第3章 3.2 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　函数的最大(小)值 1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 4．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点) 函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 【思考1】　若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 【解析】　提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． 【思考2】　函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 【解析】　f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1. 1．若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值．(　　) 【解析】　提示：M是存在的，并且∃x0∈I，使得f(x0)＝M. 【答案】　× 2．一个函数可能有多个最小值．(　　) 【解析】　提示：最大(小)值至多有1个． 【答案】　× 3．如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素．(　　) 【答案】　√ 4．如果函数的值域是确定的，则它一定有最值．(　　) 【解析】　提示：值域确定，但不一定有最值． 【答案】　× 5．因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值．(　　) 【解析】　提示：f(x)＝x2的最小值为0. 【答案】　× 一、图象法求函数的最值 　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． 【解】　作出函数 f(x)的图象(如图)． 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0. 【反思感悟】　利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f(x)的图象． (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点． (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． 1．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域． 【解】　y＝－|x－1|＋2＝ 图象如图所示， 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]． 二、利用函数的单调性求最值 　已知函数f(x)＝，x∈[3，5]． (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为3≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数， 则f(x)max＝f(5)＝， f(x)min＝f(3)＝. 【反思感悟】　 1．利用单调性求最值： 首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值． 2．函数的最值与单调性的关系： (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． 2．已知函数f(x)＝＋3(x∈[2，4])，求函数f(x)的最大值和最小值． 【解】　设x1，x2是[2，4]上任意两个实数，且x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)＝＋3－(＋3)＝－＝＝， 因为2≤x1<x2≤4， 所以x1－x2<0，1－x1<0，1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在[2，4]上是增函数， 所以f(x)max＝f(4)＝1， f(x)min＝f(2)＝－3. 三、二次函数最值分类讨论问题 　已知函数f(x)＝x2－ax＋1. (1)求f(x)在[0，1]上的最大值； (2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值． (1)【解】　因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝， 当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a； 当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1. (2)【解】　当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝， ①当t≥时，f(x)在其上是增函数， ∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1； ②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在其上是减函数， ∴f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋)2＋＝t2＋t＋1； ③当t<<t＋1，即－<t<时， 函数f(x)在[t，]上单调递减，在(，t＋1]上单调递增，所以f(x)min＝f()＝. 【反思感悟】　 1．含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值． 2．对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数． 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论． 3．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3. (1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值； (2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值； (3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)． 【解】　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上． (1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数， 故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3. (2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增， 故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2. 又|－2－1|>|3－1|， ∴f(x)的最大值为f(－2)＝11. (3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当x＝t时，f(x)取得最小值， 此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时， f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2. ③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数． 所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值， 此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2， 综上得g(t)＝ 四、函数最值的实际应用 　某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足： R(x)＝假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【解】　(1)由题意得G(x)＝2.8＋x， 所以f(x)＝R(x)－G(x)＝ (2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减， 所以f(x)<f(5)＝3.2(万元)， 当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)， 所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元． 【反思感悟】　解实际应用题的四个步骤 (1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系． (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式． (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案． 1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为(　　) A．3，5　　　　　　　 B．－3，5 C．1，5 D．5，－3 【答案】　B 【解析】　因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5. 2．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　) A．[0，3] B．[－1，0] C．[－1，＋∞) D．[－1，3] 【答案】　D 【解析】　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D. 3．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 【答案】　C 【解析】　由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2. 4．函数f(x)＝－3x在区间[2，4]上的最大值为 ． 【答案】　－4 【解析】　∵y＝在区间[2，4]上是减函数，y＝－3x在区间[2，4]上是减函数，∴函数f(x)＝－3x在区间[2，4]上是减函数， ∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4. 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 m. 【答案】　20 【解析】　设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，其中x∈(0，40)，故当x＝20 m时，面积最大． 1．知识归纳：函数的最大值、最小值定义． 2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区： (1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$