2}， 所以－＝2，a＝－6. 10．求证：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【证明】　(1)充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0， 即(1－x)(－bx＋cx＋c)＝0. ∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1. (2)必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0. 综上可知，ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 能力提升 11．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 【解析】　函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2，故选A. 【答案】　A 12．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　C 【解析】　当a<0时， 方程ax2＋1＝0，即x2＝－，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程ax2＋1＝0至少有一个负数根时，a不可以为0，从而x2＝－，所以a<0，由上述推理可知，“a<0”是方程“ax2＋1＝0至少有一个负数根”的充要条件，故选C. 13．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】　{m|m>3} 【解析】　由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<(m＋3)， 由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}， 所以(m＋3)>3，解得m>3. 14．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】　 【解析】　因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件， 所以解得0≤a≤. 15．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 【解】　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0； 若方程有两个负的实根， 则必须满足 即0<a≤. 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤. 反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. 思维拓展 16．(多选)下列说法正确的是(　　) A．已知a，b∈R，则“a>b＋1”是“|a|>b＋1”的必要不充分条件 B．“a>0”是“a＋1>0”的充分不必要条件 C．若“x<m”是“x<2020或x>2 021”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2 020 D．若“x<－1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为1 【答案】　BC 【解析】　A选项中，a>b＋1，若a≤0，则b＋1一定是负数，必有|a|>b＋1成立；若a>0，由a>b＋1成立，得|a|>b＋1必成立；反过来，若|a|>b＋1，则不一定有a>b＋1，所以“a>b＋1”是“|a|>b＋1”的充分不必要条件，故A错误．B选项中，解不等式a＋1>0得a>－1.∵{a|a>0}{a|a>－1}，∴“a>0”是“a＋1>0”的充分不必要条件，故B正确．C选项中，若“x<m”是“x<2 020或x>2 021”的充分不必要条件，则m≤2 020，故实数m的最大值为2 020，故C正确．由“x<－1”是“x<a”的必要不充分条件，得{x|x<－1}{x|x<a}，则a<－1，所以a无最大值，故D错误． 17．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 D．“a<5”是“a<3”的必要条件 【答案】　BD 【解析】　A中，“a＝b”可推出“ac＝bc”，但c＝0时，“ac＝bc”推不出“a＝b”，所以不是充要条件，故A错误；B正确；C中，a>b时，a2>b2不一定成立，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，故C错误；D中，“a<5”得不到“a<3”，但“a<3”可得出“a<5”，故“a<5”是“a<3”的必要条件，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$