第1章 集合与常用逻辑用语 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

章末复习课 1．集合的含义与表示 (1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性． (2)集合常用的表示方法有：列举法、描述法，它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法． 2．元素与集合、集合与集合之间的关系 元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a，要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a∉A)，不能模棱两可．对于两个集合A，B，可分成两类A⊆B，A⃘B，其中A⊆B又可分为AB与A＝B两种情况．在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形． 3．集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 4．充要条件 在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混． 5．全称量词命题、存在量词命题 (1)要注意全称量词命题、存在量词命题的自然语言之间的转换． (2)常用“都是”表示全称肯定，它的存在否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在肯定可用“至少有一个是”来表示． 要点一　集合的基本概念及综合运算 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 　(1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】　C 【解析】　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8， ∴B中有6个元素，故选C. (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|－3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. 【解】　把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来． 如图， ∁UA＝{x|x≤－2或－3≤x≤4}， A∩B＝{x|－2<x<3}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． 1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} 【答案】　D 【解析】　∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{4}． 要点二　集合关系和运算中的参数问题 　根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决．在建立不等式的过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体．要注意作图准确，分类全面． 　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 【解】　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴∴－1≤a≤0. 所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾． 即这样的a不存在． 2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B⊆A，求实数k的取值范围． 【解】　由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图， 可得 解得 所以k的取值范围是. 要点三　充分条件与必要条件 充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． 　设命题p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，命题q：实数x满足2<x≤3. (1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解】　(1)由a<x<3a， 当a＝1时，1<x<3. 即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3. 又q为真命题时，实数x的取值范围是2<x≤3. 所以，当p，q均为真命题时，有 解得2<x<3， 所以实数x的取值范围是{x|2<x<3}． (2)¬p是¬q的充分不必要条件， 即¬p⇒¬q且¬q¬p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则AB. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}． 3．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x＜－2}，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解】　∵q是p的充分不必要条件， ∴BA， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. 所以a的范围为. 要点四　全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养． 　(1)命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C．∃x∈R，x2－2x＋1<0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<0 (2)下列命题不是存在量词命题的是(　　) A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除 C．在实数范围内，有些一元二次方程无解 D．有一个m使2－m与|m|－3异号 【答案】　(1)C　(2)B 4．(1)∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020的否定是(　　) A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020 B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020 C．∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020 D．以上都不对 (2)设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若¬p为真，则实数a的取值范围是 ． 【答案】　(1)C　(2)－2≤a≤2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$