课时分层作业51 三角函数的应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(五十一)　三角函数的应用 基础达标 一、选择题 1．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 【答案】　A 【解析】　T＝＝6.由图象过(0，1)点得sin φ＝. ∵－<φ<，∴φ＝. 2．一个弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的(　　) A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s C．周期为6 s D．频率为6 Hz 【答案】　B 【解析】　由于弹簧振子的振幅为2 cm，所以一个周期内弹簧振子通过的路程是8 cm，在6 s内有4个周期，所以周期为1.5 s，故选B. 3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均 温度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4 则适合这组数据的函数模型是(　　) A．y＝acos B．y＝acos＋k(a>0，k>0) C．y＝－acos＋k(a>0，k>0) D．y＝acos－3 【答案】　C 【解析】　当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝>0.故选C. 4．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 【答案】　A 【解析】　由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3. T＝15，则ω＝.故选A. 5．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0(，－)开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为(　　) A．y＝sin(t－)，t≥0 B．y＝sin(t－)，t≥0 C．y＝－cos(t－)，t≥0 D．y＝－cos(t－)，t≥0 【答案】　A 【解析】　由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sin(t－)，t≥0，故选A. 二、填空题 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃. 【答案】　20.5 【解析】　由题意可知A＝＝5，a＝＝23，从而y＝5cos[(x－6)]＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos(×4)＋23＝20.5. 7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是 ． 【答案】　80 【解析】　T＝＝(分)， f＝＝80(次/分)． 8．如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过 π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是 ． 【答案】　y＝4sin(2x＋) 【解析】　不妨设y＝Asin(ωx＋φ)． 由题意知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2. 当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动， 所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin(2x＋)． 三、解答题 9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r. (1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期； (2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象． 【解】　(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦线． ∴y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝. (2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin(t＋)， 如图，其图象是将y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到． 10．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销售完，你估计哪个月份盈利最大？ 【解】　设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)， 易知A＝2，T1＝8，ω1＝，＋φ1＝⇒φ1＝－， 所以y1＝6＋2sin(x－)． 设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)， 易知B＝2，T2＝8，ω2＝， ＋φ2＝⇒φ2＝－，所以y2＝8＋2sin(x－)． 每件盈利y＝y2－y1 ＝[8＋2sin(x－)]－[6＋2sin(x－)] ＝2－2sinx，当sinx＝－1，即x＝2kπ－(k∈Z)，x＝8k－2(k∈Z)时，y取最大值， 当k＝1，即x＝6时，y最大． 所以估计6月份盈利最大． 能力提升 11．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】　C 【解析】　∵T＝4，且需区间[0，t]的长度不小于2T－＝.即t≥＝×4＝7. 12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　) 【答案】　C 【解析】　令AP所对圆心为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin ＝，∴d＝2sin＝2sin，即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C. 13．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝ ，其中t∈[0，60]． 【答案】　10sin 【解析】　秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示， sin ＝， 所以d＝10sin. 14．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f()＝ ． 【答案】　 【解析】　由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为，则由T＝＝，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，则f(x)＝sin(3x－)，于是f()＝sin＝. 15．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时． (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 【解】　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处，这时此人所转过的角为t＝t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sint＋12(t≥0)． (2)由10sint＋12≥17，得sint≥， 则≤t≤. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m. 思维拓展 16．(多选)如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断不正确的是(　　) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时振动速度为零 【答案】　ACD 【解析】　周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，频率为.故A错误；由题中图象可知，振幅为5 cm，故B正确；在最高点时，速度为零，加速度最大，在平衡点时，速度最大，加速度为零，故C、D错． 17．(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是(　　) A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C．该函数的解析式是y＝10sin(x＋)＋20(6≤x≤14) D．这一天的函数关系式也适用于第二天 【答案】　AB 【解析】　由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10， ∴A＝10，B＝20. ∵＝14－6，∴T＝16，A正确； ∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin(x＋φ)＋20. ∵图象经过点(14，30)， ∴30＝10sin(×14＋φ)＋20， ∴sin(×14＋φ)＝1， ∴φ可以取，∴y＝10sin(x＋)＋20(0≤x≤24)，B正确，C错；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错．故选AB. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$